2022-2023学年河北省石家庄市二十五中高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年河北省石家庄市二十五中高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．下列式子求导正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数的运算公式分别求导数即可，注意A中的余弦函数的导数公式，B中的分式求导可转化为幂函数求导，C中注意求导要用到复合函数的求导法则，D中的是常数，求导为零，不同于在时导数值.

【详解】∵，∴，

由，可得，

，

∵是常数，而常数的导数为0，∴，

故选：C

2．已知函数可导，且满足，则函数在x＝3处的导数为（    ）

A．2 B．1 C．－1 D．－2

【答案】D

【分析】根据导数的定义即可得到答案.

【详解】由题意，，所以.

故选：D.

3．设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象.

【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B，

故选：D.

4．函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】通过题意将问题转化为存在使得成立，通过参变分离手段求解即可.

【详解】由题意得，，

因为函数在区间内存在单调递增区间，

所以存在使得成立，即.

故选:C

5．如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为（    ）

A．18 B．24 C．30 D．42

【答案】A

【分析】根据涂色问题，按照使用颜色种数进行分类，再结合分步计数原理，即可得总的方法数.

【详解】若用3种不同的颜色灯带，故有两块区域涂色相同，要么，要么相同，有2种方案，则不同的信号数为；

若只用2种不同的颜色灯带，则颜色相同，颜色相同，只有1种方案，则不同的信号数为；

则不同的信号总数为.

故选：A．

6．某芯片制造厂有甲、乙、丙三条生产线均生产5mm规格的芯片，现有25块该规格的芯片，其中甲、乙、丙生产的芯片分别为5块，10块，10块，若甲、乙、丙生产该芯片的次品率分别为0.1，0.2，0.3，则从这25块芯片中任取一块芯片，是正品的概率为（    ）

A．0.78 B．0.64 C．0.58 D．0.48

【答案】A

【分析】设“任取一块芯片是正品”，分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，根据互斥事件的概率公式以及全概率公式，即可求得答案.

【详解】设 “任取一块芯片是正品”，分别表示芯片由甲、乙、丙三条生产线生产，

根据题意可得∶，

，

由全概率公式可得∶.

故选：A

7．设，若，则实数a的值为（    ）

A．2 B．0 C．1 D．

【答案】A

【分析】对已知关系式两边同时求导，然后令，建立方程即可求解.

【详解】对已知关系式两边同时求导可得：

，

令，则，

，即，解得：.

故选：A.

8．f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0且f（﹣1）＝0则不等式f（x）g（x）＜0的解集为

A．（﹣1，0）∪（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（0，1）

C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

【答案】A

【分析】构造函数h（x）＝f（x）g（x），由已知得当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，得到f（x）g（x）＜0不等式的解集．

【详解】设h（x）＝f（x）g（x），因为当x＜0时，f（x）g（x）+f（x）g（x）＜0，

所以当x＜0时，h（x）＜0，所以函数y＝h（x）在（﹣∞，0）单调递减，

又因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，

所以函数y＝h（x）为R上的奇函数，所以函数y＝h（x）在（0，+∞）单调递减，

因为f（﹣1）＝0，所以函数y＝h（x）的大致图象如下：

所以等式f（x）g（x）＜0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）

故选A．

【点睛】本题考查导数的乘法法则、导数的符号与函数单调性的关系；奇函数的单调性在对称区间上一致，属于中档题．

二、多选题

9．A，B，C，D，E五个人并排站在一起，下列说法正确的是（    ）

A．若A，B不相邻，有72种排法 B．若A在正中间，有24种排法

C．若A在B左边，有24种排法 D．若A，B相邻，有24种排法

【答案】AB

【分析】A.利用插空法求得选项 A正确；B.直接利用分步原理和排列求得选项B正确；C.利用缩倍法求得选项C不正确；D.利用捆绑法求得选项D不正确.

【详解】A.若A、B不相邻，利用插空法得共有种方法，故A正确；

B.若A站在最中间，有种方法，故B正确；

C. 若A在B左边，利用缩倍法共有种方法，故C不正确；

D. 若A、B两人相邻站在一起，利用捆绑法共有，故D不正确.

故选：AB

10．已知曲线，则过点，且与曲线相切的直线方程可能为（   ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【分析】设出切点坐标，求出函数的导数，利用点斜式写出方程，再代入计算作答.

【详解】设过点的直线与曲线相切的切点为，由求导得，

于是得切线方程为，即，则，解得或，

因此得切线方程为或，

所以所求切线的方程是或.

故选：AB

11．在的展开式中，二项式的系数和为256，则下列说法正确的是（    ）

A． B．展开式中各项系数和为256

C．第4项的二项式系数最大 D．展开式中所有系数的绝对值的和为4

【答案】AB

【分析】根据二项式定理及其性质计算逐一分析判断即可.

【详解】由二项式定理可知，二项式系数之和为，解得，A选项正确；

令，得，B选项正确；

时，的展开式共项，二项式系数最大的项为第项，C选项错误；

设，

则，，，为负数，，，，，为正数，

故展开式中所有系数的绝对值的和为

，

令，得，D选项错误.

故选：AB.

