2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二下学期期中考试数学试题含解析

  2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知集合，，若(    )

A.  B.
C.  D.

2.  过点且与直线：平行的直线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  在等差数列中，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若平面向量与的夹角为，，，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出的是(    )

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

6.  已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的表达式是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  设公差不为的等差数列的前项和为，则有，，成等差数列类比上述性质，若公比不为的等比数列的前项积为，则有(    )

A. ，，，，成等比数列
B. ，，，，成等比数列
C. ，，，，成等比数列
D. ，，，，成等比数列

8.  已知函数，对，，当时，恒有，则实数的取值范围为(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知函数的图象经过点，则(    )

A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称
C. 在上单调递减 D. 在内的值域为

10.  在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有个小球，标号分别为，，，，乙盒中有个小球，标号分别为，，现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件“取到标号为的小球”，事件取到标号为的小球”，事件“两个小球标号都是奇数”，事件“两个小球标号之和大于”，则(    )

A. 事件与事件相互独立 B. 事件与事件互斥
C.  D.

11.  南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，，以此类推设从上到下各层球数构成一个数列，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知函数，若，其中，则(    )

A.  B.
C.  D. 的取值范围为

第II卷（非选择题）

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知为虚数单位，复数，则 ______ ．

14.  若直线：与圆：相切，则实数        ．

15.  在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则 ______ ．

16.  设椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，且直线与轴垂直，直线的斜率为，则椭圆的离心率为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷满分分，并对整个高二年级的学生进行了测试现从这些学生的成绩中随机抽取了名学生的成绩单位：分，按照，，，分成组，制成了如图所示的频率分布直方图假设每名学生的成绩均不低于分．
求频率分布直方图中的值，并估计所抽取的名学生成绩的平均数；
若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于分的学生中抽取人，再从这人中任意抽取人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在的学生恰有人被抽到的概率．

18.  本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期及其单调递增区间；
当时，恒成立，求的最大值．

19.  本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．

20.  本小题分
已知等差数列的前项和为，且，，数列满足，．
求数列和的通项公式；
设，数列的前项和为，证明：．

21.  本小题分
已知双曲线：的离心率为，且过．
求双曲线的方程；
若直线与双曲线交于两点，是的右顶点，且直线与的斜率之积为，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

22.  本小题分
已知函数，．
若，求函数在处的切线方程；
若存在实数，，使，且，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

根据交集的定义直接写出即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

【解答】

解：，，
，
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：设过点且与直线：平行的直线方程是，
将点的坐标代入直线的方程得，解得，
故所求直线方程为，即．
故选：．
设所求直线方程为，将点的坐标代入所求直线方程，求出的值，即可得解．
本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：根据题意，在等差数列中，若，则有，
则．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，进而可得，计算可得答案．
本题考查等差数列的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：因为平面向量与的夹角为，，，
所以，，
所以．
故选：．
先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．
本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，，，则与相交或平行，不符合题意；
对于，，，，则与有可能相交但不垂直，不符合题意；
对于，，，则，又由，必有，符合题意；
对于，，，，则，不符合题意．
故选：．
根据题意，由平面与平面垂直的判定定理，依次分析选项是否正确，即可得答案．
本题考查平面与平面垂直的判断，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，则，当时，，
，．
即当时，．
综上可得，，
故选：．
根据题意求得当时，的解析式，综合可得在上的表达式．
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：公差不为的等差数列的前项和为，可类比为公比不为的等比数列的前项的积，
然后从运算的角度考虑，应该是等差数列前项的和满足：
成等差数列，
类比为：等比数列前项的积满足：
成等比数列．
故选：．
利用类比推理的方法，结合等差类比等比、和类比积、差类比商等，进行判断即可．
本题考查类比推理的基本思想，以及等差、等比数列的性质等，属于基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：对，，当时，恒有，即恒成立．
令，，则，，
则在上恒成立，可得在上恒成立，
令，则．
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
．
实数的取值范围为．
故选：．
构造函数，问题转化为在上恒成立，即在上恒成立，令，利用导数求最值，即可求得实数的取值范围．
本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：函数的图象经过点，，，
，
显然，当时，，故A错误；
显然，不是偶函数，故它的图象不关于轴对称，故B错误．
在上， 是减函数，故C正确；
在内，，故D正确，
故选：．
由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．
本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：从甲盒、乙盒中分别随机抽取一个小球的样本空间为：
，，，，，，，，，，，，共种，
事件包含的基本事件有：，，，，
事件包含的基本事件有：，，，，，
事件包含的基本事件有：，，
，事件与事件相互独立，故A正确；
事件和事件都有，事件和事件不是互斥事件，故B错误；
事件包含的基本事件有：，，，，，故C正确；
事件包含的基本事件有：，，，，
，
，故D正确．
故选：．
列举出样本空间，根据题意和古典概型求出对应事件的概率即可．
本题考查互斥事件、相互独立事件、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，，，故A错误；
对于，，，故B正确；
对于，，，，，且，
上述各式相加得，，
经检验：满足，，，故C错误；
对于，由选项C可知，故D正确．
故选：．
根据题意，可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即，即，利用等差数列的性质能求出结果．
本题考查三角垛、等差数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：因为，所以，
令，解得或，
当时，或，所以单调递增区间为和；
当时，，所以单调递减区间为，的图象如右图所示，
，则，，故A错误；
又，所以，
即，
对照系数得，故选项C正确；
，故选项D正确；
因为，所以，解得，故选项B正确．
故选：．
对求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设，由图象可得知，，的取值范围，从而可判断；又根据，对照系数可得的值，可得得取值范围，从而可判断，；结合和即可判断．
本题考查了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：复数，
则．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数模公式，属于基础题．
 

