2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）(含解析)

这是一份2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）(含解析)，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省济南市莱芜区胜利中学等八校七年级（下）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
1．“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
2．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
3．已知方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值是（　　）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝3 D．k＝5
4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝16，则△ODE的周长是（　　）

A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AE的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　　）

A．∠β＝∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β﹣∠γ＝90° D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（　　）

A．t＝1s B．t＝s
C．s D．t＝s或t＝s
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）
11．在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 　 　．
12．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　 　．

13．已知是方程组的解，则3a﹣b＝　 　．
14．若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于 　 　．
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，则∠A的度数为　 　°．

16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　 　．

三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
18．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

19．一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．

21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．
（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；
（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为 　 　．

22．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．

23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，设购买甲消毒液a桶，购买两种消毒液的总费用为W，写出W与a之间的函数关系式．
24．如图，P为△ABC外角∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
（1）求证：PE＝PF．
（2）若四边形ABPC的面积为20，且PD＝4，求AB+AC的长．

25．为迎接“五四青年节”某学校组织了一次野外长跑活动．参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

26．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．



参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。）
1．“三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角”这一事件是（　　）
A．随机事件 B．必然事件 C．不可能事件 D．以上都不是
【分析】根据三角形内角和定理和必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答》
解：三角形的外角大于任何一个和它不相邻的一个内角是必然事件，
故选：B．
【点评】本题考查的是三角形的内角和定理、必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．如图，AB∥CD，AD⊥AC，∠BAD＝35°，则∠ACD＝（　　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
【分析】由AD⊥AC知∠CAD＝90°，由AB∥CD知∠DCA+∠CAB＝180°，结合∠BAD＝35°得∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠BAD，据此可得答案．
解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠DCA+∠CAB＝180°，
又∵∠BAD＝35°，
∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠BAD＝55°，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行线的性质和垂线的定义，解题的关键是掌握两直线平行同旁内角互补的性质．
3．已知方程组的解满足x﹣y＝2，则k的值是（　　）
A．k＝﹣1 B．k＝1 C．k＝3 D．k＝5
【分析】对于方程组，利用①﹣②得到x﹣y＝1﹣k+2＝﹣k+3，而x﹣y＝2，则﹣k+3＝2，然后解关于k的一次方程即可．
解：，
①﹣②得x﹣y＝1﹣k+2＝﹣k+3，
∵x﹣y＝2，
∴﹣k+3＝2，
∴k＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．也考查了整体思想的运用．
4．投掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析可得掷一枚骰子，共6种情况，其中是3的倍数的有3、6，2种情况，由概率公式可得答案．
解：根据题意，掷一枚骰子，共6种情况，
其中是3的倍数的有3、6，2种情况，
故其概率为；
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，其计算方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．
5．如图，O是△ABC的∠ABC，∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC＝16，则△ODE的周长是（　　）

A．16 B．10 C．8 D．以上都不对
【分析】由BO为∠ABC的平分线，得到一对角相等，再由OD与AB平行，根据两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换得到∠DBO＝∠DOB，再由等角对等边得到OD＝BD，同理OE＝CE，然后利用三边之和表示出三角形ODE的周长，等量代换得到其周长等于BC的长，由BC的长即可求出三角形ODE的周长．
解：∵BO平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠DBO，
又OD∥AB，
∴∠ABO＝∠DOB，
∴∠DBO＝∠DOB，
∴OD＝BD，
同理OE＝CE，
∵BC＝16，
则△ODE的周长c＝OD+DE+OE＝BD+DE+EC＝BC＝16．
故选：A．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
6．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分∠ACB，若BE＝4，则AE的长为（　　）

A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EC＝EB＝4，根据直角三角形的性质计算即可．
解：∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC＝EB＝4，
∴∠ECB＝∠B＝30°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ECB＝∠ACE＝30°，
∴∠A＝90°，又∠ACE＝30°，
∴AE＝EC＝2，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
7．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？意思是：现有几个人共同购买一件物品，每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱，求物品的价格和共同购买该物品的人数．设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，则根据题意，列出的方程组是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，由“每人出8钱，则多3钱；每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
解：设该物品的价格是x钱，共同购买该物品的有y人，
依题意，得：．
故选：B．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．如图，AB∥EF，BC⊥CD，则∠α，∠β，∠γ之间的关系是（　　）

A．∠β＝∠α+∠γ B．∠α+∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β﹣∠γ＝90° D．∠β+∠γ﹣∠α＝90°
【分析】分别过C、D作AB的平行线CM和DN，由平行线的性质可得到∠α+∠β＝∠C+∠γ，可求得答案．
解：如图，分别过C、D作AB的平行线CM和DN，

∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠α＝∠BCM，∠MCD＝∠NDC，∠NDE＝∠γ，
∴∠α+∠β＝∠BCM+∠CDN+∠NDE＝∠BCM+∠MCD+∠γ，
又BC⊥CD，
∴∠BCD＝90°，
∴∠α+∠β＝90°+∠γ，
即∠α+∠β﹣∠γ＝90°，
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
9．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上以相同速度由点C向点A运动，一个到达终点后另一个点也停止运动，当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是（　　）

