2022-2023学年广东省广州市广东番禺中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东省广州市广东番禺中学高二下学期期中数学试题含解析，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省广州市广东番禺中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）．A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出集合，然后再利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合，，所以.故选：B【点睛】本题考查了集合的交运算、一元二次不等式的解法，属于基础题.2．已知复数z满足为虚数单位，则（     ）A． B．5 C． D．【答案】C【分析】根据复数除法运算法则，求出，再由模长公式，即可得出结论.【详解】，所以.故选：C.3．若随机变量X的概率分布表如下：X01P0.4则（    ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16【答案】C【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解.【详解】根据概率的性质可得，所以，所以，故选:C.4．在中，，，若点M满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意结合向量的线性运算求解.【详解】由题意可得：.故选：A.5．在等比数列中，若，，则（    ）A．5 B．-5 C．±5 D．25【答案】A【分析】根据等比数列的定义，及两项间的关系求解即可.【详解】设等比数列的公比为q，则或（舍），则故选：A6．哥德巴赫猜想作为数论领域存在时间最久的未解难题之一，自年提出至今，已经困扰数学界长达三个世纪之久哥德巴赫猜想是“任一大于的偶数都可写成两个质数的和”，如．根据哥德巴赫猜想，拆分的所有质数记为集合，从中随机选取两个不同的数，其差大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先由题意求出集合，然后结合题意利用古典概型的概率公式求解即可【详解】由题可知，所以，所以从中任取两个不同的数的基本事件共有种，满足差大于的基本事件为，，，，共4种，所以，故选：B．7．立德学校于三月份开展学雷锋主题活动，某班级5名女生和2名男生，分成两个小组去两地参加志愿者活动，每小组均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（    ）种．A．20 B．4 C．60 D．80【答案】C【分析】根据分步乘法计数原理，先安排男生，再安排女生，在安排女生时，再利用间接法分析运算.【详解】先安排2名男生，保证每个小组都有男生，共有种分配方案；再安排5名女生，若将每个女生随机安排，共有种分配方案，若女生都在同一小组，共有种分配方案，故保证每个小组都有女生，共有种分配方案；所以共有种分配方案.故选：C.8．函数的定义域为，它的导函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（    ）A．是的极小值点B．C．函数在上有极大值D．函数有三个极值点【答案】B【分析】根据导函数与原函数的关系，结合极值点和极大值的定义逐一判断即可.【详解】当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以有，因此选项B正确；当时，，单调递增，所以在上没有极大值，因此选项C不正确；当时，，单调递增，因此不是的极值点，只有当时，函数有极值点，所以选项A不正确，选项D不正确，故选：B 二、多选题9．已知，则下列选项正确的有（    ）A． B．C． D．【答案】BD【分析】原式可化为，则其展开式的通项公式为，然后利用赋值法求解即可【详解】解：由，得，则其展开式的通项公式为，对于A，令，则，所以A错误，对于B，令，则，所以B正确；对于C，在中令，则，所以C错误；对于D，，所以D正确，故选：BD10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变D．向左平移个单位长度，再把得到的图象上所有点的横坐标摍短到原来的，纵坐标不变【答案】AC【分析】根据三角函数的图象变换规律逐个分析可得答案.【详解】将图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，A正确；将的图象向右平移个单位长度，得到，再把得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确.故选：AC11．函数，则正确的有（    ）A．的定义域为 B．的值域为C．是偶函数 D．在区间上是增函数【答案】ACD【分析】根据给定的函数，求出定义域并变形解析式，再逐项分析判断作答.【详解】依题意，函数的定义域为R，A正确；，对于B，因为，当且仅当，即时取等号，又函数在上递增，因此，B错误；对于C，，因此函数是R上的偶函数；对于D，令，，，因为，则，即有，因此，即函数在上单调递增，又函数在上递增，所以函数在上递增，D正确.故选：ACD12．如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（    ）A．异面直线和所成的角为B．点到平面的距离为C．若分别为线段的中点，则平面D．线段长度的最小值为【答案】BCD【分析】利用异面直线所成角方法求解即可判断选项A，利用等体积法求解点到面的距离即可判断B，利用线面平行的判定定理判断选项C，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质建立关系式，然后利用两点间的距离公式表示出来分析即可判断选项D.【详解】因为，所以异面直线和所成的角即为和所成的角，因为，所以为等边三角形，即，故错误.连接如图所示：点到平面的距离为，因为，所以.因为，所以，所以点到平面的距离为，故B正确，当分别为线段的中点时，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，，所以，所以，设，，又所以，所以，所以当时，有最小值，即，故D选项正确，故选：BCD. 三、填空题13．已知向量，若，则__________.【答案】3【分析】求出，利用模长公式列出方程，求出.【详解】因为，所以，解得:.故答案为：314．已知直线与圆相交，则整数的一个取值可能是__________.【答案】3（或，只需填写一个答案即可）【分析】利用圆的标准方程及点到直线的距离公式，结合直线与圆相交的条件即可求解.