2022-2023学年北京市大峪中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年北京市大峪中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．若集合，，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】A

【分析】求出或,即得解.

【详解】由题得或,

所以，

故选：A

2．下列函数中是定义在上的增函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用函数的定义域可判断AC，利用基本函数的单调性可判断BD.

【详解】对于A，在区间上为增函数，故A错误；

对于B，在单调递减，故B错误；

对于C，在区间上为减函数，故C错误；

对于D，在上为增函数，故D正确.

故选：D.

3．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据零点存在性定理即可求解.

【详解】由函数，显然函数在为减函数，

又，， ，

.

故选：C.

4．若，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合指数，对数的性质确定正确选项.

【详解】，

，

，

所以.

故选：B

5．“”是“对任意的正整数，均有”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】化简“对任意的正整数，均有”得，即得解.

【详解】对任意的正整数，均有,

所以，

当时，取最大值1，

所以.

因为时，一定成立；时，不一定成立.

所以“”是“对任意的正整数，均有”的充分不必要条件.

故选：A

6．函数的图像可看作是把函数经过以下哪种变换得到（    ）

A．把函数向右平移一个单位

B．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位

C．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像向左平移一个单位

D．先把函数的图像关于轴对称，然后把所得函数图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变

【答案】D

【分析】利用函数图像的平移变换法则求解即可.

【详解】选项A：函数向右平移一个单位得到；

选项B：先把函数的图像关于轴对称得到，然后向左平移一个单位得到；

选项C：先把函数的图像关于轴对称得到，然后向左平移一个单位得到；

选项D：先把函数的图像关于轴对称得到，然后把各点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到；

故选：D

7．若定义在R上的偶函数f(x)满足且时，，则方程的解有（    ）

A．2个 B．3个

C．4个 D．多于4个

【答案】C

【分析】由题意可得函数周期为2，问题转化为与图象的交点个数，作图可得．

【详解】解：由可得函数的周期为2，

又函数为偶函数且当，时，，

故可作出函数得图象．

方程的解个数等价于与图象的交点，

由图象可得它们有4个交点，故方程的解个数为4.

故选：C．

8．近年来，踩踏事件时有发生，给人们的生命财产安全造成了巨大损失．在人员密集区域，人员疏散是控制事故的关键，而能见度x（单位：米）是影响疏散的重要因素．在特定条件下，疏散的影响程度k与能见度x满足函数关系：（是常数）．如图记录了两次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，b的值是（参考数据：）（    ）

A． B． C．0.24 D．0.48

【答案】A

【分析】分别代入两点坐标得，，两式相比得结合对数运算得，解出值即可.

【详解】当时，①，

当时，②，

①比②得，

，

故选：A.

9．已知.若对于，均有成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将成立转化成恒成立的问题，构造函数，然后分类讨论，即可求出的取值范围.

【详解】解：由题意

在中，对称轴

函数在上单调减，在上单调增

，

∵对于，均有成立

即对于，均有恒成立

在中，对称轴，

函数在上单调减，在上单调增

当即时，

函数在上单调减

函数在上单调减

∴

解得

当，即时，

函数在上单调减，在上单调增

函数在上单调减

∴

∴

解得

当，即时，

函数在上单调增

函数在上单调减

∴

∴

故不符题意，舍去.

当即时

函数在上单调增，

函数在上单调减，在上单调增，

∴

解得

当即时

函数在上单调增，

函数在上单调减，在上单调增，

此时，

∴符合题意

当时，

函数在上单调增

函数在上单调增

∴

此时

∴符合题意

综上，实数的取值范围是

故选：C.

【点睛】本题考查恒成立问题，二次函数不同区间的单调性，以及分类讨论的思想，具有很强的综合性.

10．已知集合，任取中至少有一个成立，则n的最大值为（    ）

A．3 B．5 C．7 D．9

【答案】C

【分析】可证明集合A的正数至多有3个，负数至多有3个，故可判断n的最大值.

