2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高二下学期期中数学试题含解析

2022-2023学年湖南省长沙市明德中学高二下学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用交集的定义运算即得答案.

【详解】∵集合，，

∴.

故选：B.

2．若复数，则（    ）

A．1 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】利用复数的模的运算性质，化简为对复数求模可得结果

【详解】,.

故选:D.

3．已知函数，若，则实数的值是（    ）

A．或5 B．3或 C．5 D．3或或5

【答案】A

【分析】根据函数解析式，分别讨论，两种情况，结合题中条件，即可求出结果.

【详解】若，则，∴（舍去），

若，则，∴，

综上可得，或.

故选：A．

4．数列为正项等比数列，前项和为，且满足，，则（    ）

A．36 B．35 C．32 D．31

【答案】D

【分析】首先求出公比，即可求出，再根据等比数列求和公式计算可得.

【详解】设公比为（），因为，，

所以，所以或（舍去），

所以，所以.

故选：D

5．2023年，中国空间站将正式进入运营阶段．假设空间站要安排名航天员开展实验，每个舱中都有人，则不同的安排方法有（    ）

A．72种 B．90种 C．360种 D．540种

【答案】B

【分析】利用分组和分配的方法求得名航天员的安排方案.

【详解】先把名航天员分成三组，每组人，有种方法；

再把这三组分配到三舱中，每舱一组有种方法.

所以名航天员的安排方案共有种.

故选：B.

6．已知函数 的部分图象如图所示，将函数 的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到函数 的图象，则下列关于函数的说法正确的是（　　）

A．的最小正周期为

B．在区间上单调递增

C．的图象关于直线x＝对称

D．的图象关于点中心对称

【答案】C

【分析】先根据函数图像求出 的解析式，利用图像变换求出 的解析式，然后对选项逐一判断即可

【详解】由函数图象知，，所以，

所以 ，

因为函数图象过点，所以，则，

解得，又，所以，

所以，将函数的图象上所有点的横坐标变为原来的，得到，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位长度，得到，的最小正周期，故A错误；

当时，，此时 单调递减，故B错误；

令，则，当时，，故C正确；

因为，故D错误．

故选：C.

7．直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上运动，则面积的最大值为（    ）

A．8 B． C．14 D．

【答案】C

【分析】根据圆上的点到直线距离的最大值的求解方法即可求最大面积.

【详解】令解得，所以,

令解得，所以,所以,

又因为圆心到直线的距离

所以点到直线的最大距离为，

所以面积的最大值为，

故选:C.

8．设，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用、的形式构造函数，应用导数研究其在上单调性，进而比较相应函数值的符号，即可知参数的大小关系.

【详解】由，令且，

所以，

令且，则，即递减，

所以，故在上恒成立，则在上递减，

所以，即，则；

由，令且，

所以在上递增，故，

故在上递增，，即，则；

综上，.

故选：C

【点睛】关键点睛：应用作差法得到某种函数形式，并构造函数研究单调性判断函数值的符号即可.

二、多选题

9．如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB＝BC，则（    ）

A．三棱锥S-ABC的体积为12 B．该圆锥的体积为12π

C．该圆锥的表面积为14π D．该圆锥的母线长为5

【答案】ABD

【分析】利用锥体的体积公式、表面积公式及勾股定理可判定各选项.

【详解】对于A项，由题意可得是等腰直角三角形，由AC=6可得，即，故A正确；

对于B项，由圆锥体积公式可得，故B正确；

由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA=，故D正确；

则C项，由圆锥的表面积公式可得，故C错误.

故选：ABD

10．下列说法正确的是（    ）

A．已知，若根据2×2列联表得到的观测值为4.153，则有95%的把握认为两个分类变量有关

B．已知向量，，则

C．随机变量X服从正态分布，且，则

D．已知一组数据，，，，，的方差是5，则数据，，，，，的标准差是12

【答案】ABC

【分析】的观测值结合，判断A选项, 向量坐标计算判断垂直可判断B选项，X服从正态分布,可判断C选项,根据方差定义及性质判断D选项.

【详解】则有95%的把握认为两个分类变量有关,A选项正确;

向量，，,则,B选项正确;

随机变量X服从正态分布，

且，则,C选项正确;

已知一组数据，，，，，的方差是5，

则数据，，，，，的方差是,标准差是,D错误.

