2022-2023学年八年级数学下期末模拟题（三）

这是一份2022-2023学年八年级数学下期末模拟题（三），共30页。试卷主要包含了下列各式，没有意义的是等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年八年级数学下期末模拟题（3）
（时间120分钟，满分120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式，没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
3．依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝25°，则∠EFD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．65°
5．若a＝2﹣1，b＝20，则一次函数y＝ax+b的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
6．佳佳列出了一组样本数据方差的计算公式：（3﹣）²+（4﹣）²+2（6﹣）²]由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本的平均数是4 B．样本的众数是6
C．样本的中位数是4 D．样本的总数是n＝4
7．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　）
长度x/m
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝4，点P从点D出发，沿DC，CB向终点B匀速运动．设点P所经过的路程为x，点P所经过的路线与AD，AP所围成的图形的面积为y．在下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
9．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
10．一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．7 D．11
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　 　．
12．请写出一个图象经过（0，3）的一次函数解析式 　 　．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点M，N分别是边AB，BC上的点，已知点A（1，3），点N（n，0），∠MON＝45°，连接MN，则△MNB的周长为 　 　．

14．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选7株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计如下：
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
第六株
第七株
平均数
甲
79
81
80
80
78
82
80
80
乙
79
77
80
82
81
82
79
80
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是 　 　（填“甲”或“乙”）．
15．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝　 　．
​

三．解答题（共8小题，共75分）
16．（10分）计算：
（1）；
（2）．
17．（7分）数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝　 　．
求证：四边形ABCD是 　 　四边形．

（1）补全已知和求证（在方框中填空）．
（2）小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
18．（8分）某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表．

学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
（1）若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？
（2）该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式：
A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2．
B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1．
你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者．
19．（9分）为美化环境，某园林部门决定购买A，B两种景观树对开源路南段进行绿化改造，已知每棵A种树的价格是B种树价格的2倍；购买A种树3棵，B种树2棵，共花费320元．
（1）求A，B两种树的单价各是多少元？
（2）若园林部门计划购买A，B两种景观树共200棵，设购买A种树的数量为a棵，购买两种树的总费用为w元．
①求出关于a的函数关系式；
②根据市场变化，厂家对A种树的价格下调10%，B种树的价格不变，且购买树的总费用不超过12000元，则最多能购买A种树多少棵？
20．（9分）如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
​
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
​
①　 　；
②　 　；
③　 　．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
21．（8分）如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 　 　；
（2）求AC+CE的最小值 　 　；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
22．（12分）边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．

23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（1，0），点C的横坐标为4．
（1）求直线CD的函数解析式：
（2）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．


