2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学（理）试题含解析

2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学（理）试题

一、单选题

1．某种产品的广告费用（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间的关系如下表，若与的回归直线方程为，则（    ）

A．4.1 B．4.7 C．4.8 D．6.8

【答案】C

【分析】根据回归方程必过样本中心点，结合平均数运算求解.

【详解】由题意可得：（万元），（万元），

将代入可得：，解得.

故选：C.

2．下列求导数运算中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据求导法则依次计算得到答案.

【详解】对选项A：，错误；

对选项B：，正确；

对选项C：，错误；

对选项D：，错误.

故选：B

3．若曲线在点(0,)处的切线方程为，则（     ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由可知切线的斜率为，所以切线方程为，又切线方程为，比较系数可得a，b的值．

【详解】因为，切点为(0,)，

所以切线的斜率为，则切线方程为，即，

又切线方程为，即，

所以，.

故选：D

4．数据的平均数是，标准差为，则数据的平均数及方差为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】直接利用平均数、标准差和方差的公式求解.

【详解】因为的平均数是，标准差为，

所以，，

所以数据的平均数为：

，

数据的方差为：

.

故选：C.

5．已知函数在上可导且满足，则下列不等式一定成立的为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，讨论其单调性即可求解.

【详解】构造函数，

在时恒成立，

所以在时单调递增，

所以，即，所以，

故选:C.

6．若函数有三个单调区间，则实数a的取值范围是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由有两个不相等的实数根求得的取值范围．

【详解】，

由于函数有三个单调区间，

∴有两个不相等的实数根，∴．

故选：C．

7．已知函数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先对函数求导，然后令，求出的值，从而可得的关系，进而可求出的值

【详解】，所以，

所以，所以，所以.

故选：C.

8．在区间中随机取一个数，则取到的数的绝对值小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据几何概型知识即可得答案.

【详解】解：设取到的数为，

则有，

所以，

由几何概型知识可知，取到的数的绝对值小于的概率为．

故选：C.

9．函数的单调递增区间是（　　　）

A． B． C．和 D．（-3,１）

【答案】D

【详解】∵函数f(x)=(3-x2)ex，

∴f′(x)=-2xex+(3-x2)ex=(3-2x-x2)ex.

由f′(x)＞0，得到f′(x)=(3-2x-x2)ex＞0，

即3-2x-x2＞0，则x2+2x-3＜0，解得-3＜x＜1，

即函数的单调增区间为（-3，1）.

本题选择D选项.

10．执行如图所示的程序框图，输出的（    ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】C

【分析】逐次执行程序计算，直到满足结束.

【详解】第1次循环：时，，不成立，

第2次循环：时，，不成立，

第3次循环：时，，不成立，

第4次循环：时，，不成立，

第5次循环：时，，不成立，

第6次循环：时，，不成立，

第7次循环：时，，此时满足，退出循环，输出，

故选：C

11．已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用导数可求得单调性和最值，由此可得图象，根据函数零点个数可直接构造不等式求得结果.

【详解】定义域为，，

当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增；，

可得图象如下图所示，

有个零点，，解得：，即实数的取值范围为.

故选：D.

12．已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】依据题设构造函数，则，因，故，则函数在上单调递减，又原不等式可化为且，故，则，应选B.

点睛：解答本题的关键是能观察和构造出函数，然后运用导数中的求导法则进行求导，进而借助题设条件进行判断其单调性，从而将已知不等式进行等价转化和化归，最后借助函数的单调性使得不等式获解．

二、填空题

13．已知函数在上的最大值为2，则_________．

【答案】1

【分析】先求导可知原函数在上单调递增，求出参数后即可求出.

【详解】解：在上

在上单调递增，且当取得最大值

，可知

故答案为：1

14．今年春季流感爆发期间，某医院准备将2名医生和4名护士分配到两所学校，给学校老师和学生接种流感疫苗．若每所学校分配1名医生和2名护士，则不同的分配方法数为______．

【答案】12

【分析】先利用组合知识选出一个小组，剩下的一组就确定了，然后利用分步乘法原理即可求解.

【详解】从2位医生中选1人，从4位护士中选2人，分到第一所学校，有＝12种方法，

剩下的1位医生和剩下的2位护士只能分到第二所学校，只有1种方法，

根据分步计数原理得不同的分配方法共有×1＝12种.

故答案为：12.

15．若，若，则____________．

【答案】3

【分析】根据公式可求定积分，从而可求.

【详解】由题意知，所以，

解得．

故答案为：3.

16．若过点有3条直线与函数的图象相切，则的取值范围是__________.

【答案】

【分析】设切点坐标为，利用导数的几何意义求得切线方程，进而将有3条切线转化为方程有三个不等实数根，再转化为函数的图像有三个交点问题，利用导数作出的图象，数形结合，即可求得答案.

【详解】由题意可得，

设切点坐标为，则切线斜率，

所以切线方程为，

将代入得.

