2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期中联考数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省部分省级示范高中高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．计算（    ）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据排列数、组合数公式展开计算，即可得出答案.【详解】.故选：C.2．“”是“数列为等差数列”的（    ）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.【详解】设，则，，，所以，但数列不是等差数列；若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.故选：C.3．设函数在处的导数为2，则（    ）．A． B． C． D．2【答案】A【分析】根据导数的定义结合已知可推得，然后变形即可得出答案.【详解】根据导数的定义可得，，所以，.故选：A.4．记为数列的前项和，给出以下条件，其中一定可以推出数列为等比数列的条件是（    ）．A． B． C． D．是等比数列【答案】C【分析】用与的关系，求出通项公式，根据等比数列的定义，即可判断正误.【详解】对于A，已知，所以，所以，，不符合上式，A选项错误；对于B，已知，当首项为零时，不符合题意，B选项错误；对于C，已知，所以，则所以，所以是首项为1，公比为2的等比数列，C选项正确；对于D，已知是等比数列，则设的通项公式为则，不符合等比数列的通项公式，D选项错误；故选：C.5．武汉市第二十三中学“艺术节”举办一场文艺汇演，有6个不同的节目要分配给高一年级的7班、8班、9班、12班4个班级做准备，其中两个班级各分配2个节目，另两个班级各分配1个节目，共有多少种不同的分配方式（    ）．A．144 B．180 C．960 D．1080【答案】D【分析】按照分组分配的方法，计算求值.【详解】首先将6个不同的节目按照2，2，1，1的分组，有,再分配到4个班级，有种方法，所以共有种方法.故选：D6．如图展示的是一个树形图的从上至下的前6行生长过程，依据图中所示的生长规律，第10行的圆点个数是（    ）．A．55 B．34 C．21 D．13【答案】C【分析】设第行圆点的个数为，由已知观察即可得出，，然后逐项求解，即可得出答案.【详解】设第行圆点的个数为，.则由已知可得，，，，，，，所以，，，.故选：C.7．已知，，（其中为自然常数），则、、的大小关系为（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，得，，，利用导数判断出的单调性可得答案.【详解】构造函数，易得，，，可得，当时，所以在递减，因为，所以，即，因为，所以，即，所以.故选：B.8．若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ）．A．26 B．23 C．15 D．11【答案】D【分析】先由，利用切线斜率为-1求得切点，再将切点代入切线方程求得a，然后设切线与的切点为，利用切线斜率为-1和切点在切线上求解.【详解】解：因为，所以，由，解得或（舍去），所以切点为，因为切点在切线上，解得，所以切线方程为，设切点为，由题意得，解得，所以，故选：D 二、多选题9．一箱产品共有16件，其中有14件合格品，2件次品，从这16件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法表述正确的是（    ）．A． B．C． D．【答案】ABD【分析】有3种抽法，第一种方法分为两类，3件中有1件次品或2件次品；第二种方法，考虑间接抽法，用16件产品任抽3件的总情况数减去不含次品的情况数；第三种方法，先任抽一件次品，再从剩下的15件产品中随机抽2件，但有2件次品的情况算了两次，故需减去多余的抽法数.据此可得答案.【详解】由题，当3件产品中有1件次品时，情况数为，当3件产品中有两件次品时，情况数为，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为；16件产品任抽3件的总情况数为，3件产品中不含次品的抽法数为 ，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为 ；从产品中任取1件次品的情况数为，在从剩下产品中任抽2件的情况数为，则两步的总情况数为，又有2件次品的情况算了两次，则抽出的3件产品中至少有1件次品的抽法数为. 故选：ABD10．记为等比数列的前项和，则（    ）A．是等比数列 B．是等比数列C．成等比数列 D．成等比数列【答案】AB【分析】根据等比数列的定义即可判断求解.【详解】设等比数列公比为，则有，所以，所以是以为公比的等比数列，A正确；，所以是以为公比的等比数列，B正确；若公比，则，所以不能构成等比数列，C错误；若公比，且为偶数，则都等于0，此时不能构成等比数列，D错误.故选:AB.11．设等差数列的前项和为，且，，记为数列的前项和，若恒成立，则的值可以是（    ）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、，求出这两个量的值，可求得，利用裂项相消法可求得，再结合可求得实数的取值范围，即可得合适的选项.【详解】设等差数列的公差为，由可得，解得，所以，，所以，，则，因为恒成立，则，BCD选项满足条件.故选：BCD.12．已知函数，下列选项正确的是（    ）．A．函数的单调减区间为B．函数的值域为C．若关于的方程有3个不相等的实数根，则实数的取值范围是D．若关于的方程有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是【答案】BD【分析】利用函数的单调性与导数之间的关系可判断A选项；求出函数的值域，可判断B选项；数形结合可判断CD选项.