12．对于函数，下列说法正确的有（    ）．

A．在处取得极大值

B．有两不同零点

C．

D．若在上恒成立，则

【答案】ACD

【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；

对于B，令，则可得函数的零点；

对于C，由选项A的解答过程可知，当时，函数为减函数，所以，而，从而可得结果；

对于D，由在上恒成立，得，令，再利用导数求此函数的最大值即可

【详解】函数的导数，，

令得，则当时，，函数为增函数，

当时，，函数为减函数，

则当时，函数取得极大值，极大值为，故正确，

由，得，得，即函数只有一个零点，故错误，

， 由时，函数为减函数知，

故成立，故正确，

若在上恒成立，

则，

设，，

则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，

即当时，函数取得极大值同时也是最大值，

成立，故正确.

故选：ACD．

【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．

三、填空题

13．函数，的单调递减区间为______．

【答案】

【分析】根据导数的符号求解即可.

【详解】当时，，

所以的单调递减区间为.

故答案为：

14．某学习小组共有10名成员，其中有6名女生，为学习期间随时关注学生学习状态，现随机从这10名成员中抽选2名任小组组长．协助老师了解学情，A表示“抽到的2名成员都是女生”，B表示“抽到的2名成员性别相同”，则__________．

【答案】/0.6

【分析】可以利用或计算，注意本题中两个事件具有包含关系，即.

【详解】[解法一]

抽到的2名成员都是女生的取法有种，

抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，

有种，所以,.

因为，所以，

所以.

[解法二]

10名成员中任选2人，有种不同的取法，每种取法都是等可能的.

抽到的2名成员都是女生的取法有种，

抽到的2名成员性别相同即为都是女生或都是男生的取法，

有种，所以,.

由于，所以，

所以,,

所以.

15．展开式中的系数是______（用数字作答）.

【答案】

【分析】求得的展开式的通项为，进而得出展开式中含有的项，即可求解.

【详解】由的展开式的通项为，

则展开式中含有的项为，

所以展开式中的系数是.

故答案为：.

16．已知函数对区间上任意的都有，则实数m的最小值是________.

【答案】20

【分析】求出在上的最大值和最小值后由两者差可得的范围，即得的最小值、

【详解】，则＝0，，当或时，，递增，当时，，递减．

所以，，又，，

所以在上，，

所以的最大值为，即，所以的最小值为20．

故答案为：20．

【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，解题关键是命题对区间上任意的都有，转化继．

四、解答题

17．已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240．求：

(1)n的值；

(2)展开式中x项的系数；

(3)展开式中所有含x的有理项．

【答案】(1)4

(2)54

(3)第1项，第3项，第5项

【分析】（1）由题可得，解方程即得；

（2）利用二项展开式的通项公式，即得；

（3）利用二项展开式的通项公式，令，即求．

【详解】（1）由已知，得，即，

所以或（舍） ，

∴．

（2）设展开式的第项为．

令，得，

则含x项的系数为．

（3）由（2）可知，令，则有，2，4，

所以含x的有理项为第1项，第3项，第5项．

18．设某厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%.现从该厂这批产品中任取一件.

(1)求取到次品的概率；

(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？

【答案】(1)

(2)此次品由甲车间生产的概率为：，由乙车间生产的概率为：，由丙车间生产的概率为：

【分析】（1）根据全概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据贝叶斯公式，计算出所求概率.

【详解】（1）取到次品的概率为

（2）若取到的是次品，则：

此次品由甲车间生产的概率为：.

此次品由乙车间生产的概率为：.

此次品由丙车间生产的概率为：.

19．已知．

(1)当时，讨论的单调区间；

(2)若在定义域内单调递增，求的取值范围．

【答案】(1)单调增区间是，单调递减区间为.

(2)．

【分析】（1）对求导，利用导函数的正负讨论单调区间；

（2）在定义域内单调递增，即导函数恒成立，解的取值范围即可.

【详解】（1）当时，，定义域.

.

令，即解得：；

令，即解得：；            

∴当时，函数的单调增区间是，递减区间为.

（2）∵，∴

∵在上单调递增，即恒成立，

∵时

∴，即a的取值范围为．

20．已知函数，若曲线在处的切线方程为．

(1)求，的值；

(2)求函数在上的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；

（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.

【详解】（1）由已知可得．

又，

所以．

（2）由（1）可知，，

令，解得或，

所以在和上单调递增，在上单调递减．

又，，

所以函数在上的最小值为．

21．已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．

(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；

(2)若f(x)在区间上的最大值为－3，求a的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出，利用导数判断函数的单调性，由此可得函数的最值；

（2）求出，分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最值，结合题意列出方程，求解的值即可.

【详解】（1）解：函数的定义域为，

当时，，

则，

当时，，当时，，

所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，

所以，

所以当时，求的最大值为；

（2）解：函数，

则，，，

①若，则，所以在上单调递增，

故，不符合题意；

②若，

当时，，当时，，

所以在上为单调递增函数，在上为单调递减函数，

则，

令，可得，

解得，

因为，

所以符合题意，

综上所述.

22．已知函数的图象在（为自然对数的底数）处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知得出，可求得实数的值；

（2）由参变量分离法可得出对任意的，利用导数求出函数在其定义域上的最小值，可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为，则，由已知可得，解得.

此时，，当时，，此时函数单调递减，

当时，，此时函数单调递增，

故函数在处取得极小值，合乎题意.

因此，.

（2）解：由（1）可得，该函数的定义域为，

由可得，令，其中，

则.，

设，则，所以，在上是增函数，

又因为，当时，，即，此时函数单调递减，

当时，，即，此时函数单调递增，

所以，，故.