2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市南开中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据基本初等函数的导函数结合乘法求导法则运算求解.

【详解】由题意可得：.

故选：C.

2．函数的导数为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据复合函数的导函数运算求解.

【详解】由题意可得：，

则.

故选：C.

3．函数在处的切线的倾斜角为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求导，结合导数的几何意义分析运算.

【详解】由题意可得：，

则，可得，

所以函数在处的切线的斜率，倾斜角为.

故选：B.

4．以下关于函数，的单调性的判断正确的是（    ）

A．在上单调递增

B．在上单调递减

C．在上单调递增，在上单调递减

D．在上单调递减，在上单调递增

【答案】B

【分析】求出函数的导函数，根据余弦函数的性质得到，即可判断.

【详解】因为，，

所以，因为，所以，则，

即，所以函数在上单调递减.

故选：B

5．以下关于函数的极值的说法正确的是（    ）

A．极大值为，极小值为11

B．极大值为11，极小值为

C．极大值为，极小值为

D．既无极大值，也无极小值

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值.

【详解】函数定义域为,

所以，

令，解得，

令，解得或，

所以的单调递增区间为，单调递减区间为，，

所以在处取得极小值，在处取得极大值，

即，.

故选：C

6．将一个边长为3cm的正方形铁片的四角截去四个边长均为cm的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积最大为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，即可求出的取值范围，则无盖方盒的容积为，，利用导数求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值.

【详解】依题意方盒的底面边长为的正方形，高为，

则，即，

所以无盖方盒的容积为，，

则，

令，解得或；

令，解得．

函数的定义域为，

函数在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极大值即最大值，所以，

即该方盒容积最大为.

故选：B

7．已知函数在处极大值，则的值为（    ）

A．1 B．3 C．1或3 D．0或1或3

【答案】B

【分析】求出函数的导数，再令导数等于，求出值，再检验函数的导数是否满足在处左侧为正数，右侧为负数，把不满足条件的值舍去．

【详解】函数，，

由题意知，，或，

又函数在处有极大值，

故导数值在处左侧为正数，右侧为负数．

当时，，

满足导数值在处左侧为正数，右侧为负数．

当时，，

导数值在处左侧为负数，右侧为正数，不符合题意，故．

故选：B．

8．若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据导数与单调性的关系分析可得原题意等价于在上恒成立，根据恒成立问题结合二次函数分析运算.

【详解】由题意可得：，

令，可得，

原题意等价于在上恒成立，

因为开口向下，对称轴，

可得在上单调递减，

当时，取到最大值，

所以的取值范围是.

故选：A.

9．若函数恰有两个零点，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据题意分析可得：原题意等价于与有两个交点，求导，利用导数判断的单调性，结合图象分析求解.

【详解】当时，则无零点，不符合题意；

当时，令，则，

故原题意等价于与有两个交点，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，

可得，且当x趋近于时，趋近于，

所以的图象如图所示，由图象可得：

若与有两个交点，则，解得，

故的取值范围是.

故选：D.

10．已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】令，首先判断的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，最后根据函数的单调性解函数不等式.

【详解】令，，

因为是定义在上的奇函数，即，

，是奇函数；

又当时，，

在上单调递增，在上单调递增；

又，，

对于不等式，又，所以，

所以不等式等价于，即，即，

所以，即不等式解集为．

故选：A．

二、填空题

11．函数在处的切线方程为______.

【答案】

【分析】利用导数的几何意义求出斜率、切点，再代入直线的点斜式方程化简即可．

【详解】因为，所以，切线的斜率，

，所以切点为，

所以切线方程为：，即．

故答案为：．

12．函数的单调递增区间是______.

【答案】

【分析】求导，利用导数判断原函数单调性.

【详解】由题意可得：，

令，解得或，

所以函数的单调递增区间是.

故答案为：.

三、双空题

13．已知函数，则在上的最小值为______，最大值为______.

【答案】     /0.5    

【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值.

【详解】由题意可得：，

令，解得；令，解得；

则在上单调递减，在上单调递增，

空1：所以当时，取到最小值；

空2：又因为，

且，

可得，所以当时，取到最大值.

故答案为：；.

四、填空题

14．若函数有两个不同的极值点，则实数a的取值范围是____________.