故选:ABC.

11．已知数列的前n项和为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则是等差数列

B．若，则是等比数列

C．若是等差数列，则

D．若是等比数列，则

【答案】BC

【分析】根据等差数列的定义判断A；根据与的关系求出通项公式，结合等比数列的定义判断B；根据等差数列的性质和前n项求和公式计算判断C；举例说明判断D．

【详解】选项A，由，得，

则，所以不是等差数列，故A错误；

选项B，当时，，

当时，，

经检验，符合上式，所以，故是等比数列，故B正确；

选项C，若是等差数列，则，故C正确；

选项D，若，则，

，而，故D错误，

故选：BC．

12．加斯帕尔•蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家,他在研究圆锥曲线时发现:椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上,其圆心是椭圆的中心,这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．已知长方形R的四边均与椭圆相切,则下列说法正确的是（    ）

A．椭圆C的离心率为 B．椭圆C的蒙日圆方程为

C．椭圆C的蒙日圆方程为 D．长方形R的面积最大值为18

【答案】ACD

【分析】根据椭圆方程,求出离心率即可得选项A正误;根据蒙日圆的定义可判断,该圆过点,根据圆心坐标,即可求得半径的值,进而求得圆的方程;设出长方形的长和宽,根据长方形是蒙日圆的内接四边形,可得对角线为直径,求得长和宽的等量关系,再利用基本不等式即可判断选项D正误.

【详解】解:由题知椭圆方程为:,

所以,

故选项A正确;

因为长方形R的四边均与椭圆相切,

所以点,即在蒙日圆上,

故半径为,

可得椭圆C的蒙日圆方程为;

故选项B错误,选项C正确;

设长方形R的边长为m,n,

则有,

所以长方形R的面积等于,

当且仅当时取等,

故选项D正确.

故选:ACD

三、填空题

13．二项式的展开式中，常数项为_______________（用数值表示）．

【答案】24

【分析】利用二项式定理展开即可得出结果.

【详解】由二项式定理可得，

显然其常数项为第三项即，

故答案为：24

14．若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则的值__________．

【答案】6

【详解】试题分析：根据题意，由于双曲线的右焦点坐标为，因此可知抛物线的焦点,故答案为6

【解析】考查了抛物线与双曲线的性质．.

点评：解决该试题的关键是利用双曲线的右焦点坐标得到抛物线的焦点坐标，然后得到参数p的值，属于基础题．

15．蟋蟀鸣叫是大自然优美和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率（单位：次/分钟）与气温（单位：℃）有较强的线性相关关系．某同学在当地通过观测，得到如下数据，并建立了关于的线性回归方程．当蟋蟀每分钟鸣叫52次时，该地当时的气温预报值为_______________．

【答案】33

【分析】首先求出，，根据回归直线方程必过样本中心点，代入求出，即可得到回归方程，再令求出预报值即可.

【详解】依题意可得，，

又关于的线性回归方程，所以，解得，

所以回归方程为，当时，

即当蟋蟀每分钟鸣叫次时，该地当时的气温预报值为.

故答案为：

四、双空题

16．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，、为圆柱两个底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径，则

①平面DEF截得球的截面面积最小值为_______________；

②若P为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为_______________．

【答案】     /    

【分析】过点在平面内作，垂足为点，分析可知当平面时，截面圆的半径最小，求出截面圆的半径，结合圆的面积公式可求平面DEF截得球的截面面积最小值；利设在底面的射影为，设令，则，其中，可得出，利用平方法和二次函数的基本性质求出的取值范围，可得的取值范围.

【详解】过点在平面内作，垂足为点，如下图所示：

易知，，，

由勾股定理可得，

则由题可得，

设到平面的距离为，平面截得球的截面圆的半径为，

因为平面，当平面时，取最大值，即，

所以，，

所以平面截得球的截面面积最小值为；

由题可知点在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设在底面的射影为，

则，，，

由勾股定理可得，令，则，其中，

所以，，

所以，，

因此，.

故答案为：；.

【点睛】思路点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图.

五、解答题

17．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且△ABC的面积为，求c的值．

【答案】(1)

(2)．

【分析】（1）直接利用三角函数的周期性求解即可.

（2）先求C，再由面积公式得b，后由余弦定理求得结果.

