2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年江苏省苏州市常熟市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．若函数，则函数的单调递减区间为（   ）

A． B． C．(0，3) D．

【答案】C

【分析】先求函数的定义域，再求导数，最后令，解之即可得到结果.

【详解】函数的定义域为：，

因为，

令并且，得：，

所以函数的单调递减区间为(0，3).

故本题正确答案为C.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，掌握常见函数的导数是关键，属基础题.

2．已知函数的图象在处的切线方程为，则（    ）

A． B． C．0 D．1

【答案】B

【分析】根据导数的几何意义可得，从而可得的值，再利用切点在曲线也在切线上，可得的值，即可求得答案.

【详解】解：因为，所以.

又的图象在处的切线方程为，

所以，解得，

则，所以，代入切线方程得，解得，

故.

故选：B.

3．芜湖有很多闻名的旅游景点．现有两位游客慕名来到芜湖，都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩．设事件A为“两人至少有一人选择丙景点”，事件B为“两人选择的景点不同”，则条件概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求出事件A发生的概率和事件A和事件B共同发生的概率，利用条件概率公式即可求出.

【详解】由题两位游客从4个著名旅游景点中随机选择一个游玩，共有种，

其中事件A的情况有种，

事件A和事件B共同发生的情况有种，

所以，，

所以.

故选：D.

4．若函数在区间内单调递增，则实数a的取值范围是（    ）

A．  B． C． D．

【答案】D

【解析】求出函数的导数，将问题转化为在恒成立，令，求出的最小值，从而可求得a的取值范围．

【详解】由函数可得，

若在区间内单调递增，

则在x∈恒成立，

即在x∈恒成立，

令

由，

∴

故，

即实数a的取值范围是．

故选：D．

5．用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（    ）

A．24个 B．30个 C．36个 D．42个

【答案】B

【分析】根据给定条件，按个位数字是0和不是0分类，再利用排列知识求解作答.

【详解】计算偶数个数有两类办法：

个位数字是0，十位和百位从另4个数字中选两个进行排列有种结果，

个位数字不是0，从2和4中选一个作个位，从除0外的另3个数字中选一个作百位，

再从余下3个数字中选一个作十位，共有种结果，

由分类加法计数原理得，偶数共有种结果.

故选：B

6．函数 图象大致为(    )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义域，极限，单调性判断．

【详解】f（x）的定义域为{x|x＞0}，排除A．

当x→0+时，f（x）→+∞，排除D．

当x＞1时，f（x）＝lnx，f′（x），

令f′（x）＝0解得x＝2，

当x＞2时，f′（x）＜0，

∴f（x）在（2，+∞）上是减函数，排除B．

故选C．

【点睛】本题考查了函数图象的判断，通常从函数的单调性，特殊点等方面采用排除法判断．

7．有4种不同颜色的涂料，给图中的6个区域涂色，要求相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法共有（    ）

A．1512种 B．1346种 C．912种 D．756种

【答案】D

【分析】先从A区域涂色，讨论B，D区域涂相同、不同颜色的两种情况，再确定C，E，F区域涂色方法，应用分类分步计数原理求不同涂色方法数.

【详解】1、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂相同颜色，则有3种方法，C，E，F区域分别有3种方法，共有4×3×3×3×3=324种方法．

2、先涂A区域，则有4种方法，若B，D区域涂不同颜色，则有3×2种方法，则E区域有2种方法，C，F分别有3种方法，共有4×3×2×2×3×3=432种方法．

故不同的涂色方法共有756种．

故选：D

8．若对任意的，，且，，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先得出，再将整理为，构造函数，其中，当时，，即在，单调递减，求出，分析得出减区间，即可得出m的取值范围．

【详解】由题可知，，

因为，且，

所以，两边同时除以得，

，即，

设函数，其中，

因为当时，，

所以在单调递减，

因为，

令，，

当时，，即在上单调递增，

当时，，即在上单调递减，

所以，

故选：D．

二、多选题

9．下列命题正确的有（    ）

A．若，则 B．若，则

C． D．

【答案】BCD

【分析】根据排列数和组合数的阶乘公式以及性质依次判断各个选项的正误即可.

【详解】A：若，则或，故A错误；

B：，则，故B正确；

C：，

故C正确；

D：，故D正确；

故选：BCD.

10．已知，则（    ）

A．展开式中所有项的二项式系数和为

B．展开式中所有奇次项系数和为

C．展开式中所有偶次项系数和为

D．

【答案】ABD

【分析】根据二项式定理的计算方法与性质即可计算出结果

【详解】对于A，二项式系数之和为，故A正确；

对于B，令，得，①

令，得，②

①+②，可得，∴，故B正确；

对于C，①-②，得，∴，故C错误；

对于D，令，得，令，得．

∴，故D正确．

故选：ABD

11．已知.（    ）

A．的零点个数为4 B．的极值点个数为3

C．x轴为曲线的切线 D．若，则

【答案】BC

【分析】首先根据得到，分别画出和的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.

【详解】，令，得到.

分别画出和的图像，如图所示：

由图知：有三个解，即有三个解，分别为，，.