因为存在三条切线，即方程有三个不等实数根，

则方程有三个不等实数根等价于函数的图像有三个交点，

设，则，

当时，单调递增；

在和上，单调递减，，

当或时，，

画出的图象如图，

要使函数的图像有三个交点，需，

即，即的取值范围是，

故答案为：

【点睛】方法点睛：利用导数的几何意义表示出切线方程，根据切线条数可得有三个不等实数根，解答此类问题常用方法是转化为函数图象的交点问题，利用导数判断函数单调性或求得极值，进而作出图像，数形结合，解决问题.

三、解答题

17．已知函数在处取得极值2.

(1)求a，b的值：

(2)求函数在上的最值.

【答案】(1)的值为，的值为2；

(2)最小值为2，最大值为.

【分析】（1）利用极值的定义列方程求解；

（2）利用导数讨论函数在的单调性，结合极值和区间端点处的函数值即可求最值.

【详解】（1），，

在处取得极值2，

且，

即，解得，

此时，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

所以在处取得极值，符合题意，

所以的值为，的值为2；

（2）由（1）有，，

由，可得，在上单调递减，

由，可得， 在上单调递增，

时，在上单调递减，在上单调递增，

因此在处取得极小值，即为最小值，

，，，，

在处取得最大值，

综上所述，在上的最小值为2，最大值为.

18．已知函数在处取得极值.

(1)求实数的值；

(2)若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）对函数求导并，由此解得

（2）研究函数在区间单调性，结合端点值，确定实数的取值范围即可.

【详解】（1）由题意知：，

解得：

（2）由（1）知，，，

当函数单调递增；

当函数单调递减；

所以当时，在区间只有两解，

故实数的取值范围为.

19．某电视台为宣传本省，随机对本省内15～65岁的人群抽取了n人，回答问题“本省内著名旅游景点有哪些”统计结果如图表所示.

(1)分别求出a、b、x、y的值；

(2)从第2、3、4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2、3、4组每组各抽取多少人？

【答案】（1）；（2）2人，3人，1人

【详解】试题分析：（1）先求出第4组的人数为，结合直方图求出样本容量，进而其他量；（2）分层抽样就是要满足比例关系，所以由各组的比例关系求出抽取人数．

试题解析：

(1)由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知

，∴，，，．

(2)第2、3、4组回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：×6＝2(人)；第3组：×6＝3(人)；第4组：×6＝1(人)．

点睛：首先直方图体现出样本个体与样本总量的频率关系，所以本题由第四组数据可以先求出第四组样本容量，进而根据直方图求出样本总量及每组的样本容量；然后分层抽样主要体现出样本分层抽取满足比例关系，进而求出每层抽取的样本数量．

20．某中学学生会为了激发学生们对中国古典文学的爱好，提升古典文学素养，在暑假开学返校后的第一个月组织了一个古典文学研究协会，在接下来的四个月内，该协会的会员人数如表：

(1)求会员人数与时间变量记第一个月为，第二个月为，，以此类推的线性回归方程；

(2)根据（1）中所求的线性回归方程，预测个月后，会员人数能否突破人．

参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为；．

【答案】(1)

(2)不能突破人

【分析】由题意求出，，，，代入公式求值，从而得到回归直线方程；

代入即可求出的值，即可作出判断．

【详解】（1）由题意可得，，，

，，

，

，

；

（2）根据中所求的线性回归方程，将代入该回归方程中，得，

即预测个月后，会员人数不能突破人．

21．某校在高三年级学生一次数学考试后，对90分以上（含90分）的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130~140分数段的人数为2人．

(1)请估计一下这组数据的平均数；

(2)现根据考试成绩从第一组和第五组（从低分段到高分段依次为第一组、第二组、…、第五组）中任意选出两人，形成“帮扶学习小组”．若选出的两人成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

【答案】(1)（分）

(2)

【分析】（1）根据频率分布直方图可知，各个小组的频率，再根据平均数的求法即可解出这组数据的平均数．

（2）本题是一个等可能事件的概率，可以列举出从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法，满足条件的事件是两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，根据等可能事件的概率公式得到结果．

【详解】（1）（分）．

（2）设90~140之间的人数是，由130~140数段的人数为2人，可知，

解得．

第一组共有人，记作、、、；

第五组共有2人，记作、

从第一组和第五组中任意选出两人共有下列15种选法：，、，、

，、，、，、，；，、，、，、

，；，、，、，、，；，．共有15种结果，

设事件：选出的两人为“黄金搭档组”．

若两人成绩之差大于20，则两人分别来自于第一组和第五组，共有8种选法，

故（A）．

22．已知函数．

（1）若，求曲线在点处的切线方程；

（2）对任意的，恒成立，请求出a的取值范围．

【答案】（1）（2）

【分析】（1）求出函数的导数，当时，可求、，根据点斜式求出切线方程．

（2）利用参变分类法，已知对任意的，恒成立，即对任意的恒成立，将问题转化为求函数在给定的区间上的最小值．

【详解】解：（1）因为，所以，，，

所以切线方程为．

（2）不等式，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．

令，则，令，则，

易知在上单调递增，

因为，，且的图象在上连续，

所以存在唯一的，使得，即，则．

当时，单调递减；当时，单调递增．

则在处取得最小值，

且最小值为，

所以，即在上单调递增，

所以．

【点睛】本题考查导数的几何意义，及利用导数取函数的最值问题，属于中档题．