2022-2023学年江西省智慧上进联盟高二下学期期中调测试数学试题含解析

2022-2023学年江西省智慧上进联盟高二下学期期中调测试数学试题

一、单选题

1．已知数列为1，，9，，25，，…，则数列的一个通项公式是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据观察法，即可求解.

【详解】由题意知，数列：1，4，9，16，25，的通项公式为，

所以数列：的通项公式为.

故选：B.

2．某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程y与时间t的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解.

【详解】由题意知，汽车在时间的平均速度大小分别为，

设路程y与时间t的函数关系为，

则，即为经过点的直线的斜率，

同理为经过点的直线的斜率，

为经过点的直线的斜率，

为经过点的直线的斜率，如图，

由图可知，最小，即最小.

故选：C.

3．已知等差数列的前n项和为，若，则（    ）

A．25 B．45 C．50 D．90

【答案】B

【分析】根据等差数列的性质和求和公式可求出结果.

【详解】根据等差数列的性质可得，

所以.

故选：B

4．已知函数的导函数为，若，则（    ）

A． B．1 C． D．

【答案】A

【分析】求出函数的导函数，再令计算可得.

【详解】因为，

所以，

所以，解得.

故选：A

5．已知等比数列的前项和为，若，，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．6

【答案】B

【分析】根据等比数列下标和性质得到，再代入计算即可.

【详解】

.

故选：B

6．“燃脂单车”运动是一种在音乐的烘托下，运动者根据训练者的指引有节奏的踩踏单车，进而达到燃脂目的的运动，由于其操作简单，燃脂性强，受到广大健身爱好者的喜爱.已知某一单车爱好者的骑行速度v（单位：km/h）随时间t（单位：h）变换的函数关系为，，则该单车爱好者骑行速度的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，求出函数的最小值，即可得解.

【详解】因为，，

所以，所以时，当时，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以.

故选：C

7．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，利用导数可得在上为增函数，在上为减函数，由此可得；构函数，利用导数可得在上为减函数，由此可得，从而可得答案.

【详解】，，

，

令，则，，

当时，，当时，，

所以在上为增函数，在上为减函数，

所以，即，；

，

令，，

因为，所以，所以在上为减函数，

又，所以，即，，

综上所述：.

故选：D

8．如图，已知正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形……如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”.记某勾股树中最大正方形的边长为，第二大的正方形的边长为……以此类推，构成数列，且，若数列满足，则使得成立的的值有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，再根据求出，即可得到的通项公式，从而得到的通项，由得到，解得的取值范围，即可得解.

【详解】依题意可得是以为首项，为公比的等比数列，

所以，又，所以，解得，

所以，所以，

因为，所以，

因为，所以，

又，所以，

解得，又，所以满足条件的的取值集合为.

故选：B

二、多选题

9．下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】根据求导公式、求导法则和简单复合函数的求导结合选项，依次计算即可求解.

【详解】A：，故A错误；

B：，故B正确；

C：，故C错误；

D：，故D正确.

故选：BD.

10．已知等比数列的前n项和为，公比为，若，，则下列说法正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据等比数列的通项公式列式求出和，可判断A和B，再求出和和判断C和D.

【详解】由，得，

由，得，

得，得，得，故B正确；

将代入，得，故A不正确；

，故C正确；

，故D正确.

故选：BCD

11．已知函数，则下列说法正确的是（    ）

A．曲线在处的切线与直线垂直

B．在上单调递增

C．的极小值为

D．在上的最小值为

【答案】BC

【分析】求出函数的导函数，求出，即可判断A，求出函数的单调区间，即可判断B、C、D.

【详解】因为，所以，

所以，故A错误；

令，解得，所以的单调递增区间为，

而，所以在上单调递增，故B正确；

当时，所以的单调递减区间为，

所以的极小值为，故C正确；

在上单调递减，所以最小值为，故D错误；

故选：BC

12．已知数列的前n项和为，且，，，则下列说法正确的是（    ）

A． B．数列是等比数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据题意，数列隔项成等差，通过分奇偶，求出通项公式，即可逐一验证各项正误.

【详解】解：根据，得，解得：，

所以，当n为偶数时，，

同理，当n为奇数时，，

对于A, ,故A正确，

对于B, 若数列是等比数列, 即要求数列为等差数列，根据上述结论，数列不为等差数列，故B错误.

