2022-2023学年辽宁省实验中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年辽宁省实验中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（    ）

A． B． C． D．1

【答案】C

【分析】利用超几何分布的均值公式即可求出结果.

【详解】由题知服从的超几何分布，所以，

故选：C.

2．已知等比数列{an}的前n项和为S，若，且，则S3等于（    ）

A．28 B．26 C．28或-12 D．26或-10

【答案】C

【分析】根据等比数列的通项公式列出方程求解，直接计算S3即可.

【详解】由可得，即，所以，

又，解得，

所以，即，

当时，，所以，

当时，，所以，

故选：C

3．现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的城市分别随机调查了20名市民，得到如下列联表：

附：.

根据表中的数据，下列说法中正确的是（    ）

A．没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

B．有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

C．可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

D．可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”

【答案】D

【分析】计算出，比较所给数据，可得结论．

【详解】由题意，根据列联表中的数据，得，

又，

所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.

故选：D.

4．已知数列{}满足（n∈N*），则=（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据已知条件，应用作差法可得，进而求得数列{}的通项公式，注意验证是否满足通项公式.

【详解】由题设，①，则②，

①-②得：，

所以，由①知也满足上式，故（n∈N*）.

故选：C.

5．设函数，已知，，，，则（    ）

A．－2 B．－1 C． D．3

【答案】B

【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.

【详解】由已知，

.

故选：B.

6．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3

【答案】B

【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式进行计算即可．

或

，

,可知

故答案选B.

点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．

7．设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ）

A． B．

C． D．3

【答案】B

【分析】先由等差数列的前项和公式设出，，再按照直接计算即可.

【详解】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.

故选：B.

8．设有三个不同的零点，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，构造函数和，画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，结合图像关系即可求解．

【详解】如图，由有三个不同的零点，可得有三个不同的零点，

画出函数的图像，直线过定点，

当时，设过的直线与的切点为，

由，得，所以，故切线方程为，

把定点代入得：，即，

所以，即直线的斜率为，

由图知，当时，与有三个交点，

所以使有三个不同的零点的的取值范围是.

故选：C.

二、多选题

9．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（    ）

A．抽取2次后停止取球的概率为 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为

C．取球次数ξ的期望为2 D．取球3次的概率为

【答案】BD

【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解.

【详解】设 为取球的次数,则可取1,2,3,故可知

，

，

，

对于A，抽取2次后停止取球的概率为：，故A错误；

对于B，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：故B正确；

，故C错误；

取球三次的概率为，故D正确.

故选:BD

10．已知数列的前n项和为，下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，则，，成等比数列

【答案】BC

【分析】对选项A，利用特值法判断即可得到A错误，对选项B，利用与的关系判断即可得到B正确，对选项C，根据等差数列公式即可判断C正确，对选项D，利用特值法判断即可判断D.

【详解】对选项A，，，，

，不满足是等差数列，故A错误.

对选项B，当时，，

当时，，

检验：时，，所以，即是等比数列，故B正确.

对选项C，，故C正确.

对选项D，当时，是等比数列，

，，，

不满足，，成等比数列，故D错误.

故选：BC.

11．已知函数的导函数为，则下列选项正确的有（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】AC

【分析】根据复合函数的导数公式判断选项A，B，C；根据指数函数的求导公式判断选项D.

【详解】对于A，令，，因为，，所以，故A正确；

对于B，因为，所以，故B不正确；

对于C，因为，所以，故C正确；

对于D，因为，所以，故D不正确.

故选：AC.

12．骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰，它是一个质地均匀的正方体，六个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6.现有一款闯关游戏，共有关，规则如下：在第关要抛掷六面骰次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，.假定每次闯关互不影响，则(    )

A．直接挑战第关并过关的概率为

B．连续挑战前两关，至多过一关的概率为

C．若直接挑战第关，设“三个点数之和等于”，至少出现一个点”，则

D．若直接挑战第关，则过关的概率是

【答案】ACD

【分析】选项AD：由题意利用分类讨论的方法，求出满足题意的基本事件数以及基本事件总数即可求解；选项B：首先求出和时过关的概率，并结合对立事件性质即可求解；选项C：首先求出事件和事件的概率，然后利用条件概率公式求解即可.