【详解】（1）由三角函数的周期公式可得：最小正周期为；

（2），

即，

所以，k∈Z，

所以，k∈Z，

因为，

所以，

由三角形面积公式，且，

解得，

由余弦定理，

解得．

18．在①,②,③这三个条件中选择两个,补充在下面问题中,并进行解答.已知等差数列的前项和为,______,______.

(1)求数列的通项公式;

(2)设,求数列的前项和.

注:如果选择多组条件分别解答,按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据是等差数列,设出公差为,选择两个选项,将首项公差代入,解方程组,即可求得基本量,写出通项公式;

(2)根据(1)中的通项公式,写出的通项,利用裂项相消即可求得前项和.

【详解】（1）由于是等差数列,设公差为,

当选①②时:,解得,

所以的通项公式.

选①③时:,解得,

所以的通项公式.

选②③时:,解得,

所以的通项公式.

（2）由(1)知,,

所以,

所以

.

19．已知四棱锥的底面ABCD为矩形，底面ABCD，且，设E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，H为EG的中点，如图．

(1)求证：平面PBD；

(2)求直线FH与平面PBC所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）利用中位线得到的线线平行，证明线面平行，再证面面平行，由面面平行得证线面平行；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角的正弦值.

【详解】（1）证明：∵E、F、G分别为PC、BC、CD的中点，∴，，

∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD，同理可证平面PBD，

∵，EF、平面EFG，∴平面平面PBD，

∵平面EFG，∴平面PBD．

（2）∵平面ABCD，四边形ABCD为矩形，

以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则、、、、、、，

，，，

设平面PBC的法向量为，则，

取，可得，∴，

所以，直线FH与平面PBC所成角的正弦值为．

20．明德中学开展了120周年校庆知识问答竞赛，参赛人员所得分数的分组区间为，，，由此得到总体的频率统计表：

(1)视样本的频率为概率，在该校所有参赛学生中任取3人，记取出的3人中分数在的人数为X，求X的分布列和数学期望；

(2)若从总体中利用分层抽样的方式随机抽取10名学生进行进一步调研．从这10名参赛学生中依次抽取3名进行调查分析，求在第一次抽出1名学生分数在区间内的条件下，后两次抽出的2名学生分数在的概率．

【答案】(1)分布列见解析，

(2)

【分析】（1）根据题意，符合二项分布的特征，然后，列出相应的分布列，利用相关的概率和期望公式，计算即可求解.

（2）分别计算出第一次抽出1名学生分数在区间内的概率和后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内的概率，然后，利用条件概率公式进行求解即可；

【详解】（1）由题意知，该市所有参赛学生中分数在的概率为，且，

所以X的可能取值有0、1、2、3，

故，，

，．

故X的分布列如下：

．

（2）得分位于的共有4人，得分位于的有3人，

记事件A：第一次抽出1名学生分数在区间内，记事件B：后两次抽出的2名学生分数在同一分组区间内，

则，，

由条件概率公式可得．

21．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与椭圆交于，两点，点是轴上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)

(2)存在定点，定值为

【分析】（1）根据题意得，将点代入方程即可解决；

（2），结合韦达定理得，即可解决

【详解】（1）由题知，，

所以椭圆为，由点在椭圆上得解得，故椭圆方程为

（2）设，

由，得

所以，

所以

，

所以，解得，

所以存在定点，使得为定值.

22．已知.

(1)证明：当时，在上单调递增；

(2)当时，关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）求导，得到导函数大于0恒成立，证明出结论；

（2）变形得到在上恒成立，令，二次求导，求出导函数单调递增，结合，分与两种情况，讨论得到的取值范围.

【详解】（1）证明：因为，

所以，

因为，所以，又，所以，

所以在上单调递增.

（2）当时，，

即

所以，即在上恒成立.

令，则，

令，

则.

因为，所以，所以，

所以在上单调递增，所以.

①当，即时，在上，，即，所以在上单调递增，

所以对，即在上恒成立，符合题意；

②当，即时，，

又，若，则在上，，即，所以在上单调递减，所以，不合题意；

若，则存在，使得，

所以在上，，即，

所以在上，单调递减，所以对不合题意.

综上所述，关于的不等式在上恒成立，实数的取值范围为.

【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.