2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市一零一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知数列为等差数列，若，，则公差等于（    ）A．3 B． C．2 D．【答案】C【分析】根据等差数列的通项公式直接求解即可.【详解】由等差数列的通项公式可得，所以.故选:C.2．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据等比数列通项公式将展开计算即可.【详解】，解得.故选：B.3．已知函数，则函数的最小值为（    ）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】利用导数求出的单调区间，从而可得函数的最小值.【详解】函数的定义域为，且，令,可得.当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.故.故选:B.4．函数的单调递减区间是    A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意，可得和定义域，由，即可求解函数的递减区间.【详解】由题意，可得，令，即，解得，即函数的递减区间为.【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中根据函数的解析式求得函数的导数，利用求解，同时注意函数的定义域是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.5．函数的零点个数为（    ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】利用导数求函数的单调性，易知0是函数的零点，从而可求解.【详解】记，函数的定义域为，，故函数在上单调递增.又，所以函数的零点个数为.故选:B.6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则A．2 B． C． D．【答案】D【详解】,直线的斜率为-a.所以a=-2, 故选D 7．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t时刻五角星露出水面部分的图形面积为，则导函数的图像大致 （　 ）A． B．C． D．【答案】A【详解】最初零时刻和最后终点时刻没有变化，导数取零，排除C；总面积一直保持增加，没有负的改变量，排除B；考察A. D的差异在于两肩位置的改变是否平滑，考虑到导数的意义，判断此时面积改变为突变，产生中断，选择A.故选A. 8．设等比数列的前n项和为，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的求和公式分析判断即可.【详解】若公比，则当时，成立，当时，则，若，则，因为与同号，所以当时，成立，当时，成立，所以“”是“”的充分必要条件，故选：C.9．已知函数，当时，下列关系正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用导数明确函数单调性，结合自变量的大小关系即可得到结果.【详解】由题意得，当时，，所以在上单调递增．又，所以．由在上单调递增，可知当时，，所以．综上，．故选：A10．对任意，若递增数列中不大于的项的个数恰为m，且，则n的最小值为（    ）A．10 B．9 C．8 D．7【答案】C【分析】先由条件得出，进而结合等差数列前n项和列出不等式，解不等式即可.【详解】由递增数列中不大于的项的个数恰为可知，又，故，即，解得或，又，故的最小值为10.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据递增数列中不大于的项的个数恰为m，得出是解决本题的关键. 二、填空题11．已知函数，则________．【答案】【分析】根据复合函数的求导公式直接求解.【详解】,所以.故答案为:.12．已知数列的前n项和为，若，则________．【答案】5【分析】根据与的关系可得，且，可得数列的周期为2，从而可求解.【详解】在①中，令可得，即.当时，②，①-②，，即③,所以④.④-③,得，所以数列的周期为2，所以.故答案为：5.13．用铁皮围成一个容积为的无盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____．（注：铁皮厚度不计，接缝处损耗不计）【答案】【分析】设该正四棱柱形水箱底面边长为，需用铁皮的面积为，则，处理方法一：利用导数求函数最值；处理方法二：三元均值不等式．【详解】解：设该正四棱柱形水箱底面边长为，则高为，设需用铁皮的面积为，则，处理方法一：求导由得，当时，，当时，，所以函数在区间单调递减，在区间单调递增，当时，函数取得最小值，最小值为12，即需用铁皮的面积至少为．处理方法二：三元均值不等式，当，即时，不等式等号成立．即需用铁皮的面积至少为．故答案为：.14．已知函数在区间的极小值也是最小值，则n的取值范围是________．【答案】【分析】利用导数求出函数的单调性，可得的极小值为，又，数形结合即可求解.【详解】，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增.所以的极小值为，又，作出的大致图象如图所示：因为函数在区间的极小值也是最小值，由图可知.故n的取值范围是.故答案为:.15．已知an＝(n∈N*)，记数列{an}的前n项和为Tn，若对任意的n∈N*， k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是__．