2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列函数的求导正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】对各个选项进行导数运算验证即可.

【详解】，故A错误；

，故B正确；

，故C错误；

，故D错误.

故选：B

2．若，则（    ）

A．17 B．153 C．306 D．969

【答案】B

【分析】根据组合数的性质可得，进而求解即可.

【详解】由，得，

所以,

故选：B

3．从2名男生和3名女生中任选2人参加党史知识演讲比赛，则至少有一名男生被选中的概率是（    ）

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【答案】A

【分析】先求出基本事件结果数，其中没有男生的种数为，再根据对立事件的概率公式可求出结果.

【详解】从2名男生和3名女生中任选2人，共有种方法，其中没有男生的种数为，

则至少有一名男生被选中的概率为：，

故选：A

4．函数的单调递增区间是（    ）

A．和 B． C． D．

【答案】B

【分析】求出导函数，由确定增区间．

【详解】，的定义域为，

由，得，

∴的单调递增区间为．

故选：B．

5．在的二项展开式中，若二项式系数和为64，则（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【分析】先利用题给条件构造出关于的不等式，解之即可求得的值.

【详解】由的二项展开式中二项式系数和为64，

可得，解之得

故选：C

6．函数在点处的切线与直线互相垂直，则实数a等于（    ）

A． B． C． D．2

【答案】B

【解析】由导数的几何意义得函数在点处的切线的斜率为，进而即可得答案.

【详解】解：因为，，

所以函数在点处的切线的斜率为，

因为切线与直线互相垂直，，

所以，解得.

故选：B.

【点睛】本题解题的关键在于根据导数的几何意义求得函数在处的切线的斜率为，考查运算求解能力，是基础题.

7．展开式中的常数项为，则项的系数为（    ）．

A．240 B．120 C．180 D．

【答案】A

【分析】根据二项展开式的通项公式，当求得，再由可得的值，进而即可得解.

【详解】展开式的通项公式为，

令，可得，

常数项为，得．

再令，得，

所以项的系数为．

故选：A

8．若函数在时取得极小值，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求导，再根据函数在时取得极小值，利用极值点的定义求解.

【详解】解：因为函数，

所以，

因为函数在时取得极小值，

所以当或时，，当时，，

则，即，

所以实数的取值范围是，

故选：A

9．若离散型随机变量，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据且求得n，再由求解.

【详解】解：∵，

∴，解得，

∴．

故选：B．

10．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）

A．是的极小值点

B．

C．函数在上有极大值

D．函数有三个极值点

【答案】B

【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.

【详解】当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以有，因此选项B正确；

当时，，单调递增，

所以在上没有极大值，因此选项C不正确；

当时，，单调递增，

因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，

所以选项A不正确，选项D不正确，

故选：B

11．甲、乙、丙等7人站成一排照相，要求队伍最中间只能站甲或乙，且甲与丙不相邻，则不同的站法有（    ）

A．728种 B．848种 C．918种 D．1008种

【答案】D

【分析】根据甲或乙在中间进行分类讨论，结合排列与组合的知识求得正确答案.

【详解】若甲站最中间，则不同的站法有种；

若乙站最中间，甲和丙站在乙的一侧，则不同的站法有种；

若乙站最中间，甲和丙站在乙的两侧，则不同的站法有种．

故总的站法有1008种．

故选：D

12．已知函数则下列结论：

①

②恒成立

③关于的方程有三个不同的实根，则

④关于的方程的所有根之和为

其中正确结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据已知递推可判定①正确；根据函数的变换规律，只需证明时，恒成立，作差构造函数，求导结合，可判定②错误；作出函数的图形，结合图象，可判定③正确；结合每个区间的对称轴，利用等差数列的求和公式，可判定④错误.

【详解】由题意知，，所以①正确；

又由上式知，要使得恒成立，

只需满足时，恒成立，即，

即恒成立，

令，则，

令，解得或，

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

当时，函数取得极大值，极大值，所以②不正确；

作出函数的图象，如图所示，

由图象可知，要使得方程有三个不同的实根，

则满足，即，所以③正确；

由知，函数在上的函数图象可以由上的图象向右平移一个单位长度，再将所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到，

因为的对称轴为，故的两根之和为，

同理可得：的两个之和为，，的两个之和为，

故所有根之和为，所以④不正确.

故选：B.

二、填空题

13．质点M按规律做直线运动（位移单位：m，时间单位：），则质点M在时的瞬时速度为___________．

【答案】

【分析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.

【详解】因为，所以，所以，

所以质点在时的瞬时速度为.

故答案为：.

14．二项式的展开式的第项为常数项，则 __________．

【答案】6

【分析】根据二项式通项公式和展开式的第项为常数项建立方程即可得解．

【详解】二项式展开式的通项公式为，

由展开式中，第项为常数项，此时，则，即．

故答案为：.

15．已知函数的导函数为，且，则______．

【答案】

【分析】根据题意，求导得，然后令，即可得到结果.

【详解】因为，则，

令，则，即.

故答案为：

16．已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．

【答案】.

【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.

【详解】设，可得，

因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，

又由，可得，

所以当时，，即不等式的解集为.

故答案为：.

17．已知函数在区间上的最大值为28，则实数的取值范围为__________．

【答案】

【分析】利用导函数求函数的极值，再结合条件即求.

