2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高二下学期期中考试数学试题含解析

2022-2023学年福建省莆田第二十五中学高二下学期期中考试数学试题

一、单选题

1．已知定义在［0，3］上的函数的图像如图，则不等式＜0的解集为（    ）

A．(0，1) B．(1，2)

C．(2，3) D．(0，1)(2，3)

【答案】B

【分析】根据函数的导数与函数的单调性的关系即得结论．

【详解】由图象知在上是减函数，所以的解集是．

故选：B．

2．若二次函数的图像都在轴下方，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】二次函数必须满足二次项系数，其次恒成立可利用二次不等式在上恒成立的处理方法来做即可.

【详解】由于是二次函数，则二次项系数，依题意，对于恒成立，则二次函数开口必然向下，且和轴没有交点，即，解得.

故选：A

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若，则下列命题正确的是（    ）

A．若且，则

B．若，则

C．若且，则

D．若，则

【答案】C

【分析】对A,B,D举反例，对C利用不等式的基本性质判断即可.

【详解】对A，当时，，故错误；

对B，当，时，，故错误；

对C，，，则，，则，故C正确；

对D，当，满足前提，但此时，，，故错误.

故选：C.

4．设，则“”是“”的（    ）

A．充分必要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】由得到或，再利用充分条件和必要条件的定义求解.

【详解】由可得，所以，或，

所以“”等价于“，或”，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：C.

5．在空间，已知，为单位向量，且，若，，，则实数k的值为（    ）

A．－6 B．6

C．3 D．－3

【答案】B

【分析】由和的数量积为0，解出k的值.

【详解】由题意可得，，，

所以，即2k－12＝0，得k＝6.

故选：B.

6．已知，则的值等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】运用诱导公式结合条件即得.

【详解】因为，

所以，

故选：A.

7．已知函数的大致图象如图所示，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据图形，结合函数的单调性和极值点的概念以及韦达定理，计算即可求解.

【详解】由图可知，函数有两个递增区间，一个递减区间，

所以函数图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，

故；

又函数的极大值点在y轴左侧，极小值点在y轴右侧，且极大值点离y轴较近，

所以方程的两根满足，

即，得，

因此.

故选；B.

8．甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球.用分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（    ）

A．两两不互斥 B．

C．与B是相互独立事件 D．

【答案】B

【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解

【详解】对于A，由题意可知，，不可能同时发生，

所以，，两两互斥，所以A不正确；

对于B，由题意可得，

所以，所以B正确；

对于C，因为，，，

所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误；

对于D，由C选项可知D是错误的.

故选：B.

二、多选题

9．（多选题）函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是 （    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】结合图象，分和两种情况求函数的解析式，再合并为函数绝对值的函数解析式.

【详解】结合图象可知，当x≤0时，设，将代入函数，

得，，同理，当x>0时，，

所以，即.

故选：AC

10．设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有（    ）

A． B．

C．  D．

【答案】BCD

【分析】令，并以它们为邻边作平行六面体，再确定，对应的线段，判断线段是否共面，即可判断各组向量是否可作为基底.

【详解】如图所示，令，则，又，

由A、B1、C、D1四点不共面知：向量不共面，

同理和也不共面.

故选：BCD

11．下列说法中正确的有（    ）

A．设函数，则3

B．若，则

C．若，则；

D．已知函数，若，则实数的取值范围为

【答案】ABC

【分析】由函数的解析式代入计算可判断A；利用导数的运算法则求解可判断B，C；由题意得，结合函数的单调性解得不等式可判断D.

【详解】函数，则，故A正确；

若，则 ，故B正确；

若，则，故C正确；

已知函数，则，故在上单调递增，又，由得，所以，解得，故D错误.

故选：ABC.

12．正方体的棱长为1，为侧面上的点，为侧面上的点，则下列判断正确的是（    ）

A．若，则到直线的距离的最小值为

B．若，则，且直线平面

C．若，则与平面所成角正弦的最小值为

D．若，，则，两点之间距离的最小值为

【答案】BD

【分析】由已知可推得为以点为圆心，为半径的圆上.作图，即可根据圆的性质得出最小值，判断A项；先证明平面，结合，即可得出平面；建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，表示出，根据不等式的性质，即可判断C项；为直线与的公垂线段时，最小.设，且，，求出，即可根据投影向量，求出最小值.

