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    2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

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    这是一份2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题含解析,共16页。试卷主要包含了单选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1.已知数列为等差数列,若,则公差等于(    A3 B C2 D【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式直接求解即可.【详解】由等差数列的通项公式可得所以.故选:C.2.已知等比数列的公比为q,前n项和为.若,则    A1 B2 C3 D4【答案】B【分析】根据等比数列通项公式将展开计算即可.【详解】,解得.故选:B.3.已知函数,则函数的最小值为(    A B1 C D【答案】B【分析】利用导数求出的单调区间,从而可得函数的最小值.【详解】函数的定义域为,且,令,可得.时,,函数单调递减;时,,函数单调递增..故选:B.4函数的单调递减区间是    A B C D【答案】C【分析】由题意,可得和定义域,由,即可求解函数的递减区间.【详解】由题意,可得,即,解得,即函数的递减区间为.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间,其中根据函数的解析式求得函数的导数,利用求解,同时注意函数的定义域是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.5.函数的零点个数为(    A0 B1 C2 D3【答案】B【分析】利用导数求函数的单调性,易知0是函数的零点,从而可求解.【详解】,函数的定义域为,故函数上单调递增.,所以函数的零点个数为.故选:B.6.设曲线在点处的切线与直线垂直,则A2 B C D【答案】D【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D 7.如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为,则导函数的图像大致 (  )A BC D【答案】A【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除C总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B考察A. D的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,产生中断,选择A.故选A. 8.设等比数列的前n项和为,则的(    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合等比数列的求和公式分析判断即可.【详解】若公比,则当时,成立,时,则,则因为同号,所以当时,成立,时,成立,所以的充分必要条件,故选:C.9.已知函数,当时,下列关系正确的是(    ABCD【答案】A【分析】利用导数明确函数单调性,结合自变量的大小关系即可得到结果.【详解】由题意得,当时,,所以上单调递增.,所以上单调递增,可知当时,,所以综上,故选:A10.对任意,若递增数列中不大于的项的个数恰为m,且,则n的最小值为(    A10 B9 C8 D7【答案】C【分析】先由条件得出,进而结合等差数列前n项和列出不等式,解不等式即可.【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知,故,解得,故的最小值为10.故选:C.【点睛】关键点点睛:根据递增数列中不大于的项的个数恰为m,得出是解决本题的关键. 二、填空题11.已知函数,则________【答案】【分析】根据复合函数的求导公式直接求解.【详解】,所以.故答案为:.12.已知数列的前n项和为,若,则________【答案】5【分析】根据的关系可得,且,可得数列的周期为2,从而可求解.【详解】中,令可得,即.时,①-②,即③,所以④.④-③,,所以数列的周期为2所以.故答案为:5.13.用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱,需用铁皮的面积至少为_____.(注:铁皮厚度不计,接缝处损耗不计)【答案】【分析】设该正四棱柱形水箱底面边长为,需用铁皮的面积为,则处理方法一:利用导数求函数最值;处理方法二:三元均值不等式.【详解】解:设该正四棱柱形水箱底面边长为,则高为,设需用铁皮的面积为处理方法一:求导时,时,所以函数在区间单调递减,在区间单调递增,时,函数取得最小值,最小值为12即需用铁皮的面积至少为处理方法二:三元均值不等式,即时,不等式等号成立.即需用铁皮的面积至少为故答案为:.14.已知函数在区间的极小值也是最小值,则n的取值范围是________【答案】【分析】利用导数求出函数的单调性,可得的极小值为,又,数形结合即可求解.【详解】时,,函数单调递增,当时,,函数单调递减,当,函数单调递增.所以的极小值为,又作出的大致图象如图所示:因为函数在区间的极小值也是最小值,由图可知.n的取值范围是.故答案为:.15.