【详解】∵，

∴ ，

令＝0，得＝-3，＝1，

当x变化时及的变化情况如下表．

当x＝-3时，取极大值28；

当x＝1时，取极小值-4.

而f(2)＝3<f(-3)＝28，

如果在区间[k，2]上的最大值为28，

则k≤-3.

故答案为：k≤-3

三、双空题

18．甲、乙两射手每次射击击中目标的概率分别为和，且各次射击的结果互不影响.则甲射击5次，击中目标次数的数学期望为______；甲、乙两射手各射击2次，至少有1人击中目标的概率为______.

【答案】     4     /0.9975

【分析】直接利用二项分布数学期望公式即可求解；利用“至少有1人击中目标”的对立事件“没有人击中目标”的概率即可求解.

【详解】依题意，

甲射击5次符合二项分布，设甲击中目标次数为，

则有；

设事件“至少有1人击中目标”为，事件“没有人击中目标”为，

则互为对立事件，

所以，

所以；

故答案为：；.

四、填空题

19．过点与曲线相切的切线方程为___________．

【答案】

【分析】根据求曲线过某点的切线方程的步骤，先设出切点坐标，再根据两点求斜率即可求解.

【详解】设切点为，则，

得，则切点为，

切线方程为，即．

故答案为：.

五、双空题

20．清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共7人进入决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级2人，现采取抽签方式决定演讲顺序，设事件为“高二年级3人相邻”，事件的排法为__________种；在事件“高二年级3人相邻”的前提下，事件“高一年级2人不相邻”的概率为__________．

【答案】     720     /0.6

【分析】利用捆绑法求解事件A的排法；再使用捆绑法和插空法求出事件的排法，利用条件概率公式得到

【详解】将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和其他年级4人进行全排列，有种排法，所以事件A的排法有=720种；

事件的排法：将高二年级3人进行全排列，有种排法，再将高二年级3人看作一个整体，和高三年级的2人进行全排列，有种排法，排好后，将高一年级的2人进行插空，有种排法，所以事件共有=432种排法，

则

故答案为：720，

六、填空题

21．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【分析】求得，求得函数的单调性与最小值，结合题意得到，即可求解.

【详解】由函数，可得，

令，可得，

当时，可得；当时，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时，函数求得极小值，也是最小值，

因为至少1个零点，所以，即，

所以实数的范围.

七、解答题

22．某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名：高二年级的参赛选手5名，其中男生3名.从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛.

(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；

(2)设为选出的4人中男生的人数，求随机变量的分布列.

【答案】(1)

(2)分布列见解析

【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求得答案；

（2）确定X的可能取值，求出每个值对应的概率，即可得分布列.

【详解】（1）由题意可知，从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛共有种选法，

事件A的选法共有种，

故.

（2）由题意知X的取值可能为，

由于，

故X的分布列为：

23．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.

（1）求b，c的值；

（2）若a＞0，求函数f(x)的单调区间；

（3）设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围.

【答案】（1）b＝0，c＝1；（2）f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)；（3）.

【分析】（1）由条件可知，列式求解；（2）根据求函数的单调递增区间，由求函数的单调递减区间；（3）由条件可知存在区间使，利用参变分离的方法，转化为求函数的最值.

【详解】（1）f′(x)＝x2－ax＋b，

由题意得 即

故b＝0，c＝1.

（2）由（1）得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，

当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0；

当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；

当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，

所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a).

（3）g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立.

则存在x∈(－2，－1)使成立，

即.

因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)，

则，

当且仅当，即时等号成立，

所以，则.

所以实数a的取值范围为.

【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，最值的综合应用，重点考查转化的思想，计算能力，属于基础题型.

24．已知函数．

(1)令，讨论的单调性并求极值；

(2)令，若有两个零点；

（i）求a的取值范围：

（ii）若方程有两个实根，，，证明：．

【答案】(1)单调递减区间为（0，2），单调递增区间为；极小值为，无极大值

(2)（i）；（ii）证明见解析

【分析】（1）先求得，然后利用导数求得的单调区间以及极值.

（2）（i）先求得，对进行分类讨论，结合函数的单调性以及零点存在性定理求得的取值范围.

（i i）转换方程，然后利用换元法并构造函数，求得函数零点的关系式，由此化简所要证明的不等式，再利用构造函数法，结合导数证得不等式成立.

【详解】（1）因为，

所以，

则，在区间；在区间，

所以单调递减区间为（0，2），单调递增区间为，

极小值为，无极大值．

（2）（i）有两个零点．

因为，

①当时，，单调递增，不可能有两个零点；

②当时，令，得，单调递减；

令，得，单调递增，所以

要使有两个零点，即使，，得，

又因为，，所以在（l，e）上存在唯一一个零点，

且，由（1）可知，，

所以，即有，即

，所以在上存也唯一一个零点，符合题意．

综上，当时，函数有两个零点．

（ii）有两个实根，令，

有两个零点，，

；，所以，

所以（*），

（**），

要证，只需证，

即证，所以只需证．

由（*）（**）可得，

只需证，

设，令，则，所以只需证，即证，

令，，则，在上递增，

所以，即当时，成立．

所以，即，即．

【点睛】利用导数研究函数的单调区间以及极值，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.另外要注意的一点是：必须先求函数的定义域.