2022-2023学年北京市第十四中学高二下学期期中测试数学试题含解析

2022-2023学年北京市第十四中学高二下学期期中测试数学试题

一、单选题

1．在等差数列中，若，，则（    ）

A．6 B．8 C．16 D．32

【答案】B

【解析】先求出公差，再利用等差数列的通项公式可得答案.

【详解】因为等差数列中，，，

所以公差，，

则，

故选：B.

2．与的等比中项是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由等比中项定义直接求解即可.

【详解】设为与的等比中项，则，解得：.

故选：C.

3．下图是函数的图象，函数在区间，上的平均变化率分别为，，则，的大小关系是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】B

【分析】根据平均变化率定义直接计算即可.

【详解】由题可知，，，

所以.

故选：B

4．设等比数列{an}的前n项和是Sn，a2＝﹣2，a5＝﹣16，则S6＝（　　）

A．﹣63 B．63 C．﹣31 D．31

【答案】A

【解析】由已知结合等比数列的通项公式可求出公比和首项，结合等比数列的求和公式即可求出.

【详解】解：设公比为，则，即，解得，所以，

所以，

故选:A.

5．下列求导运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用常见函数的导数，对选项进行逐一求导即可.

【详解】选项A. ,故选项A不正确.

选项B. ,故选项B不正确.

选项C. ,故选项C不正确.

选项D. ,故选项D正确.

故选：D

6．已知数列中，，是数列的前项和，则最大值时的值为（   ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】B

【分析】首先表示出，再根据二次函数的性质计算可得；

【详解】解：因为，所以

所以当时取最大值，且；

故选：B

7．口袋中装有大小形状相同的红球3个，白球3个，小明从中不放回的逐一取球，已知在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为（    ）

A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.75

【答案】C

【分析】求出第一次取得红球的事件、第一次取红球第二次取白球的事件概率，再利用条件概率公式计算作答.

【详解】记“第一次取得红球”为事件A，“第二次取得白球”为事件B，则，

，于是得，

所以在第一次取得红球的条件下，第二次取得白球的概率为0.6.

故选：C

8．等比数列各项均为正数，且，，成等差数列，则（    ）

A． B．

C． D．或

【答案】C

【分析】根据条件，运用等比数列公式求解.

【详解】设等比数列的首项为，公比为，则有 ，

成等差数列，，即或（舍），

；

故选：C.

9．已知等比数列的公比为q，则“”是“”的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】根据充分必要条件的定义求解.

【详解】如果 ，比如 ，则 ，

即不能推出，不是充分条件；

如果 ，比如也满足上式，

即不能推出 ，不是必要条件；

故选：D.

10．用数学归纳法证明时，由到时，不等式左边应添加的项是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别写出不等式在n＝k，n＝k+1时的式子，两式相减，即可得到所求结论．

【详解】当n＝k时，有不等式，

当n＝k+1时，不等式为，

将上面两式的左边相减可得，由n＝k到n＝k+1时，不等式左边应添加的项是.

故选：D

【点睛】本题考查数学归纳法的运用，考查由n＝k到n＝k+1时，不等式的左边的变化，考查运算能力，属于基础题．

11．对于数列，，，，则（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】A

【分析】根据递推公式，先求出的周期，再求出即可.

【详解】由题意， ，

，所以数列是周期为6的周期数列，

，；

故选：A.

12．原始的蚊香出现在宋代．根据宋代冒苏轼之名编写的《格物粗谈》记载：“端午时，贮浮萍，阴干，加雄黄，作纸缠香，烧之，能祛蚊虫．”如图，为某校数学兴趣小组用数学软件制作的“螺旋蚊香”，画法如下：在水平直线上取长度为的线段，做一个等边三角形，然后以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，再以点为圆心，为半径逆时针画圆弧，交线段的延长线于点，以此类推，当得到的“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，“螺旋蚊香”的总长度的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据画圆弧的规律：分别以、、为圆心，抽象半径长度的数列，明确圆弧与直线的交点情况，再根据当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，确定数列的项数，求得最后圆弧的半径即可.

【详解】当以为圆心，半径为：、、、、除起点外，与直线无交点，①，

当以为圆心，半径为：、、、、与直线有一个交点，②，

当以为圆心，半径为：、、、、除终点（即①的起点，点除外）外，与直线无交点，③，

所以当“螺旋蚊香”与直线恰有个交点时，若使“螺旋蚊香”的总长度最小，则完成整数个循环，

所以以为圆心的弧与直线只有交点，以为圆心的弧与直线有个交点，

以为圆心的弧与直线有个交点，即数列②有项，数列③有项，

所以最后一个圆弧的半径为，

所以“螺旋蚊香”的总长度的最小值为.

故选：B.

二、填空题

13．曲线在点处的切线斜率________．

【答案】3

【分析】求导，根据导数的几何意义求解.

【详解】，当时， ，即在点处切线的斜率为3；

故答案为：3.

14．等差数列的前项和为，已知，，则=______________.

【答案】14

【分析】应用等差数列前n项和公式可得，结合已知即可求.

【详解】由，可得.

故答案为：14

15．甲、乙两人向同一目标各射击一次，已知甲命中目标的概率为0.6，乙命中目标的概率为0.5，目标至少被命中1次的概率为________．

【答案】0.8/

【分析】先求两次都未命中目标的概率，然后由对立事件的概率公式可得.

【详解】记事件A：两次都未命中目标.

则

所以目标至少被命中1次的概率为.

