2022-2023学年福建省南平市高级中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省南平市高级中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据一元二次不等式的解法求得集合，再由集合交集的运算即可求解.

【详解】集合，集合，

则，

故选：D.

2．若离散型随机变量X服从两点分布，且，，则（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】C

【分析】根据两点分布的方差公式求解．

【详解】由题意，解得或．

故选：C．

3．已知随机变量，且，则（    ）

A．0.3 B．0.4 C．0.85 D．0.7

【答案】D

【分析】根据正态分布的性质求解即可．

【详解】由已知，，则，

故选：D

4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（    ）

A．480 B．960 C．1080 D．1440

【答案】B

【分析】先用捆绑法再用插空法计算.

【详解】现将4个不同造型的“冰墩墩”排好，有 种排法，排好后包括左右两边有5个空，

再将“雪容融”甲和“雪容融”乙捆绑，有 种方法，将捆绑后的“雪容融”与“雪容融”丙分别插入前面的5个空中，有 种方法；

所以总的排列方法数为： ；

故选：B.

5．的展开式中，的系数为（    ）

A．145 B．144 C．81 D．1

【答案】A

【分析】写出的展开式通项公式，计算，然后由多项式乘法法则得的系数．

【详解】的展开式通项公式为，

，

所以的展开式中，的系数为：

．

故选：A．

6．设随机变量的分布列如下

其中构成等差数列，则的（    ）

A．最大值为 B．最大值为

C．最小值为 D．最小值为

【答案】B

【解析】根据随机变量的分布列的概率和是1和等差数列的性质，得到，利用基本不等式可求得答案.

【详解】，，，

当且仅当时取等，

故选：B.

【点睛】本题主要考查随机变量的分布列的性质、等差数列的性质及基本不等式求最值的问题，涉及的知识点比较多.

7．抛掷三枚质地均匀的硬币一次，在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题可知，抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，分别求出“有一枚正面朝上”和“三枚都正面朝上”的概率，最后根据条件概率的计算公式，即可求出结果.

【详解】解：根据题意，可知抛掷三枚硬币，则基本事件共有8个，

其中有一枚正面朝上的基本事件有7个，

记事件为“有一枚正面朝上”，则，

记事件为“另外两枚也正面朝上”，

则为“三枚都正面朝上”，故，

故.

即在有一枚正面朝上的条件下，另外两枚也正面朝上的概率是.

故选：C.

【点睛】本题考查条件概率的计算公式的应用，考查分析和计算能力．

8．，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】构造函数，由导数确定单调性比较的大小后可得结论．

【详解】设，则，

时，，单调递减，

，则，

所以，即，，

所以，即．

故选：D．

二、多选题

9．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】利用基本不等式及重要不等式，结合指数的运算、对数的运算和对数函数的性质即可求解.

【详解】对于A,因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故A错误；

对于B，因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故B正确；

对于C，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故C正确；

对于D，因为，所以，即，当且仅当时，等号成立，故D正确.

故选：BCD.

10．已知，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AD

【分析】利用赋值法可判断选项ABD，由展开式的通项公式可判断选项C.

【详解】因为，令，得，故A正确；

令，得，所以，故B错误；

展开式的通项为，令，得，所以，故C错误；

令，得，所以，所以，所以，故D正确.

故选：AD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．若样本数据的方差为4，则数据的方差为9

B．若随机变量，，则

C．若线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越弱

D．若事件A，B满足，，，则有

【答案】BD

【分析】A选项，根据方差的线性运算性质，计算即可；B选项，根据正太分布曲线可求得；C选项相关系数越接近1，相关性越强；D选项，，则两事件相互独立，根据条件概率的计算公式可以求得.

【详解】由于，所以数据的方差为16，因此选项A错误；

随机变量，，

则，因此选项B正确；

线性相关系数越接近1，则两个变量的线性相关性越强，故选项C错误；

由于等价于“事件A与事件B相互独立”，即，故必有.因此选项D正确.

故选：BD.

12．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件､存在如下关系：.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（    ）

A．第二天去甲餐厅的概率为0.54

B．第二天去乙餐厅的概率为0.44

C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为

D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为

【答案】AC

【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.