对于C, ,故C正确，

对于D,

,故D正确，

故选：ACD.

三、填空题

13．已知首项为的数列满足，则________.

【答案】

【分析】根据递推公式计算可得.

【详解】因为，，

所以，.

故答案为：

14．若函数存在两个极值点，则实数的取值范围是________.

【答案】

【分析】分析可知有两个不等的零点，由，即可求得实数的取值范围.

【详解】因为，所以，

因为函数有两个极值点，所以有两个不等的零点，

则，解得或，

不妨设的两个零点分别为、且，

由，可得，由，可得或，

此时函数有两个极值点.

因此，实数的取值范围是.

故答案为：.

15．已知首项为1的数列满足，则________.

【答案】

【分析】由，得，再利用等比数列的通项公式求出，从而可得.

【详解】由，得，

因为，所以，进而，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，

所以，即.

故答案为：.

16．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是________.

【答案】

【分析】根据题意可得在上恒成立，即在上恒成立，利用导数研究函数的性质即可求解.

【详解】，则，

因为函数在上单调递增，

所以在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，设，

则，令，令，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，

即函数在上单调递增，在上单调递减，

得，所以，

即实数a取值范围为.

故答案为：.

四、解答题

17．已知等差数列的前n项和为，且，.

(1)求数列的通项公式以及；

(2)求的最小值.

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组，求得，结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算即可求解；

（2）由（1）可得，结合二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）由题意得，设等差数列的公差为d，

则，即，解得，

所以，

；

（2）由（1）知，，

是一条开口向上，对称轴为的抛物线，

所以当时，取到最小值，且最小值为，

所以的最小值为.

18．已知函数.

(1)求曲线在处的切线方程；

(2)求的单调区间.

【答案】(1)

(2)单调递增区间是和，单调递减区间是

【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程；

（2）利用导数，根据和，求函数的单调区间.

【详解】（1），，

所以函数在处的切线方程为，

即切线方程为；

（2），

当，解得：或，

当，解得：，

所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是.

19．已知数列的前n项和为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据与的关系即可求解数列的通项公式；

（2）由（1）可得，结合裂项相消求和法即可求解.

【详解】（1）①，

当时，，解得.

当时，②，

①-②，得，所以，

又，符合上式，故.

（2）由（1）知，则，

所以，

则

.

20．已知函数.

(1)若，求的极值；

(2)若，恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)极小值为，无极大值；

(2)

【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义即可求解；

（2）利用导数研究函数的单调性，求出.由题意可得在上恒成立，即可求解.

【详解】（1）当时，，则，

令，令，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，且极小值为，无极大值.

（2）当时，，则，

令，令，

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

故函数在处取得极小值，即为最小值，

且最小值为.

又恒成立，所以在上恒成立，

所以，即实数的取值范围为.

21．已知正项等差数列的前n项和为，其中，.

(1)求数列的通项公式及；

(2)若，求数列的前n项和.

【答案】(1)，；

(2)

【分析】（1）根据条件，列出首项和公差的方程组，即可求解；

（2）由（1）可知，，再利用错位相减法求和.

【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，

则，则，

因为，所以，

化简为，解得：或（舍），

所以，；

（2），

两式相减得，

22．已知函数.

(1)讨论函数在上的零点个数；

(2)当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)答案见解析

(2)，理由见解析

【分析】（1）求导，得到函数单调性和极值情况，并结合端点值大小，分类讨论得到函数的零点个数；

（2）判断出，不等式同构变形得到，构造，得到其单调性，并构造的单调性，证明出结论.

【详解】（1），，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

又，，，其中，

若，即时，零点个数为0，

若，即时，零点个数为1，

若，即时，零点个数为2，

若，即时，零点个数为1，

若，即时，零点个数为0，

综上：当或时，零点个数为0，

当或时，零点个数为1，

当时，零点个数为2.

（2），理由如下：

，，

当时，，故，

当时，，故，

要证，即证，其中，

故即证，

令，，即证，

，

令，则，

当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故在上恒成立，

所以在上恒成立，

则在上单调递增，

则，

令，，

，当时，，当时，，

故在上单调递减，在上单调递增，

故，即，结论得证.

【点睛】导函数求解参数取值范围，当函数中同时出现与，通常使用同构来进行求解，本题难点是变形得到，从而构造进行求解.