2022-2023学年福建省永春第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析

这是一份2022-2023学年福建省永春第一中学高二下学期期中考试数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年福建省永春第一中学高二下学期期中考试数学试题 一、单选题1．计算组合数得到的值为（    ）A．1320 B．66 C．220 D．240【答案】C【分析】根据组合数的性质以及组合数公式计算可得结果.【详解】.故选：C.2．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到经验回归方程，则的值分别是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】模型两边取对数，又，可得，又已知回归方程，可求的值.【详解】由题意得，设，可得.又经验回归方程为，所以，故.故选：B3．某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩X近似服从正态分布，则数学成绩位于[80，88]的人数约为（    ） 参考数据：，，．A．455 B．2718 C．6346 D．9545【答案】B【分析】根据题设条件结合对称性得出数学成绩位于[80，88]的人数.【详解】由题意可知，，则数学成绩位于[80，88]的人数约为.故选：B4．2020年12月17日，嫦娥五号返回器携带1731g月球土壤样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，至此我国成为世界上第三个从月球取回土壤的国家.某科研所共有A，B，C，D，E，F六位地质学家，他们全部应邀去甲、乙、丙、丁四所不同的中学开展月球土壤有关知识的科普活动，要求每所中学至少有一名地质学家，则不同的派遣方法的种数为（    ）A．288 B．376 C．1560 D．1520【答案】C【分析】先分组，再全排可求出结果.【详解】（1）将A、B、C、D、E、F六位地质学家分为4组，若分为3、1、1、1的四组，有种分组方法，若分为2、2、1、1的四组，有种分组方法，则共有种分组方法，（2）将4组分配到4所中学，有种分派方法，则共有种不同的派遣方法.故选：C.5．已知随机变量X的分布列如下： 236Pa则的值为（    ）A．2 B．6 C．8 D．18【答案】D【分析】根据概率之和等于1求得，再根据期望公式和方差公式求出期望与方差，再根据方差的性质即可得解.【详解】解：根据分布列可知，解得，，，所以.故选：D.6．在的展开式中，的系数等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】在的展开式中，的系数为，再根据组合数的性质即可计算得到答案.【详解】在的展开式中，的系数为.故选：C.7．某社区活动需要连续六天有志愿者参加服务，每天只需要一名志愿者，现有甲、乙、丙、丁、戊、己6名志愿者，计划依次安排到该社区参加服务，要求甲不安排第一天，乙和丙在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（    ）A．72种 B．81种 C．144种 D．192种【答案】D【分析】先计算乙和丙在相邻两天参加服务的排法，排除乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务的排法，即可得出答案.【详解】解：若乙和丙在相邻两天参加服务，不同的排法种数为，若乙和丙在相邻两天且甲安排在第一天参加服务，不同的排法种数为，由间接法可知，满足条件的排法种数为种.故选：D.8．已知，，，则下列结论中，正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造函数，，利用导数得出其单调性，进而得出大小关系.【详解】比较b、c只需比较，设，则，当时，，即函数在上单调递减，所以，即，所以，所以.比较a、b只需比较，设，则，因为单调递减，且，所以当时，，所以在上单调递减.即，，所以，即.综上，.故选：A 二、多选题9．某市为了研究该市空气中的浓度和浓度之间的关系，环境监测部门对该市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的浓度和浓度（单位：），得到如下所示的列联表：                      64161010则可以推断出（    ）附：，其中.0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828 A．该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是0.64B．若列联表中的天数都扩大到原来的10倍，的观测值不会发生变化C．有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关D．在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度无关【答案】AC【分析】根据古典概型判断A选项，计算卡方的值分别判断B,C,D选项即得.【详解】经计算,对于A，该市一天空气中浓度不超过，且浓度不超过的概率估计值是，故A正确，对于B，，故B错误，对于C，∵，∴有超过99%的把握认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故C正确，在犯错的概率不超过1%的条件下，认为该市一天空气中浓度与浓度有关，故D错误.