2022-2023学年八年级数学下期末模拟题（三）
解析版
（时间120分钟，满分120分）
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式，没有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据二次根式中的被开方数必须是非负数进行判断即可．
【解答】解：A、有意义，本选项不符合题意；
B、有意义，本选项不符合题意；
C、有意义，本选项不符合题意；
D、没有意义，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负数是解题的关键．
2．下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．AB2+BC2＝AC2 B．AB2﹣BC2＝AC2
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
【分析】根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵AB2+BC2＝AC2，故△ABC是直角三角形，选项A不符合题意；
∵AB2﹣BC2＝AC2，
∴AC2+BC2＝AB2，故△ABC是直角三角形，选项B不符合题意；
∵∠A+∠B＝∠C，
∴△ABC是直角三角形，选项C不符合题意；
∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，
∴最大角∠C＝180°×＝75°，故△ABC不是直角三角形，选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出三角形的形状．
3．依据所标数据，下列图形中一定为平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，因此图中的四边形不可能是平行四边形，
故A不符合题意；
B．一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，
故B不符合题意；
C．两组对边相等能判断四边形是平行四边形，
故C符合题意；
D．一组对边平行但不相等的四边形不是平行四边形，
故D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键．
4．如图，在正方形ABCD中，E为AD上一点，连接BE，BE交对角线于点F，连接DF，若∠ABE＝25°，则∠EFD的度数为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．65°
【分析】利用正方形的性质结合三角形全等求得∠ADF及∠AEB，再由三角形外角求得∠EFD．
【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠BAD＝90°，
在△ABF和△ADF中，
，
∴△ABF≌△ADF（SAS），
∴∠ADF＝∠ABE＝25°，
∵∠AEB＝90°﹣∠ABF＝65°，
∴∠EFD＝∠AEB﹣∠ADF＝65°﹣25°＝40°，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质，熟悉正方形的性质是解题的关键．
5．若a＝2﹣1，b＝20，则一次函数y＝ax+b的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】首先确定a、b的符号，然后根据一次函数的性质确定其图象即可．
【解答】解：∵a＝2﹣1＝，b＝20＝1，
∴一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、三象限．
故选：A．
【点评】考查了一次函数与零指数及负指数的知识，解题的关键是根据一次函数的性质确定a、b的符号，难度不大．
6．佳佳列出了一组样本数据方差的计算公式：（3﹣）²+（4﹣）²+2（6﹣）²]由公式提供的信息，下列说法错误的是（　　）
A．样本的平均数是4 B．样本的众数是6
C．样本的中位数是4 D．样本的总数是n＝4
【分析】先根据方差的公式得出这组数据为1、3、4、6、6，再根据平均数、众数、中位数和样本容量的概念逐一求解可得答案．
【解答】解：由题意知，这组数据为1、3、4、6、6，
所以这组数据的样本容量为n＝5，中位数为4，众数为6，平均数为＝4．
所以说法错误的是选项D．
故选：D．
【点评】本题考查了方差、样本容量、中位数、众数和平均数，掌握方差的定义是关键．
7．百货大楼进了一批花布，出售时要在进价（进货价格） 的基础上加一定的利润，其长度x与售价y如下表，下列用长度x表示售价y的关系式中，正确的是（　　）
长度x/m
1
2
3
4
…
售价y/元
8+0.3
16+0.6
24+0.9
32+1.2
…
A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x
【分析】本题通过观察表格内的x与y的关系，可知y的值相对x＝1时是成倍增长的，由此可得出方程．
【解答】解：依题意得：y＝（8+0.3）x；
故选：B．
【点评】本题考查根据实际问题列一次函数的关系式．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
8．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝30°，AB＝6，BC＝4，点P从点D出发，沿DC，CB向终点B匀速运动．设点P所经过的路程为x，点P所经过的路线与AD，AP所围成的图形的面积为y．在下列图象中能反映y与x的函数关系的是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】分点P在DC、CB上两种情况考虑即可．
【解答】解：当点P在边DC运动时，此时0≤x≤6，如图，过点作DE⊥AB于E，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝6；
∵∠DAB＝30°，BC＝4，
∴，
∴；


当点P在线段CB上运动时，此时6＜x≤10，
如图，过点B作BF⊥AD，交AD延长线于F，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴；
∵CP＝x﹣6，
∴，

综上，y与x的函数关系是，
函数对应的图象为A，
故选：A．
【点评】本题是四边形动点问题，考查了函数的图象，掌握平行四边形的性质，含30度直角三角形的性质，确定函数关系式是解题的关键．注意分类讨论．
9．如图，在正方形网格内，A、B、C、D四点都在小方格的格点上，则∠BAC+∠DAC＝（　　）

A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，则∠BAC＝∠B′AC，在网格中运用勾股定理得到线段长，进而证明△AB'D是等腰直角三角形，得到∠B'AD＝45°，即∠BAC+∠DAC＝45°．
【解答】解：作B关于AC的对称点B'，连接B'A'，B'D，如图所示：

∴∠BAC＝∠B′AC，
∵，，，
∴AB'＝B'D，B'A2+B'D2＝AD2，
∴△AB'D是等腰直角三角形，
∴∠B'AD＝45°，
∴∠BAC+∠DAC＝∠B'AC+∠DAC＝∠B'AD＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查网格中求角度问题，涉及勾股定理、勾股定理逆定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质是解决问题的关键．
10．一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（　　）
A．﹣10 B．﹣7 C．7 D．11
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质求出y的最小值即可．
【解答】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），
∴5＝﹣k+3，
解得：k＝﹣2，
∴y＝﹣2x+3，
∵k＝﹣2，
∴y随x的增大而减小，
∵﹣2≤x≤5，
∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7．
故选：B．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 　x≥　．
【分析】根据二次根式的被开方数3x﹣5是非负数解答即可．
【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴3x﹣5≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的概念是解题的关键．
12．请写出一个图象经过（0，3）的一次函数解析式 　y＝x+3（答案不唯一）　．
【分析】设一次函数解析式为y＝x+b，待定系数法求解析式即可．
【解答】解：设一次函数解析式为y＝x+b，
代入（0，3），
得b＝3，
∴一次函数解析式为y＝x+3，
故答案为：y＝x+3（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
13．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是正方形，点M，N分别是边AB，BC上的点，已知点A（1，3），点N（n，0），∠MON＝45°，连接MN，则△MNB的周长为 　 　．

