2022-2023学年广东实验中学高二下学期期中数学试题含解析

这是一份2022-2023学年广东实验中学高二下学期期中数学试题含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东实验中学高二下学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，，若，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，根据得出为的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】，因为，所以为的子集，所以.故选：C.2．复数的虚部为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出复数z，进而求出虚部.【详解】因为，所以复数的虚部为.故选：A3．等差数列满足，则该数列的前13项的和为（    ）A．45 B．55 C．78 D．110【答案】C【分析】先化简条件，结合等差数列求和公式可得答案.【详解】设等差数列的公差为，前项和为，因为，所以；所以.故选：C.4．已知角满足，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据两角和与差的正切公式进行展开，进而求出，结合同角平方和关系和商数关系即可解出正、余弦值，再利用二倍角的正弦公式即可得到答案.【详解】由得，，即，解得，又因为，，可得，或，，所以，故选：D．5．函数的图象大数为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出函数的定义域，由已知可得函数为奇函数.然后得到时，，根据导函数求得的单调性，并且可得极大值点，即可得出答案.【详解】由题意可知，函数的定义域为.又，所以，函数为奇函数.当时，，则.设，则在上恒成立，所以，在上单调递增.又，，所以，根据零点存在定理可得，，有，且当时，有，显然，所以在上单调递增；当时，有，显然，所以在上单调递减.因为，所以C项满足题意.故选：C.6．若，，，则下列大小关系正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】由指数函数及对数函数的性质可得，及；构造函数，利用导数确函数的单调性比较的大小即可得答案.【详解】解：因为，，，所以，，又因为 ，所以，，所以，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，又，，因为，所以，所以，所以，即，，即，综上所述：.故选：D.7．已知，，，，成等比数列，且1和4为其中的两项，则的最小值为（    ）A．－64 B．－8 C． D．【答案】B【分析】结合题意，取最小值时为负数，且，利用等比数列的基本量运算即可求解.【详解】由题意，要使最小，则，，都是负数，则和选择1和4，设等比数列的公比为，当时，，所以，所以，所以；当时，，所以，所以，所以；综上，的最小值为－8.故选：B8．已知定义在上的函数满足为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】构造函数，由条件判断其奇偶性，单调性，利用单调性解不等式即可.【详解】令，所以，因为，所以，化简得，所以是上的奇函数；，因为当时，，所以当时，，从而在上单调递增，又是上的奇函数，所以在上单调递增；考虑到，由，得，即，由在上单调递增，得解得，所以不等式的解集为，故选：B. 二、多选题9．下列求导计算中，错误的有（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BCD【分析】根据初等函数求导公式，结合复合函数求导运算法则判断四个函数求导结果的正误.【详解】由初等函数求导公式和复合函数求导法则知；；；；所以A项正确，B、C、D项错误，故选：BCD.10．已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则下列说法正确的是（    ）A．所有项的系数之和为1 B．所有项的系数之和为C．含的项的系数为240 D．含的项的系数为【答案】AC【分析】先根据条件求出，令代入原式，即可得出所有项的系数；进而可得出指定项的系数.【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，即最大，所以，则该二项式为，令可得所有项的系数之和为，故A正确，B错误；展开式的通项公式为，令，则，因此含的项的系数为，故C正确，D错误.故选：AC.11．已知函数，的图象关于直线对称，则（    ）A．函数在上有极值点B．若方程在上有2个不同实根，，则的最大值为C．函数满足D．函数的图象向右平移个单位长度得到的函数图象关于对称，则的最小值为【答案】ACD【分析】由三角函数图象与性质可知，图象关于直线对称，则可得，，由此建立方程求出的表达式，再比对四个选项选出正确选项．【详解】因为的图象关于直线对称，，，，，，当时，，，对于A：令，，解得，，所以在处取得极大值，故A正确；对于B：由，所以，令，解得，所以在上单调递增，令，解得，所以在上单调递减，又，，，因为方程在上有2个不同实根，，则的最大值为，故B错误；对于C：，故关于对称，所以函数满足，故C正确；对于D：函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象关于对称，，，即，又，故的最小值是，故D正确；故选：ACD12．在棱长为的正方体中，与平面相交于点，为内一点，且，设直线PD与所成的角为，则下列结论正确的是（    ）A． B．点P的轨迹是圆C．点的轨迹是椭圆 D．的取值范围是【答案】ABD【分析】根据题意可得结合线面垂直的判定定理和性质定理可证得平面，分析可得点即为的中心，结合可得，从而可得点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，转化为是以底面半径为，高为的圆锥的母线，分析求得的范围即可得出结果.【详解】如图所示，与平面相交于点，连接交于点，连接；由题意可知平面，平面，则；又因为，平面，所以平面，又平面，所以；同理可证，又，平面，所以平面；又因为，由正三棱锥性质可得点即为的中心，连接；因为为的中点，交于点，连接，由平面，平面，则，所以选项A正确；即为的高，设，由正方体棱长为可知，，且的内切圆半径；所以；又，即可得，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以B正确，C错误；由平面，平面，则，所以，因此是以底面半径为，高为的圆锥的母线，如图所示:设圆锥母线与底面所成的角为，则，所以；即直线与平面所成的角为，又因为异面直线所成角的取值范围是，直线在平面内，所以直线PD与所成的角的取值范围为,又因为，所以直线PD与所成的角的取值范围为，即；即D正确；故选：ABD【点睛】关键点点睛：（1）通过比较与的内切圆半径的大小，得出动点的轨迹；（2）将直线PD与所成的角的最小值转化为圆锥母线与底面所成的角. 三、填空题13．3个男生3个女生排队接种流感疫苗，恰有两个女生排在一起的情况有______种（用数字作答）【答案】432【分析】利用捆绑法先选2个女生看作一个整体，再利用插空法求解.【详解】先选两个女生看作一个整体有种方法，再排3个男生有种排法，最后把女生插入男生形成的4个空隙中有种排法；根据分步计数原理可得共有：种方法.故答案为：432.14．已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．