【答案】

【分析】根据为函数有两个不同的极值点，由 有两个不同的根求解.

【详解】解：因为 ，

所以，

因为函数有两个不同的极值点，

所以 有两个不同的根，

即方程有两个不同的根，

所以 ，解得 ，

所以实数a的取值范围是

故答案为：

15．已知函数，若函数（为常数）有且仅有4个零点，则的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据题意分析可得原题意等价于与有4个不同的交点，求导，利用导数判断原函数的单调性与极值，结合图象分析判断.

【详解】令，则，

原题意等价于与有4个不同的交点，

当时，则，可得，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，可得，

且当x趋近于0时，趋近于，当x趋近于时，趋近于0；

当，则开口向下，对称轴，可得；

可得的图象，若与有4个不同的交点，则的取值范围是.

故答案为：.

16．明年是我校建校120周年，也是同学们在南开的最后一年，欧阳南德与上官索爱同学想以数学的浪漫纪念这特殊的一年，他们以三次函数及其三条切线为蓝本设计了一枚“NK章”，并把它放入一个盒子，埋藏于南开园的某角落，并为这“时间胶囊”设置了一个密码，他们把密码隐藏于刻在盒子上的一道“数学谜语”中：

【答案】31

【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得原题意等价于与有三个不同的交点，求导判断的单调性与极值，结合图象分析运算.

【详解】由题意可得：，且，

设切点坐标为，斜率，

则切线方程，

因为切线过点，则，

整理得，

构建，

原题意等价于与有三个不同的交点，

因为，

令，解得；令，解得或；

则在上单调递增，在，上单调递减，

且，

若与有三个不同的交点，则，

所以整数的个数为31.

故答案为：31.

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：

（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

（2）求导数，得单调区间和极值点；

（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．

五、解答题

17．求函数，的最大值和最小值.

【答案】

【分析】求导，利用导数判断原函数单调性，进而确定最值.

【详解】由题意可得：，

令，解得；令，解得或；

则函数在上单调递增，在上单调递减，

且，

因为，

所以当时，取到最大值20，当时，取到最小值.

18．已知函数，讨论其单调区间与极值.

【答案】答案见详解

【分析】求导，讨论的正负以及与0的大小，利用导数判断原函数的单调性与极值.

【详解】由题意可得：，

（i）当时，则，

令，解得；令，解得；

可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；

（ⅱ）当时，令，解得或，

①当，即时，令，解得或；令，解得；

可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；

②当，即时，则，

可得的单调递增区间为，无极值；

③当，即时，令，解得或；令，解得；

可得的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；

综上所述：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，无极小值；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值；

当时，的单调递增区间为，无极值；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，有极大值，极小值.

19．已知函数.

(1)当时，求在处的切线方程；

(2)若有两个零点，求的取值范围；

(3)求证：.

【答案】(1)

(2)

(3)证明见详解

【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义运算求解；

（2）求导，利用导数分类讨论原函数的单调性，结合单调性分析零点，即可得结果；

（3）由（2）可得，构建，利用导数可得，进而可得结果.

【详解】（1）当时，则，

可得，

即切点坐标为，斜率，

所以切线方程.

（2）由题意可得：，

因为，则有：

（i）当时，则，即，

所以在上单调递减，至多有1个零点，不合题意；

（ⅱ）当时，令时，则；令时，则；

则在上单调递增，在上单调递减，

且当x趋近于时，趋近于，当x趋近于时，趋近于，

若有两个零点，则，

构建，则在上单调递增，且，

若，则；

综上所述：的取值范围为.

（3）由（2）可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，

则，

可得，当且仅当时，等号成立；

构建，则，

构建，则，

构建，则，

令，解得；令，解得；

则在上单调递增，在上单调递减，所以，

即恒成立，则在上单调递增，且，

令，解得；令，解得；

即当时，；当时，；

则在上单调递增，在上单调递减，所以，

所以，当且仅当时，等号成立；

综上所述：，

但等号不能同时取到，所以.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤

（1）作差或变形；

（2）构造新的函数h(x)；

（3）利用导数研究h(x)的单调性或最值；

（4）根据单调性及最值，得到所证不等式．

特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．