【分析】延长NC到L使CL＝AM，作AK⊥y轴于K，由正方形的性质推出△OAM≌△OCL，得到OM＝OL，∠AOM＝∠COL，由∠MON＝45°，得到∠AOM+∠CON＝45°，得到∠NOL＝∠MON＝45°，即可证明△OMN≌△OLN（SAS），得到MN＝NL，即可得到△BMN的周长＝2OA，由勾股定理即可求出OA的长．
【解答】解：延长NC到L使CL＝AM，作AK⊥y轴于K，
∵四边形ABCO是正方形，
∴OA＝OC，∠OAM＝∠OCB＝90°，
∴∠OCL＝180°﹣∠OCB＝90°，
∴∠OCL＝∠OAM，
∴△OAM≌△OCL（SAS），
∴OM＝OL，∠AOM＝∠COL，
∵∠MON＝45°，
∴∠AOM+∠CON＝45°，
∴∠COL+∠CON＝45°，
∴∠NOL＝∠MON＝45°，
∵ON＝ON，
∴△OMN≌△OLN（SAS），
∴MN＝NL，
∵NL＝CN+CL＝CN+AM，
∴MN＝AM+CN，
∴△BMN的周长＝MN+MB+NB＝AM+CN+MB+NB＝AB+BC＝2AB＝2OA，
∵A的坐标是（1，3），
∴AK＝1，OK＝3，
∴OA＝＝＝，
∴△BMN的周长是2．
故答案为：2．

【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，坐标与图形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形，证明△BMN的周长＝2OA．

14．为了解甲、乙两个品种草莓的维生素含量，研究人员从甲、乙两个品种的草莓中各选7株，测量它们每百克草莓中维生素的含量（单位：毫克），在同等实验环境下，测得的数据统计如下：
品种
第一株
第二株
第三株
第四株
第五株
第六株
第七株
平均数
甲
79
81
80
80
78
82
80
80
乙
79
77
80
82
81
82
79
80
则每百克草莓中维生素含量更稳定的是 　甲　（填“甲”或“乙”）．
【分析】分别求解甲、乙的方差，然后进行比较作答即可．
【解答】解：由题意得，，，
∵，
∴甲更稳定，
故答案为：甲．
【点评】本题考查了用方差判断稳定性．解题的关键在于正确求解方差．
15．如图，在△ABC中，若∠BAC＝45°，AD⊥BC，BD＝3，AD＝9，CD＝　4.5　．
​

【分析】先根据△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出DC的长即可．
【解答】解：分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°．
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC，
∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
又∵AE＝AD，AF＝AD，
∴AE＝AF．
∴四边形AEGF是正方形，
∴AD＝AE＝AF＝EG＝GF＝9，BE＝BD＝3，CF＝DC＝x，
∴BG＝EG﹣BE＝6，CG＝GF﹣CF＝9﹣x．
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（3+x）2＝（9﹣x）2+62
解得：x＝4.5，
∴DC＝4.5．
法二：过B作BG⊥AC于G，
∴AB＝，
∵sin∠BAG＝sin45°＝，
∴BG＝AG＝3，
∵，
∴AD2•BC2＝AC2•BG2，
设DC＝a，则BC＝3+a，AC＝，
可得：，
解得：a＝4.5，a＝﹣18（舍去），
故答案为：4.5．


【点评】本题考查正方形的判定、图形的翻折变换和利用勾股定理，建立关于x的方程模型的解题思想．要能灵活运用．
三．解答题（共8小题）
16．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1），
＝，
＝，
＝．
（2），
＝，
＝，
＝．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练运用二次根式的运算法则是解题关键．
17．数学课上老师要同学证明命题“对角线互相平分的四边形是平行四边形”是正确的．
小红同学先任意画出△ABC，再取边AC的中点O，连结BO并延长到点D，使OD＝OB，连结AD，CD（如图所示），并写出了如下尚不完整的已知和求证．
已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB．OA＝　OC　．
求证：四边形ABCD是 　平行　四边形．

（1）补全已知和求证（在方框中填空）．
（2）小红同学的思路是利用三角形全等，依据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来证明，请完成证明过程（可以用小红的思路，也可以用其他方法）．
【分析】（1）根据题意补全已知和求证；
（2）证明△ABO≌△CDO（SAS）得出AB＝CD，AB∥CD，即可得证．
【解答】（1）解：已知：如图，在四边形ABCD中，OD＝OB，OA＝OC，
求证：四边形ABCD是平行四边形，
故答案为：OC，平行．
（2）证明：在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（SAS），
∴AB＝CD，∠BAO＝∠DCO，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
18．某公司要招聘一名职员，根据实际需要，从学历、经验、能力和态度四个方面对甲、乙两名应聘者进行了测试，最终得分高者录用，测试成绩如下表．

