2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学（文）试题含解析

2022-2023学年宁夏青铜峡市宁朔中学高二下学期期中考试数学（文）试题

一、单选题

1．（1–i）4=（    ）

A．–4 B．4

C．–4i D．4i

【答案】A

【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.

【详解】.

故选：A.

【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.

2．设全集，集合M满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先写出集合,然后逐项验证即可

【详解】由题知,对比选项知，正确,错误

故选:

3．在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.

【详解】设“区间随机取1个数”，对应集合为： ，区间长度为，

“取到的数小于”， 对应集合为：，区间长度为，

所以．

故选：B．

【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出．

4．“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据三角函数的定义结合充分必要条件求解.

【详解】由“”可推出“”，

但当“”时，比如，推不出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选:B.

5．已知点M的极坐标是，则与点M关于直线对称的点的极坐标是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】写出点M关于直线对称的点的坐标，即可选出答案.

【详解】因为关于直线对称的角为，

即M的极坐标于直线对称的点的极坐标是，，

所以当时，有，

故选：B.

6．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】方法一：求出集合后可求.

【详解】[方法一]：直接法

因为，故，故选：B.

[方法二]：【最优解】代入排除法

代入集合，可得，不满足，排除A、D；

代入集合，可得，不满足，排除C.

故选：B.

【整体点评】方法一：直接解不等式，利用交集运算求出，是通性通法；

方法二：根据选择题特征，利用特殊值代入验证，是该题的最优解．

7．已知函数，则（    ）

A． B．3 C．1 D．19

【答案】B

【分析】根据已知函数解析式可先求，然后代入可求.

【详解】由，则.

故选：B

8．已知，若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】作出的图象，结合图象可知在上为减函数，即可得到，再由对数的运算比较、的关系，即可得解.

【详解】解：，作出的图象如图

在上为减函数.

，即.

又

故选：

【点睛】本题考查对数函数的应用，属于中档题.

9．已知函数，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】得出即可

【详解】因为

所以

即，因为，所以

故选：C

10．已知函数是定义在上的偶函数，在上有单调性，且，则下列不等式成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据偶函数的定义和性质可得且在上有单调性，所以在上单调递增，再逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.

【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，

由可得，

因为在上有单调性，所以在上有单调性，

因为，所以在上单调递增，

对于A：，故选项A不正确；

对于B：，故选项B正确；

对于C：，故选项C不正确；

对于D：，，，

所以，故选项D不正确；

故选：B.

11．设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．

【详解】则．故选C．

【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．

12．已知函数的定义域为，且，，则（    ）

A．0 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】依题意令得到，再以代换，即可得到，从而得到，即可得到，从而求出函数的周期，再求出、、、、的值，根据周期性计算可得.

【详解】解：由，

令得①，

以代换得②，

由①②可得，

，即，

所以，故是的一个周期，

令，得，，

令，得，，

，

，，，，

，.

故选：A．

二、填空题

13．___________.

【答案】

【分析】利用复数的乘方法则与复数的除法可化简所求复数.

【详解】，所以，.

故答案为：.

14．设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x，则＝________.

【答案】－1

【分析】利用函数的周期性和奇偶性即可直接求出结果.

【详解】因为f(x)是周期为2的奇函数，

所以f＝－f＝－f＝－1.

故答案为：-1

15．函数的单调减区间为__________.

【答案】/

【分析】优先考虑定义域，在研究复合函数的单调性时，要弄清楚它由什么函数复合而成的，再根据“同增异减”可求解.

【详解】函数是由函数和组成的复合函数，

，解得或，

函数的定义域是或，

因为函数在单调递减，在单调递增，

而在上单调递增，

由复合函数单调性的“同增异减”，可得函数的单调减区间．

故答案为：.

16．函数的图象是两条线段（如图），它的定义域为，则不等式的解集为________．

【答案】

【分析】首先求得函数的解析式，然后利用函数的解析式分类讨论即可求得最终结果．

【详解】解：

当x∈时，设线段所在直线的方程为，线段过点（﹣1，0），（0，1），

根据一次函数解析式的特点，可得出方程组 ，

解得 ．故当x∈[﹣1，0）时，f（x）＝x+1；

同理当x∈（0，1]时，f（x）＝x1；

当x∈[﹣1，0）时，不等式f（x）﹣f（﹣x）1可化为：

x+1﹣（x1）1，解得：x，∴﹣1≤x＜0．

当x∈（0，1]时，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1可化为：

x1﹣（x+1）1，解得：，∴x≤1，

综上所述，不等式f（x）﹣f（﹣x）﹣1的解集为 ．

故答案为：

三、解答题

17．已知是定义在上的奇函数，当时，．

(1)求时，函数的解析式；

(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）设，计算，再根据奇函数的性质，得，即可得解；

（2）作函数的图像，若在区间上单调递增，结合函数图像，列出关于的不等式组求解.