故答案为：0.8

三、双空题

16．离散型随机变量的分布列如下表所示，________，________．

【答案】         

【分析】先利用分布列的性质求出，然后由数学期望和方差的计算公式求解即可．

【详解】解：由题意可得，，则，

所以，

．

故答案为：；．

四、填空题

17．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前n项积，则的最大值为______．

【答案】/1024

【分析】先求出的通项公式，先研究的，利用函数的性质即可求得最值，以及取得最值时的值，在求乘积.

【详解】因为数列为等比数列，，公比，所以，

所以，

先考虑时，

当时，最大，

即 ，解得：，

所以，当或时，最大， ，

当时，，所以则的最大值为.

故答案为：

18．设数列的前n项和为，若存在实数A，使得对于任意的，都有，则称数列为“T数列”．则以下为“T数列”的是________．

①数列是等差数列，且，公差；

②数列是等比数列，且公比q满足；

③；                     

④若，．

【答案】②③

【分析】对于①②③④中的数列，分别求前项和，判断是否存在实数，使得对任意的，都有，即可判断该数列是否为“数列”，即可得正确答案.

【详解】对于①：是等差数列，且，公差，由等差数列的前项和公式可得：，当无限大时，也无限大，所以数列不是 “数列”，故①不正确；

对于②：若是等比数列，且公比满足；所以，满足“数列”的定义，故②正确；

对于③：，

所以

，

则数列是“数列”，故③正确；

对于④：在数列中，，，

当是奇数时，，数列中的奇数项构成常数列，且各项都是，

当是偶数时，，即任意两个连续偶数和为，

当时，，所以不是“数列”，

综上所述为“数列”的是：②③，

故答案为：②③

五、解答题

19．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．

(1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；

【分析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；

（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.

【详解】（1）名同学中，会法语的人数为人，

从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；

选派的人中恰有人会法语的概率.

（2）由题意可知：所有可能的取值为，

；；

；；

的分布列为：

数学期望为

20．已知数列中，，且满足___________.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

从①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的问题中并作答.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）答案见解析，（2）答案见解析

【分析】（1）若选①，则可得数列是以2为公比的等比数列，从而可求出其通项，若选②，则数列是以2为公差的等差数列，从而可求出其通项，若选③，则可知数列为常数数列，且，

（2）若选①，则利用等比数列求和公式求，若选②或③，则利用分组求和法求

【详解】解：（1）若选①，由，得，

因为，所以数列是以2为公比，1为首项的等比数列，

所以，

若选②，因为，，

所以数列是以2为公差，1为首项的等差数列，

所以，

若选③，因为，，

所以，

（2）若选①，则由（1）得，则

，

若选②，则由（1）得，则

，

，

，

，

若选③，则由（1）得，则

，

，

，

，

21．2023年春节档有多部优秀电影上映，其中《流浪地球》是比较火的一部．某影评网站统计了100名观众对《流浪地球》的评分情况，得到如下表格：

(1)根据以上评分情况，试估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上（包括四星）的频率；

(2)以表中各评价等级对应的频率作为各评价等级对应的概率，假设每个观众的评分结果相互独立．

（ⅰ）若从全国所有观众中随机选取3名，求恰有2名评价为五星1名评价为一星的概率；

（ⅱ）若从全国所有观众中随机选取5名，记评价为五星的人数为，求的数学期望和方差．

【答案】(1)

(2)（ⅰ）；（ⅱ），.

【分析】（1）从表格中找出评价为四星和五星的人数之和，再除以总数可得出所求频率；

（2）（ⅰ）记事件恰有2名评价为五星1名评价为一星，然后利用独立重复试验的概率可求出事件的概率；

（ⅱ）由题意得出，然后利用二项分布的方差公式可得出、的值．

【详解】（1）由给出的数据可得，评价为四星的人数为，评价为五星的人数是，

故评价在四星以上(包括四星)的人数为，

故可估计观众对《流浪地球》的评价在四星以上(包括四星)的频率为；

（2）(i)依题意评价为五星的概率为，评价为一星的概率为，

记“恰有2名评价为五星1名评价为一星”为事件，

则；

（ⅱ）由题可知，故，.

22．已知数列的前n项和为,（n∈N*）．

（1）证明数列是等比数列，求出数列的通项公式；

（2）数列中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出一组符合条件的项；若不存在，说明理由.

【答案】(1)证明见解析，；(2)不存在

【分析】(1)由可求出、以及，即可证明数列是等比数列，进而写出的通项公式；

(2)假设数列中存在三项构成等差数列：，、、，由等差中项性质，结合(1)的通项公式有即出现矛盾，即不存在

【详解】(1)当时，，即

当时，，即

所以数列是首项为6，公比为2的等比数列

∴数列的通项公式为

(2)若存在，令，、、三项成等差数列

∴，即，

∵，即，且、

∴是偶数，而是奇数，故不成立

故数列中不存在三项构成等差数列

【点睛】本题考查了利用与的关系式求数列通项公式，注意时，求通项公式时需要验证是否也符合公式；应用等差中项的性质证法证明数列中三项构成等差数列的存在性.

23．若集合（）满足：对任意（），均存在（），使得，则称具有性质．

(1)判断集合，是否具有性质；（只需写出结论）

(2)已知集合（）具有性质．

（）求；

（）证明：．

【答案】(1)集合具有性质；集合不具有性质；

(2)（）；（）证明见解析.

【分析】(1)判断集合是否具有性质P，只要找出一个反例就可以说明不具备性质P；

(2)（）由积为零，可以得到至少有一个因式为零；

（）找出与的关系即可.

【详解】（1）集合具有性质；

集合不具有性质，只需要找到一个反例即可，如 ．

（2）（）取，由题知，存在（），使得成立，即，

又，故必有．

又因为，所以．

（）由（）得，当时，存在（）使得成立，又因为，故，即．所以．

又，所以，

故，

相加得：

，即．