【详解】对于选项A：当时，，因为抛掷2次出现的点数之和大于6的情况有21种，

从而直接挑战第关并过关的概率为，故A正确；

对于选项B：当时，，抛掷1次出现的点数之和大于3的情况有3种，

从而直接挑战第1关并过关的概率为，

故连续挑战前两关，至多过一关的概率为，故B错误；

对于选项C：由题意可知，抛掷3次共有个基本事件，

故事件共有个基本事件，所以，

又因为事件共有7个基本事件：

抛掷3次，点数都为5的共1种；

抛掷3次中，仅有1次点数为5的共6种，

所以，故，故C正确；

对于选项D：当时，，基本事件总数共个，

而“点数之和大于20”等价于抛掷4次中，至少有1次点数为6，

即包含以下35种基本事件：

抛掷4次，有1次点数为6的，共有4种；

抛掷4次，有2次点数为6的，共有18种；

抛掷4次，有3次点数为6的，共有12种；

抛掷4次，有4次点数都为6的，共有1种，

所以，故D正确.

故选：ACD.

三、双空题

13．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝______时正确，再推＝______时正确．

【答案】         

【分析】根据数学归纳法的证明步骤即可得到结果.

【详解】因为用数学归纳法证明：当为正奇数时，能被整除，

第一步，当时，能被整除；

第二步，假设，时，命题正确，再证明，时，命题正确．

故答案为：，

四、填空题

14．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售.已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响.若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元.已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则P(X≥－80)＝________.

【答案】

【解析】首先求某产品两轮检测合格的概率，X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，然后根据二项分布求其概率，并计算.

【详解】由题意得该产品能销售的概率为,易知X的所有可能取值为－320，－200，－80,40,160，设ξ表示一箱产品中可以销售的件数，则ξ～B，

所以，

所以P(X＝－80)＝P(ξ＝2)＝ ，

P(X＝40)＝P(ξ＝3)＝，

P(X＝160)＝P(ξ＝4)＝,

故P(X≥－80)＝P(X＝－80)＋P(X＝40)＋P(X＝160)＝.

【点睛】本题考查独立事件同时发生的概率和二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质,将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.

15．若函数的图象在点处的切线也与函数的图象相切，则实数k的值为_______（其中e为自然对数的底数）．

【答案】/

【分析】先求导求出点处的切线斜率，写出切线方程，再设出函数上的切点，表示出切线方程，由两条切线对应系数相等，解方程即可.

【详解】由得，则点处的切线斜率为，切线方程为，即；

由函数得，设切点为，则切线斜率为，故切线方程为，

即，则，解得，故.

故答案为：.

16．已知各项都为整数的数列中，，且对于任意的，满足，，则______．

【答案】

【分析】根据数列递推式可得，两式相加可得，结合条件求得，利用累加法即可求得答案.

【详解】因为，所以，两式相加得，

又，且数列各项都为整数，

所以，又，从而

,

故答案为: .

五、解答题

17．已知数列的前n项和为，满足，.

(1)求数列的通项公式；

(2)记，求数列的前100项的和.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）利用，整理可得数列是等比数列，求其通项公式即可；

（2）求出，然后分组求和.

【详解】（1）当时，，

整理得，

又，得

则数列是以-2为首项，-2为公比的等比数列.

则，

（2）当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

则

18．设函数f(x)＝ax＋(a，b∈Z)，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方

程为y＝3.

(1)求f(x)的解析式；

(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，

并求出此定值．

【答案】(1) f(x)＝x＋；(2)证明见解析

【详解】(1)解　f′(x)＝a－，

解得或

因为a，b∈Z，故f(x)＝x＋.

(2)在曲线上任取一点，由f′(x0)＝1－知，过此点的切线

方程为y－＝[1－] (x－x0)．

令x＝1，得y＝， 切线与直线x＝1的交点为 (1,)；

令y＝x，得y＝2x0－1，切线与直线y＝x的交点为(2x0－1,2x0－1)；

直线x＝1与直线y＝x的交点为(1,1)，从而所围三角形的面积为

|2x0－1－1|＝2.

所以，所围三角形的面积为定值2.