【详解】不妨设，若集合A中的正数个数不小于4，取，

可得，取，可得，因此，矛盾．

因此集合A的正数至多有3个，同理，集合A中的负数至多有3个．

又考虑，

符合题意，因此n的最大值为7．

故选：C.

二、填空题

11．函数的定义域是_____________．

【答案】

【分析】根据对数型函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.

【详解】由题意可知：，

所以该函数的定义域为，

故答案为：

12．已知函数是定义域为R的奇函数，且则________.

【答案】

【解析】根据奇函数的性质，直接求得与的值，即可求出所求．

【详解】解:因为函数是定义域为的奇函数，

所以,

所以，，

所以.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了奇函数的基本性质，以及奇函数的定义，属于基础题．

三、双空题

13．设函数则f[f（0）]=______；若方程f（x）=b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是______．

【答案】          （，）

【分析】利用分段函数求解函数值得到第一问；利用分段函数求解函数的极值得到b的范围.

【详解】解：函数则f[f（0）]＝f（e0）＝f（1）．

x≤0时，f（x）≤1，x＞0，f（x）＝﹣x2+x，对称轴为：x，开口向下，

函数的最大值为：f（），x→0时，f（0）→，

方程f（x）＝b有且仅有3个不同的实数根，则实数b的取值范围是：（，）．

故答案为；（，）．

【点睛】本题考查函数与方程的应用，函数的零点的求法，考查计算能力以及数形结合的应用．

四、填空题

14．已知函数（且）.给出下列四个结论：

①存在实数a，使得有最小值；

②对任意实数a（且），都不是R上的减函数；

③存在实数a，使得的值域为R；

④若，则存在，使得.

其中所有正确结论的序号是___________.

【答案】①②④

【分析】通过举反例判断①.，利用分段函数的单调性判断②③，求出关于y轴的对称函数为，利用与y的图像在上有交点判断④.

【详解】当时，当时，，所以有最小值0，①正确；

若是R上的减函数，则，无解，所以②正确；

当时，单减，且当时，值域为，而此时单增，最大值为，所以函数值域不为R；

当时，单增，单增，若的值域为R，则，所以，与矛盾；所以不存在实数a，使得的值域为R；

由①可知，当时，函数值域不为R；当时，单减，最小值为，单增，且，所以函数值域不为R，综上③错误；

又关于轴的对称函数为，若，则，但指数函数的增长速度快于函数的增长速度，所以必存在，使得，即成立，所以④正确.

故答案为：①②④

15．为了评估某种治疗肺炎药物的疗效，现有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为，甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓度随时间变化的关系如下图所示．

给出下列四个结论：

① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同；

② 在时刻，甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率相同；

③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同；

④ 在,两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率不相同.

其中所有正确结论的序号是_____．

【答案】①③④

【解析】理解平均变化率和瞬时变换率的意义，结合图象，判断选项.

【详解】①在时刻，为两图象的交点，即此时甲、乙两人血管中的药物浓度相同，故①正确；②甲、乙两人在时刻的切线的斜率不相等，即两人的不相同，所以甲、乙两人血管中药物浓度的瞬时变化率不相同，故②不正确；③根据平均变换率公式可知，甲、乙两人的平均变化率都是，故③正确；④在时间段，甲的平均变化率是，在时间段，甲的平均变化率是，显然不相等，故④正确.

故答案为：①③④

【点睛】思路点睛：本题是一道识图的实际应用问题，判断的关键是理解两个概念，瞬时变化率和平均变化率，结合导数的几何意义可知瞬时变化率就是在此点处切线的斜率，平均变化率是.

五、解答题

16．设，其中．

(1)当时，求函数的图像与直线交点的坐标；

(2)若函数有两个不相等的正数零点，求a的取值范围；

(3)若函数在上不具有单调性，求a的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）联立方程直接计算；

（2）根据二次方程零点个数的判别式及函数值正负情况直接求解；

（3）根据二次函数单调性可得参数范围.

【详解】（1）当时，，

联立方程，解得：或，

即交点坐标为和.

（2）由有两个不相等的正数零点，

得方程有两个不等的正实根，，

即，解得；

（3）函数在上单调递增，在上单调递减；

又函数在上不具有单调性，

所以，即.

