2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖北省荆州市高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．直线的倾斜角为（    ）

A．30° B．45° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】将直线的一般式改写成斜截式，再由斜率公式可求得结果.

【详解】∵

∴

∴

又∵

∴

故选：A.

2．在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系.该运动员在t=1s时的瞬时速度（单位：m/s）为（    ）

A．10.9 B．-10.9 C．5 D．-5

【答案】D

【分析】先对函数求导，然后把代入即可求解．

【详解】解：因为，

所以，

令，得瞬时速度为．

故选：D.

3．圆与圆恰有两条公切线．则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】首先求出两圆的圆心坐标与半径，依题意两圆相交，则，即可得到不等式组，解得即可.

【详解】解：圆，即，圆心，半径，

圆的圆心，半径，

因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以，

即，解得，即；

故选：A

4．在正项等比数列中，是的等差中项，则（    ）

A．16 B．27 C．32 D．54

【答案】D

【分析】由题可得，进而可得，即得.

【详解】设数列的公比为，则，

∴，解得，（舍去），

∴.

故选：D.

5．设函数在R上可导，其导函数为 ，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是

A．函数有极大值 和极小值

B．函数有极大值 和极小值

C．函数有极大值 和极小值

D．函数有极大值 和极小值

【答案】D

【详解】则函数增；

则函数减；

则函数减；

则函数增；选D.

【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减

6．等差数列、中的前项和分别为、，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入 即可求解.

【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，，

∴.

故选：B.

【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.

7．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）

【答案】C

【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.

详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，

再画出直线，之后上下移动，

可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，

并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，

即方程有两个解，

也就是函数有两个零点，

此时满足，即，故选C.

点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.

8．已知点，过点作直线l与抛物线相交于A，B两点，设直线PA，PB的斜率分别为，，则（    ）

A． B． C．2 D．无法确定

【答案】A

【分析】联立直线与抛物线方程，得到，代入两点斜率公式即可化简求解.

【详解】设直线方程为，联立抛物线方程可得，

设，，可得，

则

故选：A

二、多选题

9．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用基本函数的导数公式，导数的运算法则逐项计算判断作答.

【详解】对于A，，A不正确；

对于B，，B正确；

对于C，，C不正确；

对于D，，D正确.

故选：BD

10．已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ）

A．当时，曲线C为圆

B．曲线C为椭圆的充要条件是

C．若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则

D．存在实数k使得曲线C为抛物线

【答案】AC

【分析】根据圆、椭圆、双曲线、抛物线标准方程的特征即可逐项判断求解.

【详解】对于A，当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，所以A正确；

对于B，若曲线C为椭圆，则，且，所以B错误；

对于C，若曲线C是焦点在y轴上的双曲线，则，，解得，所以C正确；

对于D，曲线C不存在x，y的一次项，所以曲线C不可能是抛物线，所以D错误．

故选：AC.

11．设数列的前n项和为，，且，则（    ）

A． B．是等差数列

C． D．

【答案】AD

【分析】根据的关系，即可求解是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的求和公式即可求解.

【详解】当时，，因为，所以，故A正确；

于是，

当时，，

所以，即，即，

所以数列是首项为1，公比为3的等比数列，

故，，故BC错误，D正确．

故选：AD

12．在棱长为1的正方体中，为底面的中心，，为线段的中点，则（    ）

A．与共面

B．三棱锥的体积跟的取值无关

C．时，过A，Q，M三点的平面截正方体所得截面的周长为

D．

【答案】ABC

【分析】由为的中点，得到，可判定A正确；由到平面的距离为定值，且的面积为定值，根据，可得判定B正确，由时，得到三点的正方体的截面是等腰梯形，可判定C正确；当时，根据，可判定D不正确．

【详解】在中，因为为的中点，所以，

所以与共面，所以A正确；

由，因为到平面的距离为定值，且的面积为定值，

所以三棱锥的体积跟的取值无关，所以B正确；

当时，过三点的正方体的截面是等腰梯形，

所以平面截正方体所得截面的周长为，

所以C正确；

当时，可得，

则，所以不成，所以D不正确．

故选：ABC

三、填空题

13．已知函数，则_________．

【答案】

【分析】根据导数的公式，代入求解即可．

【详解】，

，

令，则，

，

故答案为：．

14．直线：截圆的弦为，当取最小值时的值为__________．

【答案】1

【分析】由于直线恒过，所以当直线与定点和圆心连线的直线垂直时，取得最小值，从而可求出的值

【详解】直线：恒过，圆的圆心，半径为，所以定点与圆心的距离为：，

所以则的最小值为：，

此时直线与定点和圆心连线的直线垂直．可得．

故答案为：．

15．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】由单调性可知在上恒成立，采用分离变量法可得，由二次函数的最值可求得的范围.