14.【答案】或 

【解析】解：由圆：，得，
圆心为，半径为，
直线：与圆相切，
圆心到直线的距离，
即，
或，
故答案为：或．
由直线：与圆，相切，可得圆心到直线的距离，可求．
本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由正弦定理边角关系得：，
又，所以，
由余弦定理得．
故答案为：．
根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解．
本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为直线与轴垂直，将代入椭圆的方程可得，解得，
因为直线的斜率为，易知点，
因为点，所以，
所以，即，
等式两边同时除以可得，
因为，解得．
故答案为：．
求出点的坐标，根据可得出关于、的齐次等式，可得出关于的二次方程，根据可求得的值．
本题主要考查椭圆的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：，这名学生的平均成绩为：；
后三组中的人数分别为，，，
由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为，，，
所以成绩在的学生恰有人被抽到的概率为：． 

【解析】利用频率之和为，列式求解即可，利用平均数的计算公式求解即可；
先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可．
本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，频率分布直方图中平均数的求解方法，掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．
 

18.【答案】解：，
故函数的最小正周期，
由得，
函数的单调递增区间为；
，，
，
由恒成立，得，即，
故的最大值为． 

【解析】根据三角形的恒等变换得到，代入正弦函数的周期和单调区间公式即可求解；
根据题意得到，利用恒成立知识得到，即可求解．
本题考查了三角函数的恒等变换和恒成立问题，属于中档题．
 

19.【答案】证明：取中点为，连接，，如图所示，

因为，分别是，的中点，所以且，
又因为且，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，
所以平面；
解：取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以，令，解得，
即，
又因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为，． 

【解析】根据线面平行的判定即可证明线面平行．
取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和的坐标，利用向量法即可求得直线与平面所成角的正弦值．
本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
整理，得，
解得，
，，
对于数列：当时，，
当时，由，
可得，
两式相减，可得，
当时，也满足上式，
，．
证明：由可得，



，
则



，
，
--

，
数列是单调递增数列，
当时，，
当时，，
，
故不等式对任意恒成立． 

【解析】先设等差数列的公差为，再根据题干已知条件列出关于首项与公差的方程组，解出与的值，即可计算出数列的通项公式，对于数列：先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算出数列的通项公式；
先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再运用裂项相消法计算出前项和的表达式，然后将前项和的表达式构造成一个数列，运用作差法分析出数列的单调性，再结合数列极限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，构造法，数列极限，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
 

21.【答案】解：根据题意可得，
解得，，
所以双曲线的方程为．
证明：设，，
联立，得，
，
，，
所以

，
所以，
所以直线的方程为，恒过定点． 

【解析】根据题意可得，解得，，即可得出答案．
设，，联立直线与双曲线的方程，结合韦达定理得，，再化简，得，即可得出答案．
本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

22.【答案】解：若，则，
，
所以在处的切线斜率为，
又，
所以函数在处的切线方程为，即．
因为，
所以，
因为存在实数，，使，且，
所以存在实数，，使，且，
即，
，
设，
记，
，
所以在上单调递减，
所以，即，
所以取值范围是． 

【解析】若，则，求导得，由导数的几何意义可得在处的切线斜率为，又，由点斜式，即可得出答案．
根据题意可得，由存在实数，，使，且，进而可得，，计算，设，记，求出的值域，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．