2022-2023学年吉林省普通高中友好学校第三十六届联合体高二下学期期中联考数学试题含解析

这是一份2022-2023学年吉林省普通高中友好学校第三十六届联合体高二下学期期中联考数学试题含解析，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省普通高中友好学校第三十六届联合体高二下学期期中联考数学试题 一、单选题1．某直线运动的物体从时刻到的位移为，那么为（　　）A．从时刻到物体的平均速度 B．从时刻到位移的平均变化率C．当时刻为时该物体的速度 D．该物体在时刻的瞬时速度【答案】D【分析】根据题意，由变化率与导数的关系，分析可得答案.【详解】根据题意，直线运动的物体，从时刻到时，时间的变化量为，而物体的位移为，那么为该物体在时刻的瞬时速度.故选：D.2．某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在刮风天里，下雨的概率为（    ）.A． B． C． D．【答案】D【分析】利用条件概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】“下雨”，“刮风”，“刮风又下雨”，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查条件概型概率计算，属于基础题.3．设是一个离散型随机变量，其分布列为下表，则（    ）．01 A． B． C． D．【答案】B【解析】根据分布列的性质，得到，即可求解.【详解】由分布列的性质，可得，解得.故选：B.【点睛】本题主要考查了分布列的性质，其中解答中熟记分布列的性质，列出方程是解答的关键，着重考查了计算能力.4．曲线在点处的切线垂直于直线，则（    ）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于的方程，解出后可得正确的选项.【详解】，所以，因为在点处的切线垂直于直线，故切线的斜率为，故即，故选：D.5．函数的单调递减区间为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】明确定义域，求导，求导数小于零的解集，可得答案.【详解】因为函数的定义域为，所以，令可得，所以的单调递减区间是.故选：B.6．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：X012345P0.10.1a0.30.20.1则等于（    ）A．0.4  B．0.5  C．0.6  D．0.7【答案】C【分析】先由各个概率和为1可求出，再由可求得结果.【详解】因为，所以，所以.故选：C.7．由0~9这10个数组成的三位数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是（    ）A．120 B．168 C．204 D．216【答案】C【分析】先不考虑0的情况，从这9个数字中选出3个数字，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，再考虑有0的情况，由分步计数乘法原理可得结果．【详解】先不考虑0的情况，则从这9个数字中选出3个数字，共种情形，当三个数字确定以后，这三个数字按严格递增或严格递减排列共有2种情况，根据分步计数原理知共有＝168.再考虑有0时，不可能组成严格递增的数，如果组成严格递减的数，则0在个位，前两位从这9个数字中选出2个数字，共种情形.所以共故选：C8．将6名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行服务，每名志原者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（　　）A．480种 B．1080种 C．1560种 D．2640种【答案】C【分析】将6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，再分别计算每组的安排方法可得答案.【详解】6名北京冬奥会志愿者分4组，有1，1，1，3和2，2，1，1两种分组方法，当为1，1，1，3时，有种；当为2，2，1，1时，有种，共有种不同的分配方案.故选：C. 二、多选题9．已知二项式的展开式中共有7项，则下列说法正确的有（    ）．A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第4项 D．有理项共3项【答案】BC【分析】由已知可得，从而可得二项式为，然后利用二项式的性质逐个分析判断【详解】因为二项式的展开式中共有7项，所以，则二项式为，对于A，所有项的二项式系数和为，所以A错误，对于B，令，则所有项的系数和为，所以B正确，对于C，因为二项式的展开式中共有7项，所以由二项式的性质可知二项式系数最大的项为第4项，所以C正确，对于D，二项式展开式的通项公式为，因为，所以当时，其对应的项为有理项，即共有4个有理项，所以D错误，故选：BC10．设随机变量的分布列为，则 A． B．C． D．【答案】ABC【分析】由题意结合离散型随机变量分布列的性质可得，即可判断A、D；由即可判断B；由即可判断C；即可得解.【详解】随机变量的分布列为,， 解得，故A正确；，故B正确；，故C正确；，故D错误.故答案为：A、B、C.【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列的性质与应用，考查了运算求解能力，属于基础题.11．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%，则下列选项正确的有（    ）A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06B．任取一个零件是次品的概率为0.0525C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为【答案】BD【分析】记A：车床加工的零件为次品，记Bi：第i台车床加工的零件，根据已知确定P(A|B1)、P(A|B2)、P(A|B3)、P(B1)、P(B2)、P(B3)，再利用条件概率公式、全概率公式判断各选项描述中的概率是否正确即可.【详解】记事件A：车床加工的零件为次品，记事件Bi：第i台车床加工的零件，则P(A|B1)＝6%，P(A|B2)＝P(A|B3)＝5%，又P(B1)＝25%，P(B2)＝30%，P(B3)＝45%，A：任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为P(AB1)＝6%×25%＝1.5%，故错误；B：任取一个零件是次品的概率为P(A)＝P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)＝6%×25%+5%×75%＝5.25%，故正确；C：如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为P(B2|A)＝＝＝＝，故错误；D：如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为P(B3|A)＝＝＝＝，故正确；故选：BD．12．函数f（x）＝lnx＋1，g（x）＝ex-1，下列说法正确的是（    ）（参考数据：e2≈7.39，e3≈20.09，ln2≈0.69，ln3≈1.10）A．