故选：AC.10．已知，设的展开式的二项式系数之和为，，则下列说法错误的是（    ）A．B．C．为奇数时，；为偶数时，D．【答案】AD【分析】根据二项式系数的性质得，在中，令，得，令，得，由此可判断出答案.【详解】依题意有，在中，令，得，当为偶数时，，当为奇数时，，所以A说法不正确；在中，令，得，而，所以，因此选项B说法正确；当为偶数时，，即，当为奇数时，，即，因此选项C说法正确，选项D说法不正确，故选：AD.11．已知随机变量从二项分布，则（    ）A． B．C． D．最大时或501【答案】AD【分析】结合二项分布的性质，逐项计算，即可得到本题答案.【详解】对A，，所以A对；对B，因为，且，所以，所以B错；对C，因为，所以，所以C错；对D，因为，由组合数的性质得，最大时或501，所以D对.故选：AD12．一口袋中有除颜色外完全相同的3个红球和2个白球，从中无放回的随机取两次，每次取1个球，记事件A1：第一次取出的是红球；事件A2：第一次取出的是白球；事件B：取出的两球同色；事件C：取出的两球中至少有一个红球，则（    ）A．事件，为互斥事件 B．事件B，C为独立事件C． D．【答案】ACD【分析】根据互斥事件、独立事件的定义判断AB，由组合知识求得判断C，根据条件概率的定义求得判断D．【详解】第一次取出的球是红球还是白球两个事件不可能同时发生，它们是互斥的，A正确；由于是红球有3个，白球有2个，事件发生时，两球同为白色或同为红色，，事件不发生，则两球一白一红，，不独立，B错；，C正确；事件发生后，口袋中有3个红球1个白球，只有从中取出一个红球，事件才发生，所以，D正确．故选：ACD． 三、填空题13．展开式中常数项为___________（用数字作答）.【答案】【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解.【详解】展开式的通项为，令得，故展开式中的常数项.故答案为：.14．某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．年龄区间赋值变量x12345人群数量y2378a若由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则______．【答案】10【分析】根据回归直线方程过样本中心点求得正确答案.【详解】由题意可知，，则，解得．故答案为：15．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种数为______.【答案】45【分析】先选出一个球的编号与盒子的编号相同，再用列举法求出另外4个球的编号与盒子的编号不同的投放种数，再用分步乘法计数原理可得结果.【详解】先选出1个小球，放到对应序号的盒子里，有种情况，例如：5号球放在5号盒子里，其余四个球的放法为，，，，，，，，共9种，故将这五个球放入这五个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法种数为种，故答案为：45. 四、双空题16．定义：在等式中，把，，，…，叫做三项式的次系数列(如三项式的1次系数列是1，1，-2).则（1）三项式的2次系数列各项之和等于______；（2）______.【答案】     0     -20【分析】（1）根据次系数列的定义，令即可得系数之和．（2）根据定义得为的系数，然后进行计算即可．【详解】解：（1）三项式的2次系数列为，则令得三项式的2次系数列各项之和等于，（2）当时，三项式为，则为的系数，，的通项公式为，的通项公式为，的系数为．即故答案为：；；【点睛】本题主要考查二项式定理的综合应用，结合新定义，利用展开式的通项公式是解决本题的关键．考查学生的理解应用能力，属于中档题． 五、解答题17．已知各项都是正数的数列，前项和满足.(1)求数列的通项公式.(2)记是数列的前项和，是数列的前项和.当时，试比较与的大小.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据与的关系，结合等差数列的通项公式进行求解即可；（2）根据裂项相消法，结合等比数列前项和、二项式定理进行求解即可.【详解】（1）当时，，所以或（舍去），当时，有两式相减得，整理得，因为的各项都是正数，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列，所以；（2）由（1）得，则，所以，由（1）得所以，因为，所以，故，所以当时，.18．已知函数.(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求函数在上的最小值.【答案】(1)(2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程；（2）首先求函数的导数，化简为，再讨论和两种情况讨论函数的单调性，再求函数的最值.【详解】（1）当时，所以.所以曲线在处的切线方程为：.（2）.①当时，.所以时，.所以在上是增函数.所以.②当时，令，解得（舍）1°当，即时，时，.所以在上是增函数.所以.2°当，即时，x-0+减函数极小值增函数所以.3°当，即时，时，.所以在上是减函数.所以.综上，当时，；当时，.当时，.19．