学历
经验
能力
态度
甲
8
6
8
7
乙
7
9
9
5
（1）若将四项得分的平均数作为最终得分，谁将被录用？
（2）该公司的管理层经过讨论，有以下两种赋分方式：
A：“态度”重要，四项得分的比例为1：1：1：2．
B：“能力”重要，四项得分的比例为1：1：2：1．
你会选择A还是B？根据你选择的这种赋分方式，通过计算确定录用者．
【分析】（1）根据算术平均数的公式列出算式计算即可求解；
（2）先选择相应的赋分方式，通过加权平均数的公式计算确定录用者．
【解答】解：（1）甲：（8+6+8+7）÷4＝7.25，
乙：（7+9+9+5）÷4＝7.5，
∵7.25＜7.5，
∴乙将被录用；
（2）选择A：（答案不唯一）
甲：（8+6+8+7×2）÷5＝7.2，
乙：（7+9+9+5×2）÷5＝7，
∵7.2＞7，
∴甲将被录用．
【点评】本题考查了算术平均数和加权平均数的计算与运用，熟练掌握平均数的计算是解题的关键．
19．为美化环境，某园林部门决定购买A，B两种景观树对开源路南段进行绿化改造，已知每棵A种树的价格是B种树价格的2倍；购买A种树3棵，B种树2棵，共花费320元．
（1）求A，B两种树的单价各是多少元？
（2）若园林部门计划购买A，B两种景观树共200棵，设购买A种树的数量为a棵，购买两种树的总费用为w元．
①求出关于a的函数关系式；
②根据市场变化，厂家对A种树的价格下调10%，B种树的价格不变，且购买树的总费用不超过12000元，则最多能购买A种树多少棵？
【分析】（1）设B种树的单价是x元，根据购买A种树3棵，B种树2棵，共花费320元得：3×2x+2x＝320，即可解得答案；
（2）①根据题意得：w＝80a+40（200﹣a）＝40a+8000；
②由对A种树的价格下调10%，可得A种树的价格为72（元/棵），根据购买树的总费用不超过12000元，知72a+40（200﹣a）≤12000，解得a的范围可得答案．
【解答】解：（1）设B种树的单价是x元，则A种树的单价是2x元，
根据题意得：3×2x+2x＝320，
解得x＝40，
∴2x＝2×40＝80，
∴B种树的单价是40元，A种树的单价是80元；
（2）①根据题意得：
w＝80a+40（200﹣a）＝40a+8000，
∴w关于a的函数关系式为w＝40a+8000；
②∵对A种树的价格下调10%，
∴A种树的价格为80×（1﹣10%）＝72（元/棵），
∵购买树的总费用不超过12000元，
∴72a+40（200﹣a）≤12000，
解得：a≤125，
答：最多能购买A种树125棵．
【点评】本题考查一次函数的应用，涉及一元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系列方程．
20．如图1，在四边形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠D．在此条件下，对它“强化条件”，分别得到图1的3个命题．
​
（1）命题1的证明思路如下，在图1中连接AC，BD，并填充证明框图．
​
①　∠BAD＝∠CDA　；
②　△ABC≌△DCB　；
③　∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA　．
（2）命题2是真命题，请在图2中完成证明．
（3）命题3是假命题，请画出反例并解释反例存在的合理性．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质得出命题即可；
（2）连接AC，根据全等三角形的判定和性质得出AD＝BC，进而利用平行四边形和矩形的判定解答即可；
（3）根据矩形的判定解答即可．
【解答】解：（1）在△ABD与△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠BAD＝∠CDA；
同理可得：△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠BAD＝∠ABC，
∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
故答案为：①∠BAD＝∠CDA；
②△ABC≌△DCB；
③∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDA；
（2）证明：连接AC．
∵∠B＝∠D，∠B＝90°，
∴∠D＝90°，
又∵AB＝CD，AC＝AC，
∴Rt△ABC≌Rt△CDA（HL），
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵∠B＝90°，
∴▱ABCD是矩形；
（3）如图①，四边形ABCD满足以上条件但显然不是矩形，
存在的合理性：
如图②，设点C，D分别是射线BN，AM上的动点，且保持∠ADC＝∠ABC（均为锐角）．
当C，B两点重合时，显然 C1D1＞AB：CD，离AB越远，CD越小（趋近于0），即存在 C2D2＜AB；
因此在C1D1 和C2D2 之间，必存在CD＝AB，故反例存在．