【详解】对于A项，因为，所以在以为球心，为半径的球上.

又为侧面上的点，所以在球被平面截得的交线上.

因为，平面，，，所以，

所以，为以点为圆心，为半径的圆上.

如图1，，则，到直线的距离的最小值为，故A项错误；

对于B项，如图2，连结.

因为平面，平面，所以.

又，平面，平面，，

所以，平面.

又平面，所以.

同理可得，.

又平面，平面，，

所以，平面.

又，平面，所以直线平面，故B项正确；

对于C项，以点为坐标原点，分别以为轴的正方向，

如图3建立空间直角坐标系，则，，，，，，.

因为，设，，.

设是平面的一个法向量，

则，即，

取，则，是平面的一个法向量.

则，

又，当时，有最小值1，

所以，，即，

所以，与平面所成角正弦的最大值为，故C项错误；

对于D项，由C项知，，.

当，，即为直线与的公垂线段时，最小.

设，且，，

则，即，

取，则.

在方向上的投影向量的模为，

所以，，两点之间距离的最小值为，故D项正确.

故选：BD.

三、填空题

13．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是__．

【答案】

【分析】根据投影向量结合向量的坐标运算求解.

【详解】由题意可得：，

所以向量在向量上的投影向量为．

故答案为：.

14．奇函数f(x)是定义域为(－1，1)上的减函数，且f(2a－1)＋f(a－1)>0，则a的取值范围是________．

【答案】

【分析】首先利用奇函数的性质，不等式变形为，再结合函数的单调性，列不等式，即可求解.

【详解】f(x)为奇函数，f(2a－1)>－f(a－1)，

∴f(2a－1)>f(1－a)，，解得.

故答案为：

15．高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件甲和乙选择的景点不同，则条件概率__________．

【答案】

【分析】计算出事件、所包含的基本事件数，利用条件概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】对于事件，甲和乙至少一人选择廉村孤树，则其反面为“甲、乙两人均不选择廉村孤树”，

所以，，

对于事件，甲和乙中只有一人选择廉村孤树，另一个人选择其它村，

所以，，

因此，所求概率为.

故答案为：.

16．若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________．

【答案】

【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．

【详解】，，

设，则，

则，为奇函数，

又当时，，在上是减函数，

从而在上是减函数，

又,等价于，

即，，解得,

故的取值范围为，

故答案为：

【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.

四、解答题

17．已知函数在上单调递增，在上单调递减．

(1)求c的值；

(2)若恰有两个零点，求b的值．

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）由题知在处取极大值，进而根据求解即可；

（2）由，得或，进而将问题转化为在上有一个零点，再结合函数在上的单调性得，进而解方程即可得答案.

【详解】（1）由，得．

因为在上单调递增，在上单调递减．

所以在处取极大值，，

经检验时，符合题意，

故c的值为0．

（2）结合（1）可得．

令，解得或．

因为在上单调递增，在上单调递减，所以．

因为，，

所以在上有一个零点．

因为恰有两个零点，所以在上有一个零点．

因为当时，，当时，．

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以，解得．

故b的值为1．

18．在中，角的对边分别为，已知．

(1)求角；

(2)若，，求边上中线的长．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理化简得到，再由余弦定理求得的值，即可求解；

（2）由题意求得，得到，设的中点为，在中，利用余弦定理，即可求解.

【详解】（1）解：由题意知，

根据正弦定理，可得，即，

又由余弦定理得，

因为，故．

（2）解：由，，可得，所以，

设的中点为，

在中，由余弦定理可得，

故边上中线的长为.

