2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知等差数列的前n项和为，若，，则公差为（    ）

A．-3 B．-1 C．1 D．3

【答案】B

【分析】由前n项和及等差中项的性质可得求得，进而求公差即可.

【详解】由，则，

∴公差.

故选：B.

2．在等差数列中，若，，则（    ）

A．10 B．20 C．25 D．30

【答案】C

【解析】根据等差数列通项公式，可得关于首项与公差的方程组，解方程组即可得首项与公差，进而由等差数列通项公式求得.

【详解】在等差数列中，，，

根据等差数列通项公式，设公差为，

可知，解得，

故

，

故选：C.

【点睛】本题考查了等差数列通项公式的基本量计算，属于基础题.

3．已知f(x)＝xlnx，若，则x0＝（    ）

A．e2 B．e C． D．ln2

【答案】B

【分析】对函数进行求导，然后代入求值即可.

【详解】因为f(x)＝xlnx，所以，

由，解得.

故选：B.

4．设等比数列的前项和为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设等比数列公比为，由结合已知条件求、，再利用等比数列前n项和公式求.

【详解】设等比数列公比为，则，又，

∴，故，

又，即.

故选：C

5．设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【详解】D试题分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．

解：，

∴y′（0）=a﹣1=2，

∴a=3．

故答案选D．

【解析】利用导数研究曲线上某点切线方程．

6．设数列满足且，则（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题意首先确定数列为周期数列，然后结合数列的周期即可求得最终结果.

【详解】由题意可得：，，

，，

据此可得数列是周期为4的周期数列，

则.

故选：D

7．直线与曲线相切，则的值为（    ）

A．2 B．-2 C．-1 D．1

【答案】D

【分析】求出，设切点，由求出，代入可得答案.

【详解】，设切点，由，

所以，代入，得．

故选：D.

8．已知数列是等比数列，，，令，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，且当时，得到数列是以为公比的等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解.

【详解】设等比数列的公比为，

因为，，可得，解得，

则，解得，所以

又由当时，，

所以数列表示首项为，以为公比的等比数列，

所以.

故选：C．

二、多选题

9．若为等差数列，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．是数列中的项

C．数列单调递减

D．数列前7项和最大

【答案】ACD

【分析】由为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.

【详解】因为数列为等差数列，且，则，解得，，故A选项正确，

由，得，故B错误，

因为，所以数列单调递减，故C正确，

由数列通项公式可知，前7项均为正数，，所以前7项和最大,故D正确.

故选：ACD

10．已知是数列的前项和，，则下列结论正确的是（    ）

A．数列是等比数列 B．数列是等差数列

C． D．

【答案】ACD

【分析】利用求解出当时，，故数列是等比数列，求出通项公式和前项和公式，判断出答案.

【详解】当时，，所以，

当时，，所以，所以，

所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，

.

故选：ACD.

11．如图是函数的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的是（    ）

A．在上是增函数

B．当时，取得极小值

C．在上是增函数，在上是减函数

D．当时，取得极小值

【答案】BC

【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号，从而得到单调区间，进而得到极值点.

【详解】由图象知，当上，恒成立，即在上单调递减，A项错误；

又当时，恒成立，即在上单调递增，所以当时，取得极小值，B项正确；

当时，恒成立，即在上单调递减，C项正确；

当时，恒成立，即在上单调递减，所以D项错误.

故选：BC.

12．已知函数的图象在点处的切线的斜率为2，则（    ）

A． B．有两个极值点

C．有2个零点 D．有1个零点

【答案】ABD

【分析】首先求导得，利用切线斜率与导数关系得到，解出值即可判断A选项，将代回原函数与导函数，利用导数与极值的关系，求出时的两根，即可判断B选项，利用零点存在定理和数形结合的思想即可判断其零点个数.

【详解】，由题得，，，故A正确，

，，令，或，

令，即，，令，则或，

在上单调递增，在上单调递减，

在取得极大值，在取得极小值，故有两极值点，故B正确，

又，，则且在上单调递增，且图像连续不断，故在上有一零点，

而，则其无其他零点，大致图像如图所示：

故C错误，D正确.