【详解】对于A选项，当时，，则，当时，，则，由可得，所以，函数的单调减区间为，，A错；对于B选项，当时，，当时，由A分析可知在上单调递增，在上单调递减，所以，因此，函数的值域为，B对；作出函数的图像如下图所示：对于C，由，可得或，由图可知，方程有个不等的实根，若关于的方程有3个不相等的实数根，则方程有1个实根，此时，C错；对于D，若，由，即，可得，则方程只有两个不等的实根，故舍去；若，由，即，可得或或，由图可知，方程有个不等的实根，方程只有一个实根，若关于的方程有6个不相等的实数根，则方程有3个不等的实根，此时，D对.故选：BD. 三、填空题13．有个编了号的抽屉，要放进个相同的小球，每个抽屉不空的放法共有______种．【答案】【分析】利用隔板法计算可得.【详解】依题意利用隔板法，在个相同的小球所形成的个空中插入个板即可，故有种放法.故答案为：.14．已知数列{}的通项公式为，前n项和为，当取得最小值时，n的值为___________.【答案】7【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时n的值.【详解】当，，解得：，当和时，，所以取得最小值时，.故答案为：715．已知函数满足，则在处的导数为______．【答案】【分析】先求导，再通过得到，然后将代入求解.【详解】解：因为函数，所以，所以，解得，所以，所以，故答案为：，16．已知数列满足，则的前40项的和为______．【答案】820【分析】分为奇数和偶数两种情况，发现数列的特点，再分组求和.【详解】当为奇数时，，，两式相减得；当为偶数时，，，两式相加得.所以.故答案为：820.【点睛】方法点睛：分为奇数和偶数两种情况，观察推导，即可得出通项之间的关系. 四、解答题17．数列的前项和为，且.(1)证明：数列为等差数列；(2)求数列的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）将代入等式，即可化简出，即可得出结论；（2）由（1）可求出，再由，即可求出数列的通项公式.【详解】（1）由，得，，且，故数列为以2位首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知数列的首项为，公差，则数列，即，则.18．有7名学生站在一排，其中女生3名、男生4名，请按要求完成下列问题．(1)如果所有男生站在一起并且所有女生站在一起，那么有多少种排法？(2)如果男生、女生相间站一排，那么有多少种排法？(3)如果男生中的甲和女生中的乙从左到右顺序一定，那么有多少种排法？【答案】(1)288(2)144(3)2520 【分析】（1）捆绑法：男女生分别排列，考虑男女生位置顺序，根据分步乘法计数原理，即可得出答案；（2）插空法：先排好女生，男生插空，根据分步乘法计数原理，即可得出答案；（3）定序问题：先求出7名学生的排列数，然后除以甲乙两人的顺序数，即可得出答案.【详解】（1）第一步，所有男生站在一起的排法有种；第二步，所有女生站在一起的排法有种；第三步，考虑男女生的位置，有种.根据分步乘法计数原理可知，总的排法有种.（2）因为男生4名，女生3名，采用插空法：第一步，先排女生，有种；第二步，3名女生站好后，有4个空格，4名男生排入4个空格中的排法有种.根据分步乘法计数原理可知，总的排法有种.（3）定序问题：7名学生，所有的排法有.男生中的甲和女生中的乙的顺序有种.所以，如果男生中的甲和女生中的乙从左到右顺序一定，那么排法有种.19．已知数列的首项，且满足．(1)求证：数列为等比数列；(2)若，求满足条件的最大整数．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）将两边取倒数得，即可得证；（2）由（1）可得，即可得到，设数列的前项之和为，利用分组求和法及等边数列求和公式求出，再结合函数的性质判断即可.【详解】（1）由，两边取倒数得，即，，，，，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）可得，，设数列的前项之和为，若，即，函数在上单调递增，又，，，满足条件的最大整数的值为.20．给定函数．(1)求函数的单调区间，并求出的极值点；(2)若关于的方程有两个不同的解，求实数的范围．【答案】(1)答案见解析；(2) 【分析】（1）由题可得，解不等式可得单调区间，即可得极值点；（2）方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，由（1）做出图象，即可得答案.【详解】（1）.在上单调递增；在上单调递减；则在处取极小值，则的极小值点为；所以函数的单调增区间为，单调减区间为；的极小值点为；（2）由（1）可知单调性，极小值为.注意到当时，，；时，，据此可做图象如图，则方程有两个不同的解相当于图象与有两个不同交点，则由图可得.21．在数列中，已知，．(1)设，求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）把化为即，从而利用迭代法即可求得；（2）由（1）可得， 从而利用分组求和、错位相减求和，即可求解.【详解】（1）由已知有，， ，，又，，又当时也适合上式，所以.（2）由（1）可知， ，其中，记则①②①②得：，， .22．已知函数．(1)若函数在区间内是单调递增函数，求实数的取值范围；(2)若函数有两个极值点，，且，求证：．（注：为自然对数的底数）【答案】(1)；(2)证明见解析. 【分析】（1）求导得，把问题转化为，恒成立，分离参数后，结合二次函数求得最大值，进而求得实数的取值范围；（2）由题意可知在区间上有两个不相等的实数根，结合二次函数零点分布求得，进而得到，从而得到，则令通过二次求导判断函数上单调递减，从而得到，进而问题得证.【详解】（1）函数在区间上是单调递增函数，，恒成立，转化为：恒成立， 令在单调递减，而在单调递减，则，实数的取值范围是；（2）在区间上有两个不相等的实数根，即方程在区间上有两个不相等的实数根，记， 则，解得， .，令，记，因此函数存在唯一零点，从而而函数上单调递减，，可得：，故.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．