2022-2023学年安徽省庐巢七校联考高二下学期3月期中数学试题含解析

2022-2023学年安徽省庐巢七校联考高二下学期3月期中数学试题

一、单选题

1．设函数在处的导数为2，则（    ）

A． B．2 C． D．6

【答案】D

【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解.

【详解】根据导数的定义，可得.

故选：D．

2．某小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，不同的选法共有（    ）

A．12种 B．14种 C．24种 D．48种

【答案】B

【分析】根据组合性质即可求解.

【详解】依题意，

小组有8名男生，6名女生，要求从中选1名当组长，

则有种选法.

故选：B.

3．已知某物体在平面上做变速直线运动，且位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系可用函数：表示，则该物体在秒时的瞬时速度为（    ）

A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米秒

【答案】A

【分析】直接对位移关于时间的函数求导，代入即可.

【详解】由题得，当时，，故瞬时速度为米/秒，

故选；A.

4．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．和

C． D．

【答案】A

【分析】确定函数定义域，求出函数的导数，根据导数大于0，即可求得答案.

【详解】函数的定义域为 ，

，当时，解得，

故函数的单调递增区间是，

故选：A

5．设函数，已知，，，，则（    ）

A．－2 B．－1 C． D．3

【答案】B

【分析】先求出函数的导函数，再代入已知条件计算即可.

【详解】由已知，

.

故选：B.

6．已知上的函数满足，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】令，从而求导可判断导数恒成立，从而可判断函数的单调性，从而可得当时，，从而得到不等式的解集．

【详解】解：令，

则，

又的导数在上恒有，

恒成立，

是上的减函数，

又，

当时，，即，

即不等式的解集为；

故选：C．

7．若是的切线，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用导数的几何意义可求得在处的切线方程，由此可用表示，得到，设，利用导数可求得的值域，由此可得所求范围.

【详解】设切点坐标为，

，，又，，

，

令，则，

则当时，；当时，；

在上单调递减，在上单调递增，

，又当时，，，

即的取值范围为.

故选：A.

8．已知函数，直线，若有且仅有一个整数，使得点在直线l上方，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由定义域得为正整数，由导数法研究的图象，直线l过定点，由数形结合可判断的值，进而列不等式组确定参数范围.

【详解】点在直线l上方，即，因为，所以有且仅有一个正整数解.

设，则单调递增；单调递减，所以.

又，故可得图象如下图，

直线过定点，

当，有无数个正整数解，不合题意，故，

又有且仅有一个正整数解，故2是唯一的正整数解，即.

故选：C.

【点睛】关键点点睛：直线l过定点，则原命题可转化为直线l绕定点旋转，从而满足条件，可由导数法研究的图象，由数形结合列式求解.

二、多选题

9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的有（    ）

A．为函数的一个零点

B．为函数的一个极大值点

C．函数在区间上单调递增

D．是函数的最大值

【答案】BC

【分析】利用导函数的图象分析函数的单调性，由此可判断各选项的正误.

【详解】由的导函数的图象可知，函数在、上单调递减，在、上单调递增，

故当或时，取得极小值；当时，取得极大值，故BC正确，AD错误.

故选：BC.

10．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是（    ）

A．从六位专家中选两位的不同选法共有20种

B．“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种

C．“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种

D．“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种

【答案】BC

【分析】由组合知识判断A；从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家，从而判断B；由捆绑法判断C；由插空法判断D.

【详解】对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；

对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；

对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；

对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误；

故选：BC

11．已知函数的图像关于直线对称，则（    ）

A．函数的图像关于点对称

B．函数在有且仅有2个极值点

C．若，则的最小值为

D．若，则

【答案】ABD

【分析】利用函数图象的对称性求出，再结合正弦函数的图象与性质逐项分析、计算判断作答.

【详解】依题意，，即，而，则，，

对于A，因为，于是函数的图像关于点对称，A正确；

对于B，当时，，而正弦函数在上有且只有两个极值点，

所以函数在有且仅有2个极值点，B正确；

对于C，因为，又，因此中一个为函数的最大值点，

另一个为其最小值点，又函数的周期为，所以的最小值为，C错误；

对于D，依题意，，

则

，因此，D正确.

故选：ABD

12．已知函数，是的导数，则（    ）

A．函数在上单调递增

B．函数有唯一极小值

C．函数在上有且只有一个零点，且

D．对于任意的，，恒成立

【答案】ABD

【分析】对函数求导，利用二次导函数的正负判断导函数函数的单调性，进而判断选项；构造函数，利用导数求解函数的单调性并证明不等式，进而判断选项.

【详解】，

，则，

设，

，

则函数在上单调递增，，因此对任意的恒成立，所以在上单调递增，故选项正确；

又，所以，则存在，使得．在时，；时，；

所以函数在单调递减，在单调递增，

故有唯一极小值，故选项正确；

令，，

则，

所以函数在单调递减，在单调递增，

且，则有．

又，

因此存在，使得，

当时，，当时，，

于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则．

又，

从而存在唯一，使得．

显然当时，，当时，．

又，令，

，

因此函数在上单调递减，，

有，，则，

即，从而函数在上有唯一零点，

函数在上有且只有一个零点，且，故选项C错误；

，，

，

设，，

则

由选项知，在上单调递增，而，则，

即有，因此函数在上单调递增，

，即有，

所以对任意的，，总满足，故选项正确．

故选：.

【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结论构造辅助函数.