所以，，为增函数，

，，为减函数，

，，为增函数，

，，为减函数.

所以当时，取得极大值为，当时，取得极小值为，

当时，取得极大值为，

所以函数有两个零点，三个极值点，A错误，B正确.

因为函数的极大值为，所以轴为曲线的切线，故C正确.

因为在为增函数，为减函数，

所以存在，满足，且，

显然，故D错误.

故选：BC

【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的零点，极值点和切线，属于难题.

12．（多选）已知函数，则以下结论正确的是（    ）

A．函数的单调减区间是

B．函数有且只有1个零点

C．存在正实数，使得成立

D．对任意两个正实数，，且，若则

【答案】ABD

【分析】先求导数,再解不等式,即可判断A;先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后结合零点存在定理判断B;先分离，再利用导数研究函数最值，即可判断C; 先构造函数，再利用导数研究其单调性，最后利用单调性证不等式，即可判断D.

【详解】A选项，因为，所以，

由得，；由得，，

因此函数在上单调递减，在上单调递增；故A正确；

B选项，令，

则显然恒成立；

所以函数在上单调递减；

又，，

所以函数有且仅有一个零点；故B正确；

C选项，若，可得，

令，则，

令，则，

由得；由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

因此；所以恒成立，即函数在上单调递减，

所以函数无最小值；

因此，不存在正实数，使得成立；故C错；

D选项，令，则，则；

令，

则，

所以在上单调递减，则，即，

令，由，得，则，

当时，显然成立，

所以对任意两个正实数，，且，若则.故D正确.

故选：ABD

【点睛】本题考查利用导数研究函数单调区间、利用导数研究函数零点、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式能成立问题，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.

三、填空题

13．已知函数，若过点的直线与曲线相切，则该直线斜率为______．

【答案】3

【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用导数的几何意义可得切线方程为，再根据切线过点，可求出，进而求出结果．

【详解】∵点不在曲线上，设切点坐标为．

又∵，所以

∴在处的切线方程为，

∵切线过点，

∴，解得，

∴切线斜率为.

故答案为：3．

14．二项式的展开式中常数项是___________.

【答案】

【分析】利用二项式定理求出展开式的通项公式，得到，求出常数项.

【详解】由题可知展开式，

所以，解得：，故常数项为.

故答案为：

15．已知函数，若函数至少有两个零点，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据题意转化为至少有两个不同的解，令，转化为函数的图象与至少有两个交点，求得，求得函数单调性和极值，结合图象，即可求解.

【详解】由题意，函数至少有两个零点，即至少有两个不同的解，

令，则函数的图象与至少有两个交点，

又由，

令，解得，令，解得或，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

且，，当时，，

作出函数的图象，如图所示，

由图象可知，，即实数的取值范围是.

故答案为：.

16．已知是函数的导函数，在定义域内满足，且，若 ，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由，得，利用，可求得，利用导数证明在上递增，等价于，由单调性可得结果.

【详解】由，

得，

，

令，

，

，，

令，

当时，，当时，

在上递减，在上递增，

，

在上递增，

，

，

可得，解得，

即实数的取值范围是.

故答案为:.

【点睛】利用导数研究抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等.

四、解答题

17．已知函数在处取得极值．

(1)求的单调区间；

(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．

【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是；

(2)．

【分析】（1）由题意根据求解，再带回检验即可；

（2）求导分析在上的最大值，再根据求解不等式即可.

【详解】（1）∵，，又在处取得极值，

∴，∴，

检验：当时，，，，

令，得，

当x变化时，，的变化情况如表所示．

在处取得极小值成立；

所以的单调递减区间是，单调递增区间是．

（2）由（1）知在单调递减，单调递增，

又，，

则，．

若在上恒成立，则．

即，解得或，

所以实数c的取值范围是．

18．7名师生站成一排照相留念，其中老师1名，男同学4名，女同学2名．

(1)若两位女生相邻，但都不与老师相邻的站法有多少种？

(2)若排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边的站法有多少种？

(3)现有16个相同的口罩全部发给这6名学生，每名同学至少发2个口罩，则不同的发放方法有多少种？

【答案】(1)960

(2)3720

(3)126

【分析】（1）相邻问题捆绑处理，不相邻问题插空处理即可；

（2）特殊元素优先安排即可；

（3）相同元素分配问题插板处理即可.

【详解】（1）先把除两位女生和老师这3人外的4人排好，有种排法，

由于两名女生相邻，故再把两名女生排好，有种排法，

最后把排好的女生这个整体与老师分别插入原先排好的4人之间及两端的5个空隙中，有种排法．

故排法共有（种）．

（2）法一：甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；

甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，只有种不同排法，

共有 （种）．

法二：7名学生全排列，只有种方法，

其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，

其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，

共有（种）．

（3）法一：16个相同的口罩，每位同学先拿一个，剩下的10个口罩排成一排有9个间隙，插入5块板子分成6份，每一种分法所得6份给到6个人即可，所以不同的发放方法种．

法二：先分发给每位学生2个口罩，再将剩下4只相同的口罩分给6位同学，有五类分法：

1.四只口罩分给1人，有种分法；

2.四只口罩分成2，1，1三份分给3人，有 种分法；

3.四只口罩分成2，2两份分给2人，有种分法；

4.四只口罩分成3，1两份分给2人，有种分法；

5.四只口罩分成1，1，1，1四份分给4人，有种分法；

则共有种分法．

19．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆弧AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作，交AB于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知，（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：）．

(1)设，将S表示成x的函数；

(2)通风窗的高度MN为多少时，通风窗EFGH的面积S最大？

【答案】(1)，；

(2)时，通风窗的面积最大．

【分析】（1）用表示，再利用勾股定理求出，即可求出面积；

（2）令，求导判断单调性从而求得的最大值，进而问题可解.