故选：ABD.

三、填空题

13．等差数列的前项和为，，，则取得最大值时的值为_____.

【答案】5或6

【分析】先求得，然后利用求得正确答案.

【详解】设等差数列的公差为，

，解得，

所以，

由，解得，又，

所以取得最大值时的值为5或6.

故答案为：5或6

14．已知函数的图象在处的切线经过坐标原点，则实数的值等于___________．

【答案】

【分析】由导数的几何意义求出切线方程，结合切线经过坐标原点，即可求得的值.

【详解】因为，所以，

所以，又，

所以在处的切线方程为：，

又切线方程过原点，把代入得，

解得：．

故答案为：.

15．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为S，若a3，a5，a10成等比数列，则_________.

【答案】

【分析】根据等比中项的性质求得等差数列的项和公差的关系，最后求出的值.

【详解】设 的公差为d（）,

由题意知,

即，

即，

∵，

∴，

∴,

故答案为：.

【点睛】等差、等比数列基本量的求解是数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

16．若函数的导函数为偶函数，则曲线在点处的切线方程为____________．

【答案】（或）

【分析】求出导函数，由其为偶函数得值，然后计算出斜率，再计算出，由点斜式得直线方程并整理．

【详解】因为为偶函数，所以，解得，则．

又，故曲线在点处的切线方程为，即．

故答案为：．

四、解答题

17．已知是各项均为正数的等比数列，.

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

【答案】（1）；（2）.

【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果；

(2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．

【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，，

所以令数列的公比为，，，

所以，解得(舍去)或，

所以数列是首项为、公比为的等比数列，．

(2)因为，所以，，，

所以数列是首项为、公差为的等差数列，．

【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．

18．已知函数

(1)求函数的单调递减区间；

(2)求函数的极值.

【答案】(1)

(2)的极小值为，无极大值.

【分析】（1）求导，由导函数小于0求出单调递减区间；（2）求出函数的递增区间，结合第一问求出极小值，无极大值.

【详解】（1），令，解得：，

故函数的单调递减区间是

（2）令得：

故在单调递减，在单调递增，

所以在处取得极小值，，

所以的极小值为，无极大值.

19．已知等差数列的公差为2，若，，成等比数列．

(1)求等差数列的通项公式；

(2)若等差数列的前n项和为，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）根据条件求出即可；

（2）利用裂项相消法求出即可证明.

【详解】（1）因为，，成等比数列，所以

又因为为等差数列，公差为2

所以，解得，

则；

（2）由（1）得

则

．

20．已知数列的前项和为，且

（1）设，求证：是等比数列；

（2）求数列的通项公式．

【答案】(1)见证明；(2) 1－

【分析】（1）通过与作差、整理可知，进而可知数列是以为首项、为公比的等比数列；

（2）通过（1）可知，进而可知．

【详解】（1）证明：，

，

两式相减得：，

整理得：，

又，

，

又，即，

，

数列是以为首项、为公比的等比数列；

（2）解：由（1）可知，，

．

【点睛】本题考查由与关系求数列的通项，注意解题方法的积累，属于基础题．

21．已知数列的前n项和为，．

(1)求数列的通项公式；

(2)已知，求数列的前n项和．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用与的关系式，分类讨论并检验可求得；

（2）利用错位相减法即可求得.

【详解】（1）因为，

所以当时，，

当时，，

故，

经检验，满足，

所以.

（2）由（1）得，

所以，

则，

两式相减，得，

所以.

22．已知函数，其中，若的图象在点处的切线方程为．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数在区间上的最值．

【答案】(1)

(2)最大值为 ，最小值为.

【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义结合给定切线求解作答.

（2）利用（1）的函数解析式，利用函数在区间上的单调性，即可求解作答.

【详解】（1）依题意，，切点在切线上，则，

，

而的图象在点处的切线斜率为，，解得得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）知，，由得或，

当时，或，有，，有，

因此函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，，

所以在上的最大值为 ，最小值为.