【点评】此题考查平行四边形的判定，关键是根据平行四边形的判定、矩形的判定和全等三角形的判定和性质解答．
21．如图1，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC．已知AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x．

（1）用含x的代数式表示AC+CE的长为 　　；
（2）求AC+CE的最小值 　　；
（3）根据（2）中的规律和结论，请模仿图1在网格中（图2）构图并求代数式的最小值．
【分析】（1）由勾股定理即可求解；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，则有AB＝DF＝2，BD＝AF＝8，要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长，然后问题可求解；
（3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，然后同理（2）可进行求解．
【解答】解：（1）∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴△ABC和△CDE是直角三角形，
∵AB＝2，DE＝1，BD＝8，设CD＝x，
∴BC＝8﹣x，
在Rt△ABC中，，
在Rt△CDE中，，
∴，
故答案为：；
（2）过点A作AF⊥DE，垂足为点F，连接AE，如图所示：

∵AF⊥DE，AB⊥BD，ED⊥BD，
∴四边形ABDF是矩形，
∴AB＝DF＝2，BD＝AF＝8，
∴EF＝3，
∵，
∴要使AC+EC的值最小，则需满足点A、C、E三点共线即可，即最小值为AE的长，
∴AC+CE的最小值；
（3）取P为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AP、EP．已知AB＝1，DE＝2，BD＝3，如图所示：

设BP＝x，则根据勾股定理可得：，
∴，
同理（2）可知的最小值即为点A与点E之间的距离，
∴的最小值为．
【点评】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
22．边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连接CE．
（1）若点F在边BC上（如图）：
①求证：CE＝EF；
②若BC＝2BF，求DE的长．
（2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请求DE的长．

【分析】（1）①先利用正方形的对称性可得到∠BAE＝∠BCE，然后在证明又∠BAE＝∠EFC，通过等量代换可得到∠BCE＝∠EFC；
②过点E作MN⊥BC，交AD于M．依据等腰三角形的性质可得到FN＝CN，从而可得到NC的长，然后可得到MD的长，在Rt△MDE中可求得ED的长；
（2）先根据题意画出图形，然后再证明EF＝EC，然后再按照（1）②中的思路进行证明即可．
【解答】（1）①证明：方法一：∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；
方法二：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABE＝∠CBE＝45°，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE）SAS），
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABC＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF；

②解：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．

∵CE＝EF，
∴N是CF的中点．
∵BC＝2BF，
∴，
又∵四边形CDMN是矩形，△DME为等腰直角三角形，
∴CN＝DM＝ME，
∴ED＝DM＝CN＝a．
（2）解：如图所示：过点E作MN⊥BC，垂足为N，交AD于M．

∵正方形ABCD关于BD对称，
∴△ABE≌△CBE，
∴∠BAE＝∠BCE．
又∵∠ABF＝∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝∠EFC，
∴∠BCE＝∠EFC，
∴CE＝EF．
∴FN＝CN．
又∵BC＝2BF，
∴FC＝a，
∴CN＝a，
∴EN＝BN＝a，
∴DE＝a．
【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的方法是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+8分别交两坐标轴于点A、B，直线CD与直线AB交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（1，0），点C的横坐标为4．
（1）求直线CD的函数解析式：
（2）在坐标平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点C的坐标，根据点C，D的坐标，利用待定系数法即可求出直线CD的函数解析式；
（2）存在，设点F的坐标为（m，n），分CD为对角线，AC为对角线及AD为对角线三种情况考虑，利用平行四边形的性质（对角线互相平分），即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出点F的坐标．
【解答】解：（1）当x＝4时，y＝﹣1×4+8＝4，
∴点C的坐标为（4，4）；
设直线CD的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），
将点C（4，4），D（1，0）代入y＝kx+b，
得：，
解得：，
∴直线CD的函数解析式为y＝x﹣．
（2）存在，设点F的坐标为（m，n），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
解得：x＝8，
∴点A的坐标为（8，0）．
若使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论：
①当CD为对角线时，记为点F1，
∵四边形ACF1D为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点F1的坐标为（﹣3，4）；
②当AC为对角线时，记为点F2，
∵四边形AF2CD为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点F2的坐标为（11，4）；
③当AD为对角线时，记为点F3，
∵四边形ACDF3为平行四边形，
∴，
解得：，
∴点F3的坐标为（5，﹣4）．
∴存在点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形，点F的坐标为（﹣3，4）或（11，4）或（5，﹣4）．

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，找出点C，A的坐标；根据点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式；（2）分CD为对角线，AC为对角线及AD为对角线三种情况，求出点F的坐标．