【详解】（1）由题意知，，，故．

因为，，所以．

在中，．

在矩形EFGH中，，，

故．

即所求函数关系是，．

（2）因为，令，

则，则．

所以当时，，单调递增，

当时，，单调递减，

所以当时，取到最大值，此时S有最大值．

即时，通风窗的面积最大．

20．一个猜谜语活动，有A和B两道谜语，小明猜对A谜语的概率为0.8，猜对获得奖金10元，猜对B谜语的概率为0.5，猜对获得奖金20元猜不出不给奖金．

(1)设事件A：“两道谜语中小明恰好答对一道”，求事件A发生的概率P（A）．；

(2)如果按照如下规则猜谜：只有在猜对一道谜语的情况下，才有资格猜下一道．

①若猜谜语顺序由小明选择，小明应该先猜哪一道呢？

②若小明已经获得30元奖金，此时主办方临时增加了一道终极谜语C，猜对奖金为60元，参赛者可以自行选择是否继续猜谜．假设小明猜对C谜语的概率为a，若小明不继续，可以直接拿走奖金，若继续且答错C谜语，则没收全部奖金．若继续且答对C谜语，即可获得A谜语、B谜语和C谜语的所有奖金．问：概率a至少为何值，值得小明同学继续猜谜？

【答案】(1)0.5；

(2)①小明应该先猜A；②当a至少为时，值得小明同学继续猜谜．

【分析】（1）根据题意，结合互斥事件和相互独立事件的概率计算公式，即可求解；

（2）①设选择先猜A得到的奖金为元，选择先猜B得到的奖金为元，分别求得随机变量和的取值，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式求得，即可得到结论；

②设小明谜语得到的奖金为元，得到随机变量的取值，列出分布列，求得，列出不等式，求得的范围，即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，是否猜对两道谜语之间是相互独立，结合相互独立事件的概率公式，

可得两道谜语中小明恰好答对一道的概率为.

（2）解：①有两种顺序；先猜A；先猜B，

设选择先猜A谜语得到的奖金为元，选择先猜B谜语得到的奖金为Y元，

则随机变量的可能取值为：0，10，30，

可得，，

，

所以随机变量的的分布列为：

所以期望；

又由随机变量的可能取值为：0，20，30，

可得，，，

随机变量的分布列为：

所以期望为，

衣蛾，所以小明应该先猜A；

②设小明终极谜语得到的奖金为元，则随机变量的可能取值为：0，90，

则的分布列为：

则期望为，

若，即，解得 ，

即当至少为时，值得小明同学继续猜谜．

21．已知二项式.

（1）若它的二项式系数之和为128.

①求展开式中二项式系数最大的项；

②求展开式中系数最大的项；

（2）若，求二项式的值被7除的余数.

【答案】（1）① ② （2）1

【分析】（1）先求出的值，①由于展开式共有8项，所以二项式系数最大的项为第4，5项，②设展开式中系数最大的项为第项，然后列不等式组可求得结果，

（2）由于，所以将问题转化为被7除的余数，而，从而可求得答案

【详解】（1），通项为.

①二项式系数最大的项为第4，5项，

.

②设展开式中系数最大的项为第项，则

，，

，解得，

因为，所以或，

所以展开式中系数最大的项为第6，7项，

.

（2）当时，，

因为

，

所以二项式的值被7除的余数就是被7除的余数，

因为

，

所以被7除的余数为1，

所以二项式的值被7除的余数为1.

22．已知函数．

(1)若，求的极值；

(2)讨论的单调性；

(3)若对任意，有恒成立，求整数m的最小值．

【答案】(1)极大值为，无极小值．

(2)分类讨论，答案见解析.

(3)1

【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得；

（2）求导，分，讨论可得；

（3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最大值所在区间可得.

【详解】（1）的定义域为，

当 时，，

令，解得

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减．

所以在时取得极大值为，无极小值．

（2）因为

当时，在上恒成立，此时在上单调递增；

当时

当时，，则在上单调递增；

当时，，则在上单调递减；

综上：当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减．

（3）因为对任意，恒成立，

所以在上恒成立，

即在上恒成立．

设，则．

设，，则在上单调递减，

因为，，

所以，使得，即．

当时，；

当时，．

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以．

因为，所以，

故整数的最小值为1．

【点睛】本题第三问属于恒成立问题,恒成立问题比较常见的处理方法之一便是参变分离法,然后构造函数转化问函数最值问题,利用导数可解.