【详解】在上单调递增，在上恒成立，

即在上恒成立；

又当时，，，解得：，

实数的取值范围为.

故答案为：.

四、双空题

16．在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.（结果用表示）

【答案】     66    

【分析】分析数据规律可得，再利用累加法即可求解.

【详解】设第件首饰上的珠宝颗数为，则，，，，

因为，，，，

所以猜想，

所以推断，

即.

由，

则，…, ,

以上各式相加得,

所以.

故答案为：66；.

五、解答题

17．已知函数，的图象在点处的切线为．

(1)求a，b的值;

(2)设，求最小值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求导，利用切线的斜率以及经过的点即可求解，

（2）求导得单调性，即可求解最值.

【详解】（1），，

由已知，得 ，解得，

∴函数的解析式为．

（2），则，

令，则，

当时，，此时单调递减

当时，，此时单调递增，

∴．

18．已知三点共线，其中是数列中的第n项.

(1)求数列的通项；

(2)设，求数列的前n项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由三点共线可知斜率相等，即可得出答案；

(2)由题可得，利用错位相减法即可求出答案.

【详解】（1）三点共线，

（2）

    ①

  ②

①—②得

19．如图，四棱锥中，底面是直角梯形，，，，．

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，连接，证明出，，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）证明：由于，，所以，

由于，，、平面，所以平面，

平面，由平面，得.

取的中点，连接，

因为底面是直角梯形，且，，

故四边形为矩形，且且，，

所以在中，，，，即，

由于，、平面，所以平面.

（2）解：平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、，

，，，

设平面的法向量为，则，取，可得，

所以，.

所以，直线与平面所成角的正弦值为.

20．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）设数列的前项和为，求证:

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式.

（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果.

【详解】（1）由为等差数列，

得，则

又构成等比数列，

所以，

即

解得或(舍)，

所以;

（2）因为，

所以

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为1，以线段为直径的圆恰好过椭圆的上、下顶点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若关于直线对称的射线与分别与椭圆位于轴上方的部分交于，两点，求证：直线过轴上一定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）先求出，之间的等量关系，再结合，，间的关系即可求出椭圆的方程；

（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理及已知即可得出，的关系，进而即可得到直线所过的定点坐标.

【详解】（1）以线段为直径的圆恰好过椭圆的上下顶点，.

，，，

椭圆的方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，

联立，消去并整理得.

设点，，

则，.

，且由题意知和必存在，

.

又，，即，

整理得，

得，

即，解得，

的方程为.

，

即，，解得.

，位于椭圆轴上方，，

此时直线过轴上的定点.

22．已知函数.

（1）当时，求证：恒成立；

（2）若关于的方程至少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.

【答案】（1）见证明；（2）3

【分析】（1）当时，，求导，研究函数单调性，求最值，证明不等式；（2）将方程转化为，构造函数，求导数，研究函数单调性及取值范围，数形结合得的最小值

【详解】（1）证明：当时，，，

令，所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

故，所以.

（2）至少有两个根，

记，所以，

记，所以，

令舍）

所以当，，单调递减，时，，

单调递增，所以的最小值为

，

又，所以时，，

又当时，，因此必存在唯一的

，使得.

因此时，，单调递增，，，单调递减，时，，单调递增，画出的大致图象，如图所示

因此当时，与至少有两个交点，

所以的最小值为.

【点睛】利用导数解决方程的根或曲线的交点个数问题，可构造函数，转化为研究函数零点个数问题，可利用导数研究函数的极值、最值、单调性、变化趋势等，从而画出函数的大致图象，然后根据图象判断函数的零点个数