【答案】【分析】求出函数的导数，再结合给定的单调区间及单调性，列出不等式求解作答.【详解】函数，求导得，依题意，，，即恒成立，显然函数是开口向上的二次函数，因此，解得，所以的取值范围是.故答案为：15．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为______．【答案】/【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解.【详解】当时，不成立，所以.由得.因为，，所以，解得，即.所以，令，则，于是.令，，则.由对勾函数的图象知，在上单调递减，故.所以，即的最大值为.故答案为：.16．已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线分别交于､两点，若是线段的中点，且，则双曲线的离心率为___________.【答案】/【分析】设出直线，与双曲线渐近线方程联立，得到点坐标，进而得到中点的坐标，利用，列出方程，得到，从而求出离心率.【详解】设直线为，双曲线的渐近线方程为，联立可得，，，不妨令，同理可得，设，则，，故，故，解得，方程两边同时除以得，，令，可得，解得或1（舍去），故.故答案为：.【点睛】方法点睛，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率或离心率的取值范围). 四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知(1)求角的大小；(2)已知，的面积为6，求的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式得到，即可得解；（2）由面积公式求出，再由余弦定理求出，再由余弦定理求出，即可得解.【详解】（1）由题意可得：，可得，∵，∴.（2）∵的面积，∴，∴，即，∵，即，则.18．已知函数(1)当时，求的极值；(2)当时，讨论的单调性【答案】(1)极小值为，极大值为；(2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）求导函数，确定函数的单调区间，即可求得的极值点；（2）对分类讨论，用导数的符号讨论函数的单调性.【详解】（1）∵，，∴，当时，令，解得，23-0+0-减极小值增极大值减∴极小值为，极大值为.（2）①当时，，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增；②当时，令，得或；（i）当时，即时，则恒成立，所以在上单调递减；（ii）当，即时，令，得或；令，得；在和上单调递减，在上单调递增；综上所述：当时，在上递减，在上单调递增；当时，在和上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减；19．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，．(1)求证：平面平面；(2)已知点满足，，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明面，再证明平面平面.（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，计算平面和平面的法向量，由平面夹角的余弦值得的值，求直线与平面所成的角正弦值.【详解】（1）证明：等腰梯形中，，，延长，交于，则，，所以为等边三角形，所以，且，，平面，平面，所以面，又因为平面，则平面平面.（2）过作交于，以为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴， 为轴正半轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，，， ，设平面的一个法向量为，则，取，则取平面的法向量，，得，因为，所以，即，，设直线与平面所成的角为，则，所以直线与平面所成的角正弦值为．20．已知数列首项为，对任意的，满足(1)求的通项公式；(2)若，数列的前项和为，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）利用构造法可得是首项为3，公比为3的等比数列，则可得其通项公式;（2）利用错位相减法可求出的前项和为，再由不等式性质可证明.【详解】（1）由题条件可得，所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列，所以，则.（2），设，，所以，，所以，所以，因为，所以.21．已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为.(1)求双曲线C的方程；(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)为定值 【分析】（1）根据双曲线渐近线可设双曲线方程为，利用焦点坐标，求得，即得答案.（2）设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，求得，以及的中点坐标，求出的中垂线方程可得T点坐标，继而求得，化简即可得结论.【详解】（1）因为双曲线C以为渐近线，设双曲线方程为，即,∵，∴，即：，∴，∴，即.,所以双曲线C的方程为：.（2）由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：，，，，化简得：，，此方程的两根为，则，∴.，中点M坐标为，即，∴PQ中垂线方程为：，令，∴，∴，则，∴，即为定值，定值为.【点睛】难点点睛：解答此类直线和双曲线的位置关系类题目，涉及到定值问题，要设出直线方程并联立双曲线方程，结合根与系数的关系式进行化简，解答的难点是计算比较复杂，计算量较大，比如计算弦长或者其他线段长度，计算要十分细心.22．已知函数；（1）讨论的极值点的个数；（2）若，且恒成立，求的最大值．参考数据：1.61.71.84.9535.4746.0500.4700.5310.588 【答案】(1)见解析;(2)10.【分析】（1）求导数得到，然后分和两种情况讨论函数的极值点的个数．（2）由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，代换后可得只需，又，所以只需．然后通过分析可得函数的零点，且．又由②可得，且当时，，不等式显然恒成立；当时，，，然后令，，可得，于是可得的最大值．【详解】（1）根据题意可得，， ①当时，，函数单调递减，无极值点；②当时，令，得，又在上是增函数，且当时，，所以在上存在一解，不妨设为，所以函数在上单调递增，在上单调递减．所以函数有一个极大值点，无极小值点；总上可得：当时，无极值点；当时，函数有一个极大值点，无极小值点． （2）因为，由（1）知有极大值，且满足①，且，要使恒成立，只需②，由①可得，代入② 得，即，因为，所以，因为，，且在是增函数，设为的零点，则，可知， 由②可得，当时，，不等式显然恒成立；当时，，，令，，，所以上是减函数，且，，所以， 所以，又，所以的最大值为．【点睛】（1）在利用导数研究函数的问题时，若函数的解析式中含有参数，则在解题时要注意对参数进行分类讨论，分类时要做到分类合理、不重不漏．（2）不等式恒成立问题可转化为函数的最值问题求解，若f(x)≥a或g(x)≤a恒成立，只需满足f(x)min≥a或g(x)max≤a即可，利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值，从而问题得解．