【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，

:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，

所以，，，

因为，

所以，

所以有,

因此选项A正确, ，因此选项B不正确；

因为，所以选项C正确；

，所以选项D不正确，

故选：AC

三、填空题

13．已知，且“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围是___________.

【答案】

【分析】先确定的充要条件，再由充分不必要条件的定义求解，

【详解】等价于或，

而且“”是“”的充分不必要条件，则．

故答案为：．

14．浙大附中高二年级某班元旦活动有唱歌､跳舞､小品､相声､朗诵､游戏六个节目制成一个节目单，其中游戏不安排在第一个，唱歌和跳舞相邻，则不同的节目单顺序有___________种（结果用数字作答）

【答案】

【分析】根据唱歌和跳舞相邻和游戏不安排在第一个，先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，然后将游戏进行插空即可求解.

【详解】先将唱歌和跳舞进行捆绑看作一个与除游戏外的三个进行全排，则有种排法，然后

将游戏插入这4个排好的空中（不排第一个），有种，

由于唱歌和跳舞的位置可以互换，所以不同的节目单顺序有种，

故答案为：.

15．设随机变量X的分布列为，若，则实数a的取值范围为______．

【答案】

【分析】求出，即得解.

【详解】解：因为，

所以，，，．

又，

又，所以．

故答案为：.

四、双空题

16．近年来，我国外卖业发展迅猛，外卖小哥穿梭在城市的大街小巷成为一道道亮丽的风景线.他们根据外卖平台提供的信息到外卖店取单.某外卖小哥每天来往于10个外卖店（外卖店的编号分别为1，2，…，10），约定：每天他首先从1号外卖店取单，叫做第1次取单，之后，他等可能的前往其余9个外卖店中的任何一个店取单叫做第2次取单，依此类推.假设从第2次取单开始，他每次都是从上次取单的店之外的9个外卖店取单，设事件{第次取单恰好是从1号店取单}，是事件发生的概率，显然，，则______，______（第二空精确到0.01）.

【答案】          0.10

【分析】由可求出，可得，依次推导即可求出.

【详解】，

因为，

所以，

以此类推，可得

……

.

故答案为：；0.10.

五、解答题

17．已知集合

（1）若，求实数m的取值范围.

（2）命题q：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1），分B为空集和B不是空集两种情况讨论求解即可；

（2）由，使得，可知B为非空集合且，然后求解的情况，求出m的范围后再求其补集可得答案

【详解】解：（1）①当B为空集时，成立.

②当B不是空集时，∵，，∴

综上①②，.

（2），使得，∴B为非空集合且.

当时，无解或，，

∴.

18．二项式展开式前三项的二项式系数和为22；

(1)求的值；

(2)求展开式中二项式系数最大的项；

(3)求展开式中的常数项．

【答案】(1)6

(2)

(3)960

【分析】（1）根据前三项的二项式系数和得到方程，求出；（2）在第一问求出的基础上，求出展开式中二项式系数最大的项为第4项，根据通项公式求出答案；（3）根据展开式通项公式得到.

【详解】（1）∵展开式前三项的二项式系数和为22，

∴，

∴，

∴或（舍）

故的值为6

（2）由题可得：展开式中最大的二项式系数为，

∴展开式中二项式系数最大的项为第4项，即

（3）设展开式中常数项为第项，即，

令，则，

∴，

故展开式中的常数项为第5项，即960

19．为了解某工业园中员工的颈椎疾病与工作性质是否有关，在工业园内随机的对其中50名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调查，得到如下的列联表.

已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患有颈椎疾病的人的概率为.

(1)①请完成上表；

②依据小概率值的独立性检验，分析患颈椎疾病与工作性质有关？

(2)已知在患有颈椎疾病的10名蓝领中，有3人工龄在15年以上，现在从患有颈椎疾病的10名蓝领中，选出3人进行工龄的调查，记选出工龄在15年以上的人数为，求的分布列及数学期望.

附：，其中，

【答案】(1)①列联表见解析；②依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的；

(2)0.9

【分析】（1）通过计算出相关数据，填写列联表，利用卡方公式计算其值，再与临界值表对照即可判断；

（2）通过分析得服从超几何分布，计算出分布列与期望即可.

