2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期中联考数学试题含解析，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省宜昌市协作体高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．若数列{}的通项公式为则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由通项公式取即可.【详解】因为所以 故选：C.2．若，则（    ）A．20 B．21 C．30 D．35【答案】D【分析】根据排列数求得n，再根据组合数公式求得答案.【详解】因为，所以，即，解得或（舍去），所以,故选：D.3．下列求导运算正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据导数运算公式逐项求解即可.【详解】，故A错误；，故B错误；，故C错误； ，故D正确.故选：D.4．已知等差数列的前项和为，则（    ）A．155 B．160 C．290 D．310【答案】A【分析】根据等差数列的通项公式列式求解，再利用等差数列的求和公式运算求解.【详解】等差数列的公差为，由题意可得：，解得，所以.故选：A.5．已知是两条平行线，直线上有4个不同的点，直线上有5个不同的点，从这9个点中任取3个点作为三角形的顶点，则组成的三角形的个数是（    ）A．30 B．84 C．40 D．70【答案】D【分析】分类讨论从直线上选点的个数，结合组合数运算求解.【详解】从直线上选2个点，直线上选1个点，可以组成个三角形；从直线上选1个点，直线上选2个点，可以组成个三角形；所以总共可以组成个三角形.故选：.6．若函数在上存在极值，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再结合，即可求出参数的取值范围.【详解】因为，所以，由函数在上存在极值，所以，解得或，又，所以的取值范围是.故选：B.7．已知等比数列的前项和为，且，若，，则（    ）A．27 B．45 C．65 D．73【答案】C【分析】根据等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，然后根据等比中项的性质，代入数据求出，进而即可求出答案.【详解】由等比数列前项和的性质可得，，，成等比数列，所以有，即，整理可得，解得（舍）或.又因为，所以有，解得.故选：C.8．已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建，则，因为对于恒成立，所以，故在上单调递减，由于，且，所以，即.故选：A.【点睛】结论点睛：1.的形式，常构建；的形式，常构建；2.的形式，常构建；的形式，常构建. 二、多选题9．已知等差数列的公差为，若，，则首项的值可能是（    ）A．18 B．19 C．20 D．21【答案】BC【分析】根据等差数列的通项，建立不等式组，可得答案.【详解】由题意，得，所以.故选：BC.10．已知函数的导函数为，若的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．在处取得极小值 D．在处取得极大值【答案】ACD【分析】根据导函数与函数的单调性和极值的关系求解.【详解】当时，单调递增，由图可知时，，单调递增，故A正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处取得极小值，故C正确；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以在处取得极大值，故D正确.故选：ACD.11．若，则（    ）A．B．C．D．【答案】ABD【分析】利用赋值法，令，求出，判断A；令和，将得到的两式相加、相减，可判断B、C，令计算，可判断D.【详解】由题意，当时，，A正确；当时，，当时，，两式相加得，，两式相减得，，所以B正确，C错误；当时，，所以，D正确.故选：ABD.12．已知数列的前项和满足，，且，，数列的前项和为，则（    ）A．数列是等比数列 B．数列是等比数列C． D．【答案】AD【分析】根据与的关系，即可推得，变形可得，即可得出A项；根据时，求出，即可得出，求出，即可判断B、C项；代入裂项可得，然后求和即可得出D项.【详解】对于A项， 由，得，两式相减，得，整理可得，所以，故A正确；对于B项，当时，，解得，所以，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列，所以，所以，所以，，显然数列不是等比数列，故B错误；对于C项，由B知，，所以，故C错误；对于D项，，所以，故D正确.故选：AD. 三、填空题13．若3名学生报名参加天文、计算机、文学、美术这4个兴趣小组，每人选报1组，则不同的报名方式有__________ 种.【答案】64【分析】由分步乘法计数原理即可算出答案.【详解】由分步乘法计数原理，得不同的报名方式有（种）.故答案为：6414．某质点沿直线运动的位移与时间的关系是，则质点在时的瞬时速度为__________.【答案】5【分析】先求函数的导数，再把代入导数方程即可.【详解】，当时，.故答案为：515．已知，则__________.【答案】【分析】利用赋值法即可求解.【详解】取，得；取，得，两式相加可得；取，得，所以.故答案为：.16．对于函数，若存在，则称点与点是函数的一对“隐对称点”.若时，函数的图象上只有1对“隐对称点”，则__________.【答案】【分析】根据题意分析可得原题意等价于与函数的图象只有1个交点，分别判定与的单调性，结合图象分析运算.