某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：）与药效指标值（单位：）之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据（，2，⋯，20），其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，.(1)求关于的经验回归方程；(2)该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立.①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率.参考公式：，.【答案】(1)(2)①0.008；② 【分析】（1）根据公式求出和，可得关于的经验回归方程；（2）①利用全概率公式可求出结果；②根据贝叶斯公式求出一件合格品是设备生产的概率，再根据独立重复试验的概率公式可求出结果.【详解】（1），，所以，，所以关于的经验回归方程为.（2）设事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“随机取一件药品来自设备生产”，事件表示“所抽药品为不合格品”，①因为设备的生产效率是设备的2倍，所以，，，，所以，②，所以三件不合格品中至少有两件是设备生产的概率为.20．永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.指标区间来源改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后改良前改良后个数315230263134241572附：成品醋的品质采用指标值进行评价，评价标准如下表所示.一等品二等品三等品合格不合格（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为，求的分布列；（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润多少（单位：元）与指标值的关系为，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？【答案】（1）答案见解析；（2）8件.【分析】（1）由题可得的取值可能为0，1，2，求出取不同值的概率即可得出分布列；（2）求出改良前成品醋利润的数学期望，求出改良后的利润最小值，建立不等关系可求.【详解】（1）依题意，已检测的不合格品样本共有20个，其中改良前的有15个，改良后的有5个.则.；；.故的分布列为：012（2）由样本估计总体的思想，改良前成品醋利润的数学期望；若要使“改良后成品醋利润比改良前至少增长”，则改良后的利润期望至少应为.假设改良后20个还未进行进一步检测的样本中，一等品有个，则改良后的一等品有个，二等品有个.改良后成品醋利润的数学期望.依题意，.求得，又，故20个还未进行进一步检测的样本中，一等品至少需要8件.21．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.(1)求甲前3次答题得分之和为40分的概率；(2)记甲第i次答题所得分数的数学期望为.①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i的最小值.【答案】(1)；(2)①，，且；②5. 【分析】（1）甲甲前3次答题得分之和为40分的事件是甲前3次答题中恰答对一次的事件，再利用相互独立事件概率的乘法公式计算作答.（2）①求出，再分析、写出与满足的等量关系式作答；②利用构造法求出的通项，列出不等式并结合单调性作答.【详解】（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为，则，显然，，甲第次答题所得分数的数学期望为，因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分，其概率分别为，于是甲第i次答题所得分数的数学期望为，所以与满足的等量关系式是：，，且；②由①知，，当时，，而，因此数列以为首项，为公比的等比数列，，于是，由得：，显然数列是递增数列，而，则有正整数，所以i的最小值是5.22．设函数.(1)试讨论函数的单调性；(2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，，证明.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【分析】（1）先求得的导数，再分类讨论，与三种情况，结合导数与函数的单调性即可得解；（2）构造新函数，结合新函数的性质即可证得题中的不等式.【详解】（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；当时，在内恒成立，函数单调递增；当时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）由题可知，所以.又，故由上式可知，故要证，只需证，令，则恒成立，所以单调递增，故只需证明.设，是方程的两个不相等的实根，不妨设为，则，两式相减并整理得，因为在上单调递增，所以，即，从而，故只需证明，即证.因为，，所以，整理得，即.因为，所以，不妨令，所以得到，.记，，所以，当且仅当时，等号成立，因此在单调递增.又，因此，，故，得证，从而得证.【点睛】方法点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查数形结合思想的应用．