存在实数m，使得直线y＝x＋m与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切B．存在实数k，使得直线y＝kx-1与y＝f（x）相切也与y＝g（x）相切C．函数g（x）-f（x）在区间上不单调D．当x∈（0，1）时，恒成立【答案】ABD【分析】对于AB，利用导数求出和的公切线即可判断；对于CD，构造函数，两次求导判断出函数的单调性即可判断.【详解】对于AB，设直线分别与与分别相切于点，，则，且，故，且，，化简得，故或，故公切线的斜率为或，对应的截距分别是或，故公切线为或，故选项A，B都正确；对于CD，令，则，，故时，，在上单调递增，又，，则，故时，，故函数在区间上单调递增，故选项C错误；又，，故存在，使得，即，，且时，，时，，故在上单调递减，在上单调递增，则，，故D正确.故选：ABD．【点睛】关键点睛：本题考查导数的应用，解题的关键是求出导数，利用导数判断出函数的单调性. 三、填空题13．已知，那么________；【答案】【分析】根据组合数的性质及组合数的计算公式计算可得；【详解】解：因为，所以，即，即，解得或（舍去）故答案为：14．现有5种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法种数为 ______．【答案】180【分析】根据题设，先从A区块着色，判断各部分的着色方案数，即可求不同的着色方法种数.【详解】按A、B、C、D顺序着色，A区块有5种着色方案，B区块有4种着色方案，C区块有3种着色方案，D区块有3种着色方案，故不同的着色方法种数为5×4×3×3＝180，故答案为：180．15．若，则_________．【答案】-1【分析】运用赋值法，令x=0即可求解.【详解】令x=0，则 ， ，故答案为：-1.16．若是函数的极大值点，则的取值范围是_________．【答案】【分析】求导后，得导函数的零点，比较两数的大小，分别判断在两们的导数符号，确定函数单调性，从而确定是否在处取到极大值，即可求得的范围．【详解】因为，，，令，解得或，当，即，则当或时，当时，此时在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，符合是函数的极大值点，反之，当，即，则当或时，当时，此时在区间单调递增，上单调递减，上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当，即，恒成立，函数在上单调递增，无极值点．综上得：，即的取值范围是．故答案为：． 四、解答题17．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，求不同的站法总数.(1)全体站成一排，女生必须站在一起.(2)全体站成一排，男生互不相邻.【答案】(1)576(2)1440 【分析】（1）利用捆绑法计算可得；（2）利用插空法计算可得.【详解】（1）将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有种方法，再将女生全排列，有种方法，共有种；（2）先排女生，有种方法，再在女生中间及首尾个空位中任选个空位安排男生，有种方法，故共有种.18．已知的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36．(1)求n；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)(2)和. 【分析】（1）根据题意得到，求得，即可求解；（2）由（1）知，得到展开式的通项为，列出不等式组，结合组合数的公式，求得，进而求得，即可求解.【详解】（1）解：由题意，的展开式中第2项与第三项的二项式系数之和为36，可得，即，解得或（舍去），所以.（2）解：由（1）可得二项式，其展开式的通项为，即展开式中项的系数为，设第项的系数最大，则满足，可得，即，解得，当时，；当时，，所以展开式中系数最大的项为和.19．一个箱子里装有5个大小相同的球，有3个白球，2个红球，从中摸出2个球．(1)求摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率；(2)用X表示摸出的2个球中的白球个数，求X的分布列．【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）有列举法可得答案；（2）求出X的取值和对应的概率可得答案．【详解】（1）记“摸出的2个球中有1个白球和1个红球”，3个白球、2个红球分别记为白1，白2，白3，红1，红2，从中摸出2个球有（白1白2），（白1白3），（白1红1），（白1红2），（白2白3），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2），（红1红2）共10种情况，从中摸出的2个球中有1个白球和1个红球有（白1红1），（白1红2），（白2红1），（白2红2），（白3红1），（白3红2）共6种情况，所以，摸出的2个球中有1个白球和1个红球的概率为.（2）X表示摸出的2个球中的白球个数，则X可取，，，， 则X的分布列为01220．已知函数在处有极值．(1)求a，b的值；(2)求的单调区间．【答案】(1)，(2)单调递增区间是，；单调递减区间是 【分析】（1）由题意可得，解方程组可求出a，b的值；（2）对函数求导后，由导数的正负可求出函数的单调区间【详解】（1）∵，又∵在处有极值，∴．即，解得，．经检验，当，时满足题意（2）由（1）可知，，令，得或；令，得；∴函数的单调递增区间是，；单调递减区间是．21．某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为的正方形纸板，如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去一个边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．(1)求包装盒的容积V（x）关于x的函数表达式，并求出函数的定义域；(2)当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】(1)，函数的定义域为；(2)边长时，包装盒的容积最大，最大容积是. 【分析】（1）根据已知条件及长方体的体积公式即可得出解析式，根据实际意义得出定义域；（2）利用导数法求函数的最值的步骤即可求解;【详解】（1）因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以包装盒的容积为，函数的定义域为．（2）由（1）得，，令，即，解得或（舍），∴当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，所以.即切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是22．已知函数在处的切线与轴平行．（1）求的值和函数的单调区间；（2）若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求的取值范围．【答案】（1）-9，单调增区间为和；单调减区间为；（2）.【分析】（1）根据即可求得的值，利用导函数求解单调区间；（2）令，转化为有三个不同的零点.【详解】（1）由已知得，∵在处的切线与轴平行∴，解得．这时由，解得或；由，解．∴的单调增区间为和；单调减区间为．（2）令，则原题意等价于图象与轴有三个交点．∵，∴由，解得或；由，解得．∴在时取得极大值；在时取得极小值．依题意得，解得．故的取值范围为．