已知an(n∈N*),记数列{an}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N* k≥3n6恒成立,则实数k的取值范围是__【答案】【详解】解:数列3项单调递增,从第3项起单调递减,时,数列有最大值故答案为:【解析】1.等比数列;2.数列的最值.16.已知数列满足,给出下列四个结论:数列的前n项和数列的每一项都满足数列的每一项都满足存在,使得成立.其中,所有正确结论的序号是________【答案】②③【分析】通过递推公式,判断出数列单调性,由此得到数列的取值范围,根据取值范围对②③④进行判断,算出即可判断①.【详解】错误;为单调递减数列,又因为,所以,所以正确;可得,即,两边同时除以,可得:累加可得,即有时,,所以错误;,满足可知,且时,可得,则,故正确.故答案为:②③.【点睛】思路点睛:数列中出现大小比较时,若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系,常见思路为对数列进行放缩,通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较. 三、解答题17.已知数列的前n项和为,且满足(1)成等比数列,求m的值;(2),求数列的前n项和【答案】(1)(2). 【分析】1)由题意是公差为2的等差数列,根据已知求并写出通项公式,再根据等比中项性质列方程求参数;2)由(1)得,应用分组求和,结合等差等比前n项和公式求.【详解】1)由题设,故是公差为2的等差数列,所以,即,得所以,又,则,即.2)由(1)知:所以.18.已知函数,其中(1)时,求函数的极小值;(2)求函数的单调区间;(3)证明:当时,函数有且仅有一个零点.【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【分析】1)求导,求出函数的单调区间,再根据极小值的定义即可得解;2)求导,再分三种情况讨论,即可得解;3)由(2)得当时,上单调递增,在上单调递减,则函数的极大值为,再利用导数证明极大值即可得证.【详解】1)当时,时,,当时,所以函数上单调递增,在上单调递减,所以函数的极小值为2,得时,,则函数上单调递增,时,时,时,所以上单调递增,在上单调递减,时,时,时,所以上单调递增,在上单调递减,综上所述,当时,的单调增区间为,无单调减区间;时,的单调增区间为,减区间为时,的单调增区间为,减区间为3)由(2)得当时,上单调递增,在上单调递减,则函数的极大值为极小值为,则所以上单调递增,所以所以当时,又当时,,当时,如图,作出函数的大致图象,由图可得函数有且仅有一个零点.【点睛】方法点睛:利用导数求解函数单调区间的基本步骤:1)求函数的定义域;2)求导数3)解不等式,并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间;解不等式,并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.19.已知函数(1)时,求曲线在点处的切线方程;(2)若函数上存在单调递减区间,求a的取值范围;(3)若函数的最小值为,求a的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】1)求导,再根据导数的几何意义即可得解;2)求导,由函数上存在单调递减区间,可得上有解,即上有解,从而可得出答案;3)先利用导数分两种情况讨论,求出函数的单调区间,进而可求得函数的最小值,再结合题意即可得出答案.【详解】1)当时,,则所以曲线在点处的切线方程为,即2因为函数上存在单调递减区间,所以上有解,上有解,所以,解得所以a的取值范围为3)设时,恒成立,恒成立,上单调递增,函数没有最小值,时,解得时,单调递增,时,单调递减,时,单调递增,时,取得极大值,时,取得极小值,时,,则函数的最小值为函数的最小值只能在处取得,,,则所以函数上单调递增,所以,解得.【点睛】结论点睛:利用函数的单调性求参数,可按照以下原则进行:1)函数在区间上单调递增在区间上恒成立;2)函数在区间上单调递减在区间上恒成立;3)函数在区间上不单调在区间上存在异号零点;4)函数在区间上存在单调递增区间,使得成立;5)函数在区间上存在单调递减区间,使得成立.20.在无穷数列中,,对于任意,都有.设,记使得成立的n的最大值为(1)设数列,写出的值;(2)为等差数列,求出所有可能的数列(3),求的值.(用pqA表示)【答案】(1)(2)(3) 【分析】1)根据使得成立的的最大值为,结合数列,分析即可;2)若为等差数列,先判断,再证明,即可求出所有可能的数列3)确定,依此类推,发现规律,得出,从而求出 的值.【详解】1)由使得成立的的最大值为,数列,则,则,则,则所以2)由题意,得结合条件,得又因为使得成立的的最大值为,使得成立的的最大值为所以.,则假设,即则当时,,当时,所以因为为等差数列,所以公差所以,其中这与矛盾,所以又因为所以为等差数列,得,其中因为使得成立的的最大值为所以,得3)设因为所以,且 所以数列中等于1的项有个,即个,,且所以数列中等于2的项有个,即个, 以此类推,数列中等于的项有.所以.【点睛】关键点点睛:本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起,理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键. 

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