2022-2023学年宁夏平石嘴山市罗中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年宁夏平石嘴山市罗中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．若复数，则（    ）

A．1 B． C． D．

【答案】B

【分析】由复数除法几何意义求复数的模.

【详解】由.

故选：B

2．不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据绝对值的几何意义计算可得；

【详解】解：即，解得，

所以原不等式的解集为.

故选：A

3．对两个变量和进行回归分析，得到一组样本数据：、、、，则下列说法中不正确的是（    ）

A．由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心

B．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好

C．用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越好

D．若变量和之间的相关系数，则变量与之间具有线性相关关系

【答案】C

【分析】根据回归直线过样本中心点可判断A选项；利用残差平方和与拟合效果的关系可判断B选项；利用相关指数与拟合效果的关系可判断C选项；利用相关系数与线性相关关系可判断D选项.

【详解】对于A选项，由样本数据得到的线性回归方程必过样本点的中心，A对；

对于B选项，残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，B对；

对于C选项，用相关指数来刻画回归效果，的值越小，说明模型的拟合效果越差，C错；

对于D选项，若变量和之间的相关系数，，则变量与之间具有线性相关关系，D对.

故选：C.

4．已知椭圆的焦距为4，离心率，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题知，，进而结合求解即可得答案.

【详解】解：因为焦距为，即，所以，

又因为，

所以，

所以椭圆的标准方程为：．

故选：D

5．已知函数，则曲线在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义求切线方程.

【详解】，，，

所以曲线在点处的切线方程为，

即.

故选：A

6．若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据抛物线的几何性质即可求解.

【详解】到其准线的距离为，

故抛物线方程为，

故选：A

7．已知双曲线（，）的离心率为，则的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由双曲线离心率可得，再结合即可得，代入渐近线方程即可得出结果.

【详解】由双曲线离心率为可得，即可得，

又，即可得；

由题意可得双曲线的渐近线方程为.

故选：C

8．用火柴棒按下图的方法搭三角形，前4个图形分别如下，按图示的规律搭下去，第10个图形需要用多少根火柴（    ）

A．20 B．21 C．22 D．23

【答案】B

【分析】根据图形可知：第一个图形需要3根火柴棒，后面每多一个图形，则多用2根火柴棒，根据此规律即可计算求解.

【详解】结合图形，发现：搭第个图形，需要，

则搭第10个图形需要根火柴棒，

故选：.

9．已知点分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若为正三角形，则该椭圆的离心率为（　 　）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用几何关系找到之间等量关系即可.

【详解】由题意知：，；

为正三角形，则：；

，，

.

故选:A

10．已知是函数的极小值点，那么函数的极大值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】D

【分析】由是函数的极小值点，可得，进而可得的解析式，即可得函数单调递区间及极大值点为，代入求解即可.

【详解】解：因为

所以，

又因为是函数的极小值点，

所以，

解得，

所以，，

令，得，

所以当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

所以在处取极大值，在处取极小值，

所以的取极大值为.

故选：D.

11．已知双曲线，过点作直线与双曲线交于两点，且点恰好是线段的中点，则直线的方程是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用点差法可求得直线斜率，进而得到方程，与双曲线联立检验即可确定结果.

【详解】设，且，

由得：，即，

为中点，，，，

直线方程为：，即；

由得：，

则，满足题意；

直线的方程为：.

故选：A.

12．若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先求导数，利用在上恒成立，分离参数进行求解.

【详解】，因为在区间上单调递增，

所以在上恒成立，即在上恒成立，

因为二次函数的图象的对称轴为，且开口向上

所以的最小值为1，所以.

故选：B.

二、填空题

13．下列表述中错误的是___________.

①归纳推理是由整体到部分的推理；

②演绎推理是由一般到特殊的推理；

③相关关系是一种非确定性关系；

④线性相关系数越小，则线性相关程度越低.

【答案】①

【分析】根据归纳推理和演绎推理的定义可判断①②，根据相关关系的定义可判断③，根据线性相关系数的含义可判断④.

【详解】对于①：归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理，故①错误；

对于②：演绎推理是由一般到特殊的推理，故②正确；

对于③，根据相关关系的定义可知③正确

对于④，根据线性相关系数的意义可知越接近于0，线性相关程度越低，故④正确.