三、填空题

13．有男女共名学生被分派去三个公司实习,每个公司至少人,且公司要且只要个女生,共有________种不同的分派方法.(用数字作答)

【答案】

【分析】按照分步乘法计数原理,先分派公司的人选,再分派公司的人选,然后方法数相乘即可.

【详解】解:公司只要个女生,有种分派方案,

则公司分派人数可以为或者或者共3种分派方案,共种,

所以一共有种分派方案.

故答案为:.

14．函数在区间上的最大值为______．

【答案】

【分析】利用导数，判断函数的单调性，可得结果.

【详解】由，所以，

当时，，所以，

则在单调递减，

所以.

故答案为：.

15．若，则______.

【答案】6

【分析】由排列数和组合数的计算公式，解方程求解即可.

【详解】因为，，

所以.

由，得（舍去）或.

故答案为：.

16．函数的定义域为，其导函数为，若，且当时，，则不等式的解集为__________．

【答案】

【分析】构造，得到其在上为偶函数，且在上单调递增，变形得到，从而得到，求出答案.

【详解】令，则，

又，所以得，

即，所以为上的偶函数，

又时，，所以在上单调递增，

又为上的偶函数，所以在上单调递减，

由，得，

所以，

即，所以得，解得：，

所以不等式的解集为．

故答案为：.

【点睛】利用函数与导函数的相关不等式构造函数，然后利用所构造的函数的单调性解不等式，是高考常考题目，以下是构造函数的常见思路：

比如：若，则构造，

若，则构造，

若，则构造，

若，则构造.

四、解答题

17．已知函数.

(1)求函数在处的切线方程；

(2)求函数在上的最大值与最小值.

【答案】(1)

(2)最大值为2，最小值为

【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；

（2）求导分析函数在的单调性与极值再求最值即可

【详解】（1）因为，所以.则所求切线的斜率为，且，

故所求切线方程为，即；

（2）因为，，所以.

令，得（舍去），

当，，函数单调递减，

当，，函数单调递增，

所以的极小值为.又，，

所以的最大值为2，最小值为.

18．已知数列，，，且，是与的等差中项．

(1)求数列的通项公式；

(2)若，，求的最大值．

【答案】(1)；

(2)36﹒

【分析】(1)通过，可知，进而得出是等比数列且求出公比，再结合是与的等差中项求出首项，进而得到的通项公式；

(2)结合(1)计算出，判断{}为单调递减的等差数列，从而可得的最大值．

【详解】（1）由题可知，即，则，

∴数列是公比为2的等比数列，

∵是与的等差中项，

∴，即，

解得，

∴数列的通项公式为；

（2）由(1)知，∴，

∴，

∴数列是一个公差为－2的递减等差数列，

且，，

故的最大值为.

19．已知函数在时有极值0

(1)求的值；

(2)求函数的单调区间与极值.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）由导数与极值的关系得，解出即可；

（2）由（1）得，分别令和，解出即可得到其单调区间.

【详解】（1）由题可得，

由可得，，解得，经检验，符合题意，

所以.

（2）由（1）知，，，

当时，解得；当时，解得或，列表如下：

所以函数的单调减区间为，单调增区间为和，

极大值为，极小值为.

20．为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：，设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．

(1)求的表达式；

(2)隔热层修建多厚时，总费用达到最小，并求最小值．

【答案】(1)

(2)当隔热层修建5cm厚时，总费用最小，最小值为70万元．

【分析】（1）根据已给模型确定函数解析式；

（2）利用导数求得最小值．

【详解】（1）每年能源消耗费用为，建造费用为，

．．

（2），令得或（舍．

当时，，当时，．

在，上单调递减，在，上单调递增．

当时，取得最小值（5）．

当隔热层修建厚时，总费用最小，最小值为70万元．

21．已知函数，

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围．

【答案】(1)答案见解析

(2)

【分析】（1）求导后，讨论和0的大小关系，然后利用导数和函数单调性的关系即可；

（2）分离参数后，把零点转化为函数图像的交点，然后根据的图像判断即可.

【详解】（1）

①当时，，此时函数在上单调递增；

②当时，令，得，

当时，，此时函数在上单调递减；

当时，，此时函数在上单调递增．

（2）由题意知：在区间上有两个不同实数解，

即直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，

因为，令，得，

所以当时，，函数在上单调递减；

当时，，函数在上单调递增；

则，而，且．

所以要使直线与函数的图象在区间上有两个不同的交点，则

所以的取值范围为．

22．已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围；

（2）求证：当时，成立．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）求出导函数可知,当时不合题意,当时求出函数的单调区间,进一步求出函数的最大值,由最大值小于等于0求解a的范围;

（2）由(1)可得在上恒成立，令,则，进而累加得，另一方面由得，即，再根据不等式的性质即可证明.

【详解】解：（1），

若,则,则在上是增函数，

而,不成立,故，

若,则当时, ；当时, ，

在上是增函数,在上是减函数，

的最大值为，

要使恒成立,只需,解得.

所以实数的取值范围

(2)由(1)知,当时,有在上恒成立,

恒成立，

令,则,

令,

则有，

以上各式两边分别相加,得，

即,

又因为，所以，即，

所以，

所以，证毕.

【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，证明不等式，考查运算求解能力，推理论证能力，化归转化思想，分类讨论思想，是难题.本题第二问解题的关键在于结合（1）得，进而令，进而累加法求解证明，此外根据对数不等式得，进而得.