【详解】（1）根据在全部50人中随机抽取1人患颈椎疾病的概率为，

可得患颈椎疾病的为30人，则白领中患有颈椎病的人数为人，

未患颈椎病的总人数为20人，则未患颈椎病得蓝领为15人，

故可得列联表如下：

因为，

即，

所以，

又，

所以，依据小概率值的独立性检验认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的．

（2）现在从患颈椎疾病的10名蓝领中，选出3名进行工龄的调查，

记选出工龄在15年以上的人数为，则．

故，，，，

则的分布列为：

则．

20．某中学在全校进行了一次爱国主义知识竞赛，共1000名学生参加，答对题数（共60题）分布如下表所示：

答对题数近似服从正态分布，为这1000人答对题数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表）．

(1)估计答对题数在内的人数（精确到整数位）；

(2)将频率视为概率，现从该中学随机抽取4名学生，记答对题数位于的人数为，求的分布列和数学期望．

附：若，则，，．

【答案】(1)954人

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）根据题意求出正态分布的均值，结合正态分布相关性质即可求解；

（2）先求出从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率，再根据二项分布相关知识求解即可.

【详解】（1）根据题意，可得

，

所以．

又因为，，

所以，所以人．

故答对题数在内的人数约为954人．

（2）从该中学随机抽取1名学生，答对题数位于的概率为.

由条件可知，的可能取值为0，1，2，3，4，

，

，

，

，

．

的分布列为

则．

21．《中共中央国务院关于全面推进乡村振兴加快农业农村现代化的意见》，这是21世纪以来第18个指导“三农”工作的中央一号文件.文件指出，民族要复兴，乡村必振兴，要大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台进行农产品销售，众多网红主播参与到直播当中，在众多网红直播中，统计了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，得到如图所示的散点图.

(1)利用散点图判断，和哪一个更适合作为观看人次x和销售量y的回归方程类型；（只要给出判断即可，不必说明理由）

(2)对数据作出如下处理：得到相关统计量的值如表：

其中令，.根据（1）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程，并预测当观看人次为280万人时的销售量；

(3)规定：观看人次大于等于120万人次的主播为优秀主播，从这10名主播中随机抽取3名，记其中优秀主播的人数为，求的分布列和数学期望.

参考数据和公式：，

附：对于一组数据，，…，，其回归线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】(1)更适合

(2)，43600件

(3)分布列见解析，

【分析】（1）观察散点图，根据散点的分布规律判断应采用的模型；

（2）令，先求y与的线性回归方程，由此可得y与的回归方程，再利用回归方程预测；

（3）确定随机变量的的可能取值，再求取各值的概率，由此可得的分布列，利用均值公式求其期望.

【详解】（1）由散点图可知，散点分布在一条对数型曲线附近，

所以选择回归方程更适合；

（2）令，则，

因为，，

所以，

又，，

所以，

所以y与的线性回归方程为，

故y关于x的回归方程为.

令，代入回归方程可得（千件），

所以预测观看人次为280万人时的销售量约为43600件.

（3）由散点图可知，这10名主播中，优秀主播的个数有4个，

所以X的可能取值为0，1，2，3，

所以，，

，，

所以X的分布列为：

数学期望.

22．某学校为了迎接党的二十大召开，增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛.现有两组党史题目放在甲､乙两个纸箱中，甲箱有5个选择题和3个填空题，乙箱中有4个选择题和3个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答.每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中.

(1)如果第一支部从乙箱中抽取了2个题目，求第2题抽到的是填空题的概率；

(2)若第二支部从甲箱中抽取了2个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目.已知第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题，求第二支部从甲箱中取出的是2个选择题的概率.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，分别求出概率，根据全概率公式即可

（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，则､､彼此互斥，求出相关的概率，

再根据条件概率求解即可.

【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，2，

，，

由全概率公式得：第2次抽到填空题的概率为：

；

（2）设事件 为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，

事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，

则､､彼此互斥，且，

，

，

，

，

，

，

所求概率即是发生的条件下发生的概率：.