【详解】（1）设，则，所以

又为奇函数，所以，

所以当时，.

（2）作函数的图像如图所示，

要使在上单调递增，结合的图象知，所以，

所以的取值范围是.

18．已知直线l的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，曲线C与直线l交于A、B两点.

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设，求的值.

【答案】(1)，

(2)11

【分析】（1）由加减消元或者代入消元消去参数t化简即可求得直线的普通方程；将曲线C的极坐标方程两边同时平方，再由代入化简即可求得曲线C的直角坐标方程.

（2）将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，再由韦达定理求得，再由求得的值.

【详解】（1）将直线l的参数方程（t为参数），

消去参数t，化为普通方程为，

将曲线C的极坐标方程，两边同时平方，化为直角坐标方程为

（2）点P在直线l上，

将直线l： （t为参数）代入曲线C的直角坐标方程中，

得到 ，由韦达定理得（和为A、B对应的参数），

故

19．某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：

（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；

（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？

附：．

【答案】（1）；

（2）能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【分析】（1）从题中所给的列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；

（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，

所以男顾客对商场服务满意率估计为,

50名女顾客对商场满意的有30人，

所以女顾客对商场服务满意率估计为,

（2）由列联表可知，

所以能有的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.

【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算的值，独立性检验，属于简单题目.

20．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）.

（1）求和的直角坐标方程；

（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．

【答案】（1），当时，的直角坐标方程为，当时，的直角坐标方程为；（2）

【分析】（1）根据同角三角函数关系将曲线的参数方程化为直角坐标方程，根据代入消元法将直线的参数方程化为直角坐标方程，此时要注意分 与两种情况；

（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义得之间关系，求得，即得的斜率．

【详解】（1）曲线的直角坐标方程为．

当时，，即的直角坐标方程为；

当时，的直角坐标方程为．

（2）［方法一］：直线参数方程的应用

将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程

．①

因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．

又由①得，故，于是直线的斜率．

［方法二］：【最优解】点差法的应用

设直线l（斜率为k）与曲线C相交于．因为点是线段的中点，所以直线l的斜率k存在且不为零．则，由题意得①，②，

两式相减得，即，解得．

［方法三］：【通性通法】常规联立＋韦达定理

设直线l与曲线C的交点为，．因为点是线段的中点，所以直线l的斜率k存在且不为零．由消去y整理得．因为为椭圆内部的点，只需，得．所以直线l的斜率为．

［方法四］：伸缩变换

设变换得代入椭圆方程，得圆．而点变换成点，以为中点的圆的弦所在直线的斜率，根据变换公式，得直线l的斜率．

【整体点评】（2）方法一：根据直线参数方程中的几何意义，可快速找到的关系，从而求出斜率；

方法二：中点问题考虑点差法，简单适用，是该题的最优解；

方法三：利用直线和椭圆方程联立，根据韦达定理求出斜率，是直线与椭圆位置关系问题的通性通法；

方法四：利用伸缩变换，将直线与椭圆的位置关系转化为直线与圆的位置关系，再根据圆的几何性质求解，最后回代即可解出．

21．下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.

（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：，，

，≈2.646.

参考公式：相关系数

回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

【答案】(Ⅰ)答案见解析；(Ⅱ)答案见解析.

【详解】试题分析：（Ⅰ）根据相关系数的公式求出相关数据后，代入公式即可求得的值，最后根据值的大小回答即可；（Ⅱ）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程，然后预测．

试题解析：（Ⅰ）由折线图中数据和附注中参考数据得

，，，

，

.

因为与的相关系数近似为0.99，说明与的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合与的关系.

（Ⅱ）由及（Ⅰ）得，

.

所以，关于的回归方程为：.

将2016年对应的代入回归方程得：.

所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.

【解析】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用．

【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性．

22．已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．

(1)求函数g(x)的定义域；

(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．

【答案】（1）；（2）．

【详解】（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．

∴，∴＜x＜，

函数g（x）的定义域（，）．

（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，

∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），

∴，∴＜x≤2，

故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．