【详解】由题意可得：关于原点对称的函数为，故原题意等价于与函数的图象只有1个交点，对于函数可知：在上单调递减，在上单调递增，故；对于，则，由于，则有：令，解得；令，解得；则在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为；分别作出与的图象（如图所示）.若与的图象只有1个交点，则，即，解得.故答案为：.【点睛】方法定睛：对于方程的根的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 四、解答题17．某校举办元旦晩会，现有4首歌曲和3个舞蹈需要安排出场顺序.（结果用数字作答）(1)如果4首歌曲相邻，那么有多少种不同的出场顺序？(2)如果3个舞蹈不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？【答案】(1)576种(2)1440种 【分析】（1）因为是相邻问题，故利用捆绑法即可求得答案；（2）由于3个舞蹈节目不相邻，故利用插空法即可求得答案.【详解】（1）先将4首歌曲捆绑，四首歌曲内部全排列，有种情况，再将捆绑好的4首歌曲看做一个整体与3个舞蹈排序，有种情况，所以有（种）不同的出场顺序.（2）先将4首歌曲排好，有种情况，再将3个舞蹈排入4首歌曲隔开的5个空中，有种情况，所以有1440（种）不同的出场顺序.18．已知函数，且.(1)求函数的图象在点处的切线方程；(2)求函数在区间上的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用可构造方程求得的值，结合可求得切线方程；（2）利用导数可求得的单调性，结合区间端点值和极值可求得的最值，由此可得的值域.【详解】（1），，解得：，，则，在点处的切线方程为：，即.（2）由（1）知：，则，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减，又，，，，，，的值域为.19．若展开式前三项的二项式系数之和为22.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中的常数项.【答案】(1)(2)135 【分析】（1）根据展开式前三项的二项式系数之和求出n的值，即可求出展开式中二项式系数最大的项；（2）利用二项式展开式的通项公式，即可求得答案.【详解】（1）因为展开式前三项的二项式系数之和为22，所以，即，解得或（舍），故的值为6，即展开式中最大的二项式系数为，所以展开式中二项式系数最大的项为第4项， 即.（2）由题意知展开式中通项公式为，令，解得，所以，故展开式中的常数项为135.20．已知数列 中 ，，.(1)求证：是等比数列；(2)若数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由题意得，结合等比数列定义证明数列是等比数列；（2）由（1）可求即，利用错位相减法求和即可.【详解】（1）因为，所以，又，，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列（2）由(1)知 ，因为，所以，所以 ， ，两式相减，得 ，所以 21．第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是.（以下问题用数字作答）(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)63种(2)504种(3)540种 【分析】（1）根据可去裁判的人数结合组合数的性质分析运算；（2）利用间接法，在所有排列情况下排除A担任第一场比赛的主裁判或C担任第三场比赛的主裁判的可能；（3）根据题意，分类讨论人数的分配情况运算求解.【详解】（1）由题意知：可去名裁判，所以共有（种）不同的安排方法.（2）这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，共有种方法，若A担任第一场比赛的主裁判的方法数为；若C担任第三场比赛的主裁判的方法数为；若A担任第一场比赛的主裁判同时担任第三场比赛的主裁判的方法数为；所以A不担任第一场比赛的主裁判，不担任第三场比赛的主裁判，共有（种）不同的安排方法.（3）亚洲杯组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，则分类如下：①这6名裁判分为1人，1人，4人这三组，共有（种）不同的安排方法；②这6名裁判分为1人，2人，3人这三组，共有（种）不同的安排方法；③这6名裁判分为2人，2人，2人这三组，共有（种）不同的安排方法.综上所述：组委会将这6名裁判安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，共有（种）不同的安排方法.22．已知函数，（，为自然对数的底数）.(1)求函数的极值；(2)若对，恒成立，求的取值范围.【答案】(1)极大值为，无极小值(2) 【分析】（1）求导后，根据的正负可求得的单调性，根据极值的定义可求得结果；（2）分离变量可将问题转化为在上恒成立；求导后可令，利用导数可求得的单调性，利用零点存在定理可求得的零点，并得到的单调性，由此可求得，化简可得，由此可求得的取值范围.【详解】（1）定义域为，，当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，的极大值为，无极小值.（2）由得：，在上恒成立；令，则；令，则，在上单调递增，又，，，使得，则，当时，；当时，；在上单调递减，在上单调递增，；由得：，，，，则实数的取值范围为.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解函数的极值、恒成立问题的求解；本题求解恒成立问题的关键是能够通过分离变量的方式，将问题转化为变量与函数最值之间的大小关系问题，从而利用导数求解函数最值来求得变量的取值范围.