故答案为：①

14．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.

【答案】8

【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求得答案.

【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，

代入抛物线方程得，设

，

根据抛物线的定义可知.

故答案为：8.

15．双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则抛物线的标准方程为 ______

【答案】

【分析】由双曲线的方程可得双曲线的焦点坐标，由抛物线的方程可得准线方程，再由题意可得的值，进而求出抛物线的方程．

【详解】由双曲线的方程可得，解得，

所以双曲线的焦点坐标为，

抛物线的准线方程为，

由题意可得，解得，

所以抛物线的方程为：，

故答案为：．

16．若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由绝对值三角不等式求出，再根据条件求出的范围.

【详解】由绝对值三角不等式，可得，

当且仅当，即时，等号成立，

因为不等式的解集为空集，

所以，即实数的取值范围是.

故答案为：.

三、解答题

17．为加强素质教育，提升学生综合素养，某中学为高二年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课.为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，现随机抽取了100人，统计选择两门课程人数如下表：

(1)补全2×2列联表；

(2)是否有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位，例如：3.841）

参考附表：参考公式：，其中.

【答案】(1)列联表见解析

(2)有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.

【分析】（1）直接根据表中数据即可完成列联表；

（2）根据公式求出，再对照临界值表，即可得出结论.

【详解】（1）根据题意，补全列联表如下，

（2）根据列联表数据，得

，

所以有的把握认为选择“书法”或“剪纸”与性别有关.

18．已知数列是等差数列，，.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用已知条件求出数列的通项公式；

（2）利用等差和等比数列的通项公式求和.

【详解】（1）由等差数列中设首项为，公差为，

由于：，.

则：，

解得,

所以.

（2），

则

19．已知函数在时有极值0.

(1)求的值.

(2)求的单调区间.

【答案】(1)；

(2)函数的单调减区间为，单调增区间为和.

【分析】（1）由得出的值，并验证；

（2）由导数得出函数的单调区间.

【详解】（1）由题可得，

由可得，，解得，

此时，

当时，解得；当时，解得或，

所以函数在时有极值，故；

（2）由（1）可得，

当时，解得；当时，解得或，

所以函数的单调减区间为，单调增区间为和.

20．如图，已知正四棱柱，底面正方形的边长为，.

(1)求证：平面平面；

(2)求点A到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析；

(2).

【分析】（1）证明出平面，从而得到面面垂直；

（2）等体积法求解点到平面的距离.

【详解】（1）因为四棱柱为正四棱柱，

所以⊥平面ABCD，且AC⊥BD，

因为平面ABCD，所以⊥BD，

因为，平面，

所以平面，

又平面，

所以平面平面.

（2）设点A到平面的距离为，AC与BD相交于点O，连接，

因为正方形的边长为，，

所以，，

由三线合一可得：⊥BD，且，

由勾股定理得：，

所以，

故，

又，平面

故，

由，

故点A到平面的距离为.

21．已知椭圆的方程为，、分别是它的左、右焦点．

(1)求椭圆的长轴长以及离心率；

(2)过点的直线与椭圆相交于、两点，为坐标原点，若直线的斜率为且，求直线的方程．

【答案】(1)长轴长，离心率

(2)或

【分析】（1）由椭圆标准方程求出，可得长轴长和离心率；

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程消去，设、，得，利用韦达定理解出得直线方程.

【详解】（1）椭圆的方程为，则，即，

所以椭圆的长轴长，离心率

（2）椭圆右焦点，由题意可知过点的直线斜率存在且不为0，

设直线的方程为，代入椭圆方程消去得，

设、，则有，

，，且，

则

，

解得，所以直线的方程为或.

22．已知函数，.

(1)当时，求函数的极值；

(2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)极大值为，无极小值

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；

（2）利用导数求出函数的最大值，依题意可得，解得即可.

【详解】（1）解：当时，，则，

令，得，令，得

∴函数在上单调递增，在上单调递减，

∴函数的极大值为，无极小值；

（2）解：

当，，则是增函数.

当时，则是减函数，

∴的最大值为，

∵恒成立，

∴，解得，

∴的取值范围为.