【答案】【详解】解：，，，，，，数列前3项单调递增，从第3项起单调递减，当时，数列有最大值，故．故答案为：．【解析】1．等比数列；2．数列的最值．16．已知数列满足，，给出下列四个结论：①数列的前n项和；②数列的每一项都满足；③数列的每一项都满足；④存在，使得成立．其中，所有正确结论的序号是________．【答案】②③【分析】通过递推公式，判断出数列单调性，由此得到数列的取值范围，根据取值范围对②③④进行判断，算出即可判断①.【详解】，，，，①错误；，为单调递减数列，又因为，所以，所以，②正确；由可得，即，又，两边同时除以，可得：，，… ，，累加可得，即有，当时，，所以，④错误；，，，满足；由④可知，且时，，可得，则，故③正确.故答案为：②③.【点睛】思路点睛：数列中出现大小比较时，若通过原数列或者构造新数列不能找到大小关系，常见思路为对数列进行放缩，通过将数列放缩为一个简单的通项公式再进行大小比较. 三、解答题17．已知数列的前n项和为，且满足．(1)若成等比数列，求m的值；(2)设，求数列的前n项和．【答案】(1)；(2). 【分析】（1）由题意是公差为2的等差数列，根据已知求并写出通项公式，再根据等比中项性质列方程求参数；（2）由（1）得，应用分组求和，结合等差等比前n项和公式求.【详解】（1）由题设，故是公差为2的等差数列，所以，即，得，所以，又，则，即.（2）由（1）知：，所以.18．已知函数，其中．(1)当时，求函数的极小值；(2)求函数的单调区间；(3)证明：当时，函数有且仅有一个零点．【答案】(1)(2)答案见解析(3)证明见解析 【分析】（1）求导，求出函数的单调区间，再根据极小值的定义即可得解；（2）求导，再分，和三种情况讨论，即可得解；（3）由（2）得当时，在上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，再利用导数证明极大值即可得证.【详解】（1）当时，，，当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数的极小值为；（2），令，得，当时，，则函数在上单调递增，当时，或时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，当时，或时，，时，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间；当时，的单调增区间为，减区间为；当时，的单调增区间为，减区间为；（3）由（2）得当时，在上单调递增，在上单调递减，则函数的极大值为，极小值为，令，则，所以在上单调递增，所以，所以当时，，又当时，，当时，，如图，作出函数的大致图象，由图可得函数有且仅有一个零点．【点睛】方法点睛：利用导数求解函数单调区间的基本步骤：（1）求函数的定义域；（2）求导数；（3）解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调增区间；解不等式，并与定义域取交集得到的区间为函数的单调减区间.19．已知函数，．(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若函数在上存在单调递减区间，求a的取值范围；(3)若函数的最小值为，求a的值．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解；（2）求导，由函数在上存在单调递减区间，可得在上有解，即在上有解，从而可得出答案；（3）先利用导数分和两种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可求得函数的最小值，再结合题意即可得出答案.【详解】（1）当时，，则，故，所以曲线在点处的切线方程为，即；（2），因为函数在上存在单调递减区间，所以在上有解，即在上有解，所以，解得，所以a的取值范围为；（3）设，①当时，，恒成立，∴恒成立，在上单调递增，函数没有最小值，②当时，，令得，解得，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴当时，取得极大值，当时，取得极小值，∴当时，，∴，则，又∵函数的最小值为，∴函数的最小值只能在处取得，则,∴，令，则，所以函数在上单调递增，所以，解得.【点睛】结论点睛：利用函数的单调性求参数，可按照以下原则进行：（1）函数在区间上单调递增在区间上恒成立；（2）函数在区间上单调递减在区间上恒成立；（3）函数在区间上不单调在区间上存在异号零点；（4）函数在区间上存在单调递增区间，使得成立；（5）函数在区间上存在单调递减区间，使得成立.20．在无穷数列中，，对于任意，都有，．设，记使得成立的n的最大值为．(1)设数列为，写出，，，的值；(2)若为等差数列，求出所有可能的数列；(3)设，，求的值．（用p，q，A表示）【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根据使得成立的的最大值为，结合数列为，分析即可；（2）若为等差数列，先判断，再证明，即可求出所有可能的数列；（3）确定，，依此类推，发现规律，得出，从而求出 的值．【详解】（1）由使得成立的的最大值为，数列为，得，则，，则，，则，，则，所以；（2）由题意，得，结合条件，得，又因为使得成立的的最大值为，使得成立的的最大值为，所以，.，设，则，假设，即，则当时，，当时，，所以，，因为为等差数列，所以公差，所以，其中，这与矛盾，所以，又因为，所以，由为等差数列，得，其中，因为使得成立的的最大值为，所以，由，得；（3）设，因为，所以，且 ，所以数列中等于1的项有个，即个，设，则，且，所以数列中等于2的项有个，即个， 以此类推，数列中等于的项有个.，所以，即.【点睛】关键点点睛：本题巧妙得将数列和不等关系融合在一起，理解题目所表达得具体含义是解决本题得关键.