19．如图，在直三棱柱中，点E，F分别是，中点，平面平面．

(1)证明：；

(2)若，平面平面，且，求直线l与平面所成角的余弦值．

【答案】(1)证明过程见详解

(2)

【分析】（1）取中点G，连接，，先证明四边形为平行四边形，再证明EF∥平面，再根据直线与平面平行的性质即可证明；

（2）根据题意先证明，，两两垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据求得的值，再利用线面角的向量求法即可求解．

【详解】（1）取中点G，连接，，

∵E，G分别是，中点，∴且，

又∵且，∴且，

∴四边形为平行四边形，∴，

又平面，平面，∴EF∥平面，

∵平面，平面平面，∴．

（2）由三棱柱为直棱柱，∴平面，∴，，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，∴，

故以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，

设，则，，，，

所以，，

又，则，解得，

所以，，则，，

设平面法向量为，

所以，即，取，得，

由（1）知直线，则l方向向量为，

设直线l与平面所成角为，

则，则，

所以直线l与平面所成角的余弦值为．

20．某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号．当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求．在某学期期末，校学生会为了调研学生对本校食堂的用餐满意度，从用餐的学生中随机抽取了200人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图如图．

(1)求得分的中位数（精确到小数点后一位）；

(2)为进一步改善经营，从得分在80分以下的四组中，采用分层随机抽样的方法抽取8人进行座谈，再从这8人中随机抽取3人参与“端午节包粽子”实践活动，求在第3组仅抽到1人的情况下，第4组抽到2人的概率．

【答案】(1)82.2

(2)

【分析】（1）先由频率分布直方图各矩形面积之和为1，求得a，再利用中位数定义求解；

（2）先得到从第1，2，3，4组应分别抽取的人数，再利用条件概率求解.

【详解】（1）解：由，

得．

设得分的中位数为，易知，

则，

得．

所以得分的中位数约为82.2．

（2）第1，2，3，4组的人数分别为10，10，20，40，

从第1，2，3，4组采用分层随机抽样的方法抽取8人，

则从第1，2，3，4组应分别抽取的人数为1，1，2，4．

从8人中抽取3人，记第3组仅抽到1人为事件，第4组抽到2人为事件，

则，

即在第3组仅抽到1人的情况下，第4组2抽到2人的概率为．

21．如图甲，在四边形中，，，将沿折起得图乙，点是上的点.

(1)若为的中点，证明：平面；

(2)若，试确定的位置，使二面角的正弦值等于.

【答案】(1)证明见解析

(2)点在线段靠近的三等分点处.

【分析】（1）取的中点，连接，先证明平面，得出，取的中点，连接，易得，由线面垂直判定定理即可证明；

（2）建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，根据法向量性质求出，再根据二面角的正弦值等于即可求出参数，从而确定的位置.

【详解】（1）由题意，

，且，故四边形是平行四边形.

又，所以是正三角形，四边形是菱形.

如图所示：

取的中点，连接，

是正三角形，则，.

又，平面，

所以平面，又平面,

所以.

取的中点，连接，

则，即四点共面.

又，则，

由，，，平面，

平面.

（2），，

.又且，

以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，

则，，，，

设，则，

平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量为，

又，，

则可取.

由题意，二面角的正弦值等于，

，

，故，即点在线段靠近的三等分点处.

22．已知函数的图象在处的切线方程为．

(1)求，的值及的单调区间．

(2)已知，是否存在实数，使得曲线恒在直线的上方？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．

【答案】(1),,的单调递减区间为，单调递增区间为.

(2)，理由见解析.

【分析】（1）利用导数的几何意义及函数单调性与导数正负的关系即可求解；

（2）根据已知条件将问题转化为不等式恒成立，再将问题转化为求函数的最值问题，利用导数法求函数的最值即可求解.

【详解】（1）因为，所以，

又在处的切线方程为，所以故，

又，所以切线方程为，故，

所以，则

当时，，单调递减；

当时，，单调递增.

综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）且.

由曲线恒在直线的上方,知.

当时，等价于，即

设则.

由（1）可知，当时，单调递增,所以.

设，则，

当时，，所以在上单调递减，

所以.

所以当时，，所以在上单调递增，

所以，所以.

当时，等价于，即

设由①可知.

由（1）可知，当时，单调递减,所以.

再设，则，

当时，所以在上单调递增，所以.

所以当时，，所以在上单调递增，

所以，所以.

综上可知，存在实数，使得曲线恒在直线的上方.

【点睛】关键点睛：解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及导数法求函数单调性的步骤即可，第二问将曲线恒在直线的上方转化为恒成立，利用分类参数法注意分或情况讨论，转化为求函数的最值问题，再利用导数法求函数的最值即可.