17．函数，其中．

(1)若，求的零点；

(2)若函数有两个零点，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）令，即可求解零点，

（2）令得，进而结合基本不等式即可求解.

【详解】（1）当时，，令，则，故，

所以的零点为.

（2）令，则，，故，

由于，所以，因此，由于，由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号，故，

所以的取值范围为

18．某渔业公司年初用98万元购进一艘渔船，用于捕捞．已知该船使用中所需的各种费用e（单位：万元）与使用时间n（，单位：年）之间的函数关系式为，该船每年捕捞的总收入为50万元．

(1)该渔船捕捞几年开始盈利（即总收入减去成本及所有使用费用为正值）？

(2)若当年平均盈利额达到最大值时，渔船以30万元卖出，则该船为渔业公司带来的收益是多少万元？

【答案】(1)该渔船捕捞3年开始盈利；

(2)万元.

【分析】（1）由题设可得，解一元二次不等式即可确定第几年开始盈利.

（2）由平均盈利额，应用基本不等式求最值注意等号成立条件，进而计算总收益.

【详解】（1）由题意，渔船捕捞的利润，解得，

又，，故，

∴该渔船捕捞3年开始盈利.

（2）由题意，平均盈利额，当且仅当时等号成立，

∴在第7年平均盈利额达到最大，总收益为万元.

19．已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；

（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.

【详解】（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）[方法一]：导数法

显然，因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

[方法二]【最优解】：换元加导数法

  ．

因为为偶函数，不妨设，，

令，则．

令，则面积为，只需求出的最小值．

．

因为，所以令，得．

随着a的变化，的变化情况如下表：

所以．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法三]：多元均值不等式法

同方法二，只需求出的最小值．

令，

当且仅当，即时取等号．

所以当，即时，．

因为为偶函数，当时，．

综上，当时，的最小值为32．

[方法四]：两次使用基本不等式法

同方法一得到

,下同方法一.

【整体点评】（Ⅱ）的方法一直接对面积函数求导数，方法二利用换元方法，简化了运算，确定为最优解；方法三在方法二换元的基础上，利用多元均值不等式求得最小值，运算较为简洁；方法四两次使用基本不等式，所有知识最少，配凑巧妙，技巧性较高.

20．已知函数的最小值为,其中.

(1)求的值;

(2)若对任意的,有成立,求实数的最小值;

【答案】(1)1；(2).

【分析】（1）先对函数求导，求出函数的单调区间，结合题中条件即可求出结果；

（2）先分析时，取，有，故不合题意；再分析时，构造函数，对函数求导，分类讨论和，即可求出结果.

【详解】(1)的定义域为,

由，得；

由得，

由得，

故函数在上单调递减，在上单调递增；

因此当时，，所有.

（2）当时，取，有，故不合题意；

当时，设

，令得或，

①当时，，当时，，因此函数在上单调递增，因此当时，，即有不成立，故不满足题意；

②当时，，在上恒成立，因此在上单调递减，从而对任意的，有有成立,故符合题意；

综上，实数的最小值为.

【点睛】本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性、最值等，属于常考题型.

21．设A是实数集的非空子集，称集合且为集合A的生成集．

(1)当时，写出集合A的生成集B；

(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；

(3)判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集，并说明理由．

【答案】(1)

(2)7

(3)不存在，理由见解析

【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解.

（2）设，且，利用生成集的定义即可求解；

（3）不存在，理由反证法说明.

【详解】（1），

（2）设，不妨设，

因为，所以中元素个数大于等于7个，

又，，此时中元素个数等于7个，

所以生成集B中元素个数的最小值为7.

（3）不存在，理由如下：

假设存在4个正实数构成的集合，使其生成集，

不妨设，则集合A的生成集

则必有，其4个正实数的乘积；

也有，其4个正实数的乘积，矛盾；

所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A，使其生成集

【点睛】关键点点睛：本题考查集合的新定义，解题的关键是理解集合A的生成集的定义，考查学生的分析解题能力，属于较难题.