【详解】由圆，得圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，因为直线与圆相交所以，解得，所以整数的所有可能取值为.故答案为：3（或，只需填写一个答案即可）.15．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为________．【答案】3【分析】由已知得，再利用余弦函数的值域即可求解.【详解】，又，即当时，取得最大值为3，故答案为：3 四、双空题16．用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制容器底面一边的长比另一边的长多1，则最大容积为__________；此时容器的高为__________.【答案】     /0.5625     /0.75【分析】设出容器底面的长和宽，写出容器体积的表达式，求出表达式的单调性，即可求出最大容积和对应的容器的高.【详解】由题意，设容器底面的长､宽分别为，则，容器的高为.记容器的体积为，则，∴，当时，解得：，∴当即时，函数单调递减，当即时，函数单调递增， ∴，此时高为.故答案为：；. 五、解答题17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求A；(2)若，求面积的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由正弦定理将边化为角，结合三角函数的两角和的正弦公式，可求得答案;（2）由余弦定理结合基本不等式可求得，再利用三角形面积公式求得答案.【详解】（1）根据正弦定理及，得.∵，∴.∵，∴.（2）由（1）知，又，由余弦定理得，即，∵，∴，即，当且仅当时取等号.∴.∴的最大值为.18．已知数列为公差不为0的等差数列，，且，，成等差数列．(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据，，成等差数列以及可求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解；（2）先求出，再根据裂项相消法求和即可．【详解】（1）∵，，成等差数列，∴，∴，设数列的公差为，∴，∴，∵，解得：，∵，∴，，∴；（2）∵，∴数列的前n项和为．19．网购是目前很流行也很实用的购物方式.某购物网站的销售商为了提升顾客购物的满意度，随机抽取了100名顾客进行问卷调查，根据顾客对该购物网站评分的分数（满分：100分），按分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计顾客对该购物网站的评分的中位数（结果保留整数）；(2)若顾客对该购物网站的评分不低于90分，则称顾客对该购物网站非常满意.从以上样本中评分不低于80分的顾客中随机抽取3人，记为对该购物网站非常满意的顾客人数，求的分布列与期望.【答案】(1)72(2)分布列见解析，期望为1 【分析】（1）利用中位数的定义结合频率分布直方图的频率值求解；（2）根据超几何概率分布模型求解即可.【详解】（1）因为，所以顾客对该购物网站的评分的中位数在内，设顾客对该购物网站的评分的中位数为，则，解得，即估计顾客对该购物网站的评分的中位数为72.（2）由频率分布直方图可知评分在内的顾客人数是，评分在内的顾客人数是.的所有可能取值为0，1，2，3.，，，.则的分布列为0123故.20．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，为的中点，.(1)证明：平面平面.(2)若，且二面角的大小为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）通过证明线面平行即可证明平面平面.（2）建立空间直角坐标系，由几何关系表达出各点的坐标，得出面与的法向量，由二面角的大小，即可求出四棱锥的体积.【详解】（1）由题意，证明如下：在中，为的中点，∴.在四棱锥中，，且，∴平面，∵平面，∴平面平面.（2）由题意及（1）得，连接.在中，三角形为等边三角形，∴，∴两两垂直，建立空间直角坐标系如下图所示：设，则，∵，∴，∴.设平面的法向量为，则令，得.平面的一个法向量为，∵二面角的大小为，∴，解得，∴.21．已知双曲线的右顶点为，直线过点，当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，点到直线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且轴上存在一点，使得恒成立，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可得，结合双曲线中的关系即可求解，（2）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理，将转化成斜率关系，即可代入求解.【详解】（1）因为双曲线的右顶点为，所以.当直线与双曲线有且仅有一个公共点时，直线平行于双曲线的一条渐近线.不妨设直线的方程为，即，所以点到直线的距离，所以.因为，所以，故双曲线的方程为.（2）设直线的方程为，联立方程组，得，则且.因为，所以，所以，解得.当直线恰好为轴时，也满足题意，故【点睛】直线与双曲线抛物线的位置关系和直线与椭圆、抛物线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；解析几何简化运算的常见方法：（1）正确画出图形，利用平面几何知识简化运算；（2）坐标化，把几何关系转化为坐标运算；（3）巧用定义，简化运算.22．已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明，对，均有.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义进行求解；（2）将所证不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性和最值，得到，再构造函数利用导数研究其单调性和最值，得到，再利用不等式的性质进行放缩证明.【详解】（1）因为所以，，，则切线方程为，即.则曲线在点处的切线方程为.（2）若证，即证，令，则.当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，即.令，，则，可知在上单调递减，所以，即当时，，从而，所以当时，，，当时，，，综上所述，对，均有.【点睛】方法点睛：在利用导数证明不等式时，合理构造函数，将问题转化为求函数的单调性和最值问题是一种常见方法，如本题中两次构造函数：（1）构造函数证明 ；（2）构造函数证明 .