2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高二下学期期中联考数学试题含解析

2022-2023学年湖北省部分普通高中联盟高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．下列导数运算正确的（    ）．

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据基本初等函数的导数公式计算可得.

【详解】对于A：，故A正确；

对于B：，故B错误；

对于C：，故C错误；

对于D：，故D错误；

故选：A

2．下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据数列单调性的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，B选项对应数列是递减数列．对于C选项，，故数列是递增数列．对于D选项，由于．所以数列不是递增数列．

故选：C.

3．已知等比数列的前项和是，且，则（    ）

A．24 B．28 C．30 D．32

【答案】C

【分析】由条件求出,代入等比数列求和公式即可.

【详解】因为，代入得：，

即，解得，

故，

故选：C.

4．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据向量的线性运算一步步将向量化为关于，，，即可整理得出答案.

【详解】，

，

，

，

.

故选：B.

5．等比数列的前项和为，，，则为（    ）

A． B． C． D．或

【答案】A

【分析】根据等比数列片段和性质可构造方程求得，再由可得最终结果.

【详解】由题意知：，，成等比数列，

，解得：或；

，.

故选：A.

6．已知为等差数列的前n项和，若，，则当取得最大值时，n的取值为（    ）

A．7 B．9 C．16 D．18

【答案】B

【分析】由已知结合等差数列的性质和前项和公式，可推得，，从而得解．

【详解】因为等差数列中，，，

所以，，即，，

所以，，所以，，

由为等差数列，得时，；时，，

所以当时，取得最大值．

故选：B．

7．函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先求出函数的定义域，然后求导，判断单调性；另一方面，当时，从函数值的正负性加以判断，最后选出答案.

【详解】函数的定义域为，

，

当时，，所以在上单调递增；

当或时，，所以在和上单调递减，

显然当时，，当时，.

故选：B.

8．设为实数，若函数有且仅有一个零点，则的取值范围是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用导数分析函数的单调性，利用零点存在定理可知函数在上只有一个零点，则函数在上无零点，并利用导数分析函数在上的单调性，可得出关于实数的不等式，解之即可.

【详解】当时，，则且不恒为零，

所以，函数在上单调递增，所以，，

又因为，所以，函数在上只有一个零点；

因为函数只有一个零点，则函数在上无零点，

则当时，，则，

由可得，由可得.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，只需，解得.

故选：C.

二、多选题

9．已知是椭圆上一点，是左､右焦点，下列选项中正确的是（    ）

A．椭圆的焦距为2 B．椭圆的离心率

C． D．的面积的最大值是2

【答案】BCD

【分析】对于ABC，由椭圆的标准方程求得，再利用椭圆的定义与性质即可判断；对于D，由椭圆的几何性质与的面积公式即可判断．

【详解】对于A，因为椭圆，所以知，

所以椭圆的焦距为，故A错误；

对于B，椭圆的离心率为，故B正确；

对于C，由椭圆的定义可得，故C正确；

对于D，设，由椭圆的几何性质可知，

所以，

即的面积的最大值是2，故D正确.

故选：BCD．

10．如图是函数的导函数的图像，则下列判断正确的是（    ）

A．在区间上，单调递增

B．在区间上，单调递增

C．在区间上，单调递增

D．在区间上，单调递增

【答案】BC

【分析】当，则单调递增，当，则单调递减，据此可得答案.

【详解】由题图知当时，，

所以在区间上，单调递增，BC正确；

当时，，当时，，所以在区间上，单调递减.在上递增，A错误；

当时，，所以在区间上，单调递减，D错误；

故选：BC

11．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n层有个球，从上往下n层球的总数为，则（    ）

A． B．

C． D．不存在正整数，使得为质数

【答案】BCD

【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的值，判断A，B；根据，可判断C；根据，结合数的奇偶性，可判断D.

【详解】依题意因为，

以上n个式子累加可得︰,

又满足上式，所以,故，故A错误；

因，

所以，故B正确；

因为，所以，故C正确；

因为，故当且为整数时，，

此时必为偶数，则为整数，且为合数，

则不存在正整数，使得为质数，D正确，

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．当时，函数的极大值为

B．若函数图象的对称中心为，则

C．若函数在上单调递增，则或

D．函数必有3个零点

【答案】BD

【分析】根据函数极大值的定义，结合函数的导数的性质、函数零点的定义逐一判断即可.

【详解】A项：当时，，则，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以极大值为，故错误；

B项：因为函数图象的对称中心为，

所以有，故正确；

C项：恒成立，显然必有两根，则在递减，故错误；

D项：必有2相异根，且非零，故必有3个零点，故正确．

故选择：BD

三、填空题

13．写出过点且与圆相切的一条直线的方程______．

【答案】（答案不唯一）

【分析】根据题意：先讨论斜率不存在的情况是否成立；斜率存在时，设出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求解.

【详解】当过点的直线斜率不存在时：方程为：，此时直线到圆心的距离，满足题意；

当过点的直线斜率存在时：设方程为：，

即，因为直线与圆相切，

所以，解得：，所以直线方程为：，

所以过点且与圆相切的一条直线的方程或，

故答案为：（答案不唯一）.

14．设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，若，，且，则_________.

【答案】/

【分析】设的公差为，根据得到，确定的公比，代入数据计算得到答案.

【详解】，设的公差为，

则，所以，的公比，

所以.