19．新高考方案的考试科目简称“”，“3”是指统考科目语数外，“1”指在首选科目“物理、历史”中任选1门，“2”指在再选科目“化学、生物、政治和地理”中任选2门组成每位同学的6门高考科目.假设学生在选科中，选修每门首选科目的机会均等，选择每门再选科目的机会相等.

（Ⅰ）求某同学选修“物理、化学和生物”的概率；

（Ⅱ）若选科完毕后的某次“会考”中，甲同学通过首选科目的概率是，通过每门再选科目的概率都是，且各门课程通过与否相互独立.用表示该同学所选的3门课程在这次“会考”中通过的门数，求随机变量的概率分布和数学期望.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

【分析】（Ⅰ）显然各类别中，一共有种组合，而选修物理、化学和生物只有一种可能，于是通过古典概率公式即可得到答案；

（Ⅱ）找出的所有可能取值有0，1，2，3，依次求得概率，从而得到分布列和数学期望.

【详解】解：（Ⅰ）记“某同学选修物理、化学和生物”为事件，

因为各类别中，学生选修每门课程的机会均等

则，

答：该同学选修物理、化学和生物的概率为.

（Ⅱ）随机变量的所有可能取值有0，1，2，3.

因为，

，

，

，

所以的分布列为

所以数学期望.

【点睛】本题主要考查分布列和数学期望的相关计算，意在考查学生处理实际问题的能力，对学生的分析能力和计算能力要求较高.

20．已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．

(1)求a，b，c的值；

(2)求公切线所在的直线方程；

(3)若抛物线上的点M到直线的距离最短，求点M的坐标和最短距离．

【答案】(1)，，

(2)

(3)，

【分析】（1）对已知两个函数求导数，由公切线得斜率相等，再把点坐标代入两个函数式，可解得；

（2）由（2）得切线斜率，从而得公切线方程；

（3）由抛物线的导数值等于4可得点坐标，再由点到直线距离公式可得结论．

【详解】（1）根据导函数定义可知，两个函数的导函数分别是

．

．

将分别代入两曲线方程得到，．

又，，则，解得，，．

（2）由（1）知，；当时，，故切线方程

为，即．

由（1）知，，当时，，故切线方程为，即．

综上所述，公切线所在的直线方程为．

（3）要使抛物线上的点M到直线的距离最短，则抛物线在点M处

的切线斜率应该与直线相同，

则，

解得．又因为点M在抛物线上，解得，

所以最短距离即d为点M到直线的距离，

代入点到直线的距离公式得．即最短距离为．

21．已知正项数列的前n项和为，给出以下三个条件：①，；②；③，.从这三个条件中任选一个解答下面的问题.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前n项和.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据所选条件构造数列或利用与关系求解

（2）根据题意求和，使用裂项相消法

【详解】（1）若选①：由，得.

令，，可得.

当时，，，…，，

累加得.

又，则，则.

又也适合上式，所以.

若选②：由，可得.

又是正项数列，所以，所以，则.

当时，.

又也适合上式，所以.

若选③：由得，当时，，两式作差得

，整理得.

由于，故，即是首项为1，公差为2的等差数列，所以.

（2）由（1）得，，

则，

所以

.

22．如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．

（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；

（2）求的分布列和数学期望．

【答案】（1）（2）

【详解】试题分析：（1）根据等可能性知每次赢、平、输的概率皆为．再分两种情况分别计数：一种是小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；另一种是小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，逆推确定事件数及对应划拳的次数，最后利用互斥事件概率加法公式求概率，（2）先确定随机变量取法,再分别利用组合求对应概率,列表可得分布列,最后根据数学期望公式求期望.

试题解析：解：（1）易知对于每次划拳比赛基本事件共有个，其中小华赢（或输）包含三个基本事件上，他们平局也为三个基本事件，不妨设事件“第次划拳小华赢”为；事件“第 次划拳小华平”为；事件“第 次划拳小华输”为，所以．

因为游戏结束时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：

第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平；

其概率为，

第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输，

其概率为

所以游戏结束时小华在第2个台阶的概率为．

（2）依题可知的可能取值为2、3、4、5，

，

，

，

所以的分布列为：

所以的数学期望为：

．