故答案为：

15．若，是双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，设四边形的面积为，四边形的外接圆的面积为，则______．

【答案】

【分析】根据给定条件，探求四边形的形状，结合双曲线的定义及勾股定理求出，再求出作答.

【详解】依题意，点与，与都关于原点O对称，且，因此四边形是矩形，如图，

由双曲线：得：，，

于是，

显然四边形的外接圆半径为，因此，

所以.

故答案为：

16．已知，若对于任意的，不等式恒成立，则的最小值为__________.

【答案】/

【分析】先利用同构法将题设不等式转化为，再构造函数，利用导数与函数单调性的关系得到，从而将问题转化为，再次构造函数求得最值即可得解.

【详解】因为，

所以可化为，

令，则，

所以在上递增，

因为，，所以，，，

所以可化为，则，

即在上恒成立，即，

令，则，

令，则；令，则；

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以，

所以，即的最小值为.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用同构法将题设不等式转化为，从而构造函数得到，由此得解.

四、解答题

17．已知函数．

(1)求函数的图象在处的切线方程；

(2)求的极值．

【答案】(1)

(2)极大值为，极小值为

【分析】(1)先求，再根据点斜式即可求解.

（2）先求函数单调区间，再根据单调区间，即可求解极值.

【详解】（1），，

∵，，则切点坐标为，切线斜率，

∴函数的图象在处的切线方程为，即．

（2）令，解得或，

故在，上单调递增，在上单调递减，

则在处取得极大值，

在处取得极小值，

极大值为，

极小值为．

18．已知数列{an}前n项和Sn＝n2+n．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)令bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

【答案】(1)an＝2n，n∈N*

(2)Tn=

【分析】（1）根据已知条件并结合公式即可计算出数列{a}的通项公式；

（2）先根据第（1）题结果计算出数列{b}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和T．

【详解】（1）由题意，当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，

当n≥2时，a＝S﹣＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，

∵当n＝1时，也满足上式，

∴a＝2n，n∈N*．

（2）由（1），可得b＝

＝

＝

＝

则T＝b1+b2+•••+b

＝

＝

＝

＝

19．已知数列满足，．

(1)求证：数列是等比数列；

(2)若，为数列的前n项和，求．

【答案】(1)证明见解析

(2)，

【分析】（1）根据递推公式证明为定值即可；

（2）先由（1）求得数列的通项，从而可得数列的的通项，再利用错位相减法求解即可.

【详解】（1）因为，

所以，

又，

所以是以为首项，以3为公比的等比数列；

（2）由（1）知，故，

所以，

故，

则，

两式相减得

，

所以.

20．如图,四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,点P是圆柱OQ的底面圆周上的一个动点,G是DP的中点,圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为.

(1)求证:BP⊥平面PAD;

(2)当三棱锥D-APB体积最大时,求平面PAG与平面BAG夹角的余弦值;

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】(1)根据四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,可知,根据为底面圆的直径,可知,根据线面垂直的判定定理即可证明结论;

(2) 当三棱锥D-APB体积最大时,即底面面积最大,即,故以为原点建立空间直角坐标系,求出各个点的坐标,分别求出平面PAG与平面BAG的法向量,进而求得法向量夹角的余弦值,即可得平面PAG与平面BAG夹角的余弦值.

【详解】（1）证明:因为四边形ABCD是圆柱OQ的轴截面,所以平面,

因为平面,所以,

因为为底面圆的直径,所以,

因为平面,平面,且,

所以平面,得证;

（2）由圆柱OQ的底面圆的半径OA=2,圆柱的高为,

即,当三棱锥D-APB体积最大时,

即底面面积最大,即,

连接,可知平面,

以为原点,方向分别为轴,建立空间直角坐标系,如图所示:

故可知: ,

所以,,

记平面法向量,

所以,即,

取,可得,

记平面法向量,

所以,即,

取,可得,

所以,

故平面PAG与平面BAG夹角的余弦值为.

21．点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，过点F作垂直于x轴的直线l，与抛物线相交于A，B两点，，抛物线的准线与x轴交于点K．

(1)求抛物线的方程；

(2)设C、D是抛物线上异于A、B两点的两个不同的点，直线相交于点E，直线相交于点G，证明：E、G、K三点共线．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）写出A、B点坐标，代入方程求得参数即可；

（2）设求出直线BD、直线AC得交点E，求出直线AD、直线BC得交点G，说明直线EK的斜率与直线GK的斜率相同即可得证.

【详解】（1）由题意，得，因为，轴，

不妨设，代入抛物线，得，

所以抛物线的方程为；

（2），准线为，，

设

直线AC为①，

直线BD为②，

联立①②，解得，即，

直线AD为③，

直线BC为②，

联立③④，解得，即，

直线EK的斜率

直线GK的斜率，

则直线EK的斜率与直线GK的斜率相同，所以E、G、K三点共线.

22．已知函数（为常数）.

(1)讨论函数的单调性；

(2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在单调递增

(2)

【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负得单调性；

（2）分离参变量得在上恒成立，令，问题转化为求函数的最大值的问题，求解即可．

【详解】（1）定义域为，，

当时，在上恒成立，所以在上单调递增；

当时，当时，；当时，，所以在上单调递减，在单调递增.

（2）由题意知：在上恒成立，即：在上恒成立，

令，则，由，得，

当时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

，

只需，所以实数的取值范围是.