A．t＝1s B．t＝s
C．s D．t＝s或t＝s
【分析】根据等边对等角知∠B＝∠C，由△BDP与△CPQ全等，分BD＝PC，BP＝CQ时或BD＝CQ，BP＝PC时，两种情况分别讨论．
解：∵点D为AB的中点，
∴BD＝AB＝5cm，
设点P、Q的运动时间为t秒，则BP＝CQ＝3tcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵△BDP与△CPQ全等，
∴当BD＝PC，BP＝CQ时，
∴5＝8﹣3t，
∴t＝1
当BD＝CQ，BP＝PC时，
∴5＝3t且3t＝8﹣3t，
解得t＝且t＝（舍），
综上：当△BDP与△CPQ全等时，点P运动的时间是1秒，
故选：A．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，根据对应边分情况讨论是解题的关键．
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，△ABC面积为10，则BM+MD长度的最小值为（　　）

A． B．3 C．4 D．5
【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．
解：由作法得EF垂直平分AB，
∴MB＝MA，
∴BM+MD＝MA+MD，
连接MA、DA，如图，
∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），
∴MA+MD的最小值为AD，
∵AB＝AC，D点为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵S△ABC＝•BC•AD＝10，
∴AD＝＝5，
∴BM+MD长度的最小值为5．
故选：D．

【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了等腰三角形的性质．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.请直接填写答案.）
11．在不透明的盒子中装有5个黑色棋子和若干个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，则白色棋子的个数是 　15　．
【分析】黑色棋子除以相应概率算出棋子的总数，减去黑色棋子的个数即为白色棋子的个数；
解：5÷﹣5＝15．
∴白色棋子有15个；
故答案为：15．
【点评】本题主要考查了概率的求法，概率＝所求情况数与总情况数之比．
12．将含30°角的一个直角三角板和一把直尺（两边a∥b）如图放置，若∠1＝50°，则∠2的度数为 　110°　．

【分析】根据平行线的性质和三角形的外角的性质即可得到结论．
解：∵AB∥CD，

∴∠ABE＝∠1＝50°，
又∵∠2是△ABE的外角，
∴∠2＝∠ABE+∠E＝50°+60°＝110°，
故答案为：110°．
【点评】此题考查了平行线的性质和外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．
13．已知是方程组的解，则3a﹣b＝　5　．
【分析】首先把方程组的解代入方程组，即可得到一个关于a，b的方程组，①+②即可求得代数式的值．
解：∵是方程组的解，
∴，
①+②得，3a﹣b＝5，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了方程组的解的定义，求得3a﹣b的值是解题的关键．
14．若等腰△ABC的一个外角等于130°，则该三角形的顶角等于 　50°或80°　．
【分析】根据等腰三角形的一个外角等于130°，进行讨论可能是底角的外角是130°，也有可能顶角的外角是130°，从而求出答案．
解：①当130°的外角是底角的外角时，底角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角度数是180°﹣50°﹣50°＝80°；
②当130°的外角是顶角的外角时，顶角为：180°﹣130°＝50°，
∴顶角为50°或80°．
故答案为：50°或80°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形外角的性质，能根据题意进行分类讨论求解是解题的关键．
15．如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于点E，CE的垂直平分线正好经过点B，与AC相交于点F，则∠A的度数为　36　°．

【分析】先利用垂直平分线的性质和平角的意义得出∠C＝2∠A，再利用等腰三角形ABC的内角和定理建立方程即可得出结论．
解：如图，连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝∠AED＝90°﹣∠A，
∵BF是CE的垂直平分线，
∴BC＝BE，
∴∠BEF＝∠C，
∵∠AED+∠BED+∠BEF＝180°，
∴2（90°﹣∠A）+∠C＝180°，
∴∠C＝2∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵∠A+∠C+∠ABC＝180°，
∴∠A+∠C+∠C＝∠A+2∠C＝180°，
∴∠A+2×2∠A＝180°，
∴∠A＝36°，
故答案为：36．
【点评】此题主要考查了三角形内角和定理，垂直平分线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出∠C＝2∠A．
16．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△AnBnAn+1的边长为　2n﹣1　．

【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及A2B2＝2B1A2，得出A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2…进而得出答案．
解：∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1＝A2B1，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA1＝A1B1＝1，
∴A2B1＝1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，
∴A3B3＝4B1A2＝4，
A4B4＝8B1A2＝8，
A5B5＝16B1A2＝16，
以此类推：△AnBnAn+1的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．

【点评】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出A3B3＝4B1A2，A4B4＝8B1A2，A5B5＝16B1A2进而发现规律是解题关键．
三、解答题（本大题共10小题，共86分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．解方程组：
（1）；
（2）．
【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）用加减消元法解二元一次方程组即可．
解：（1），
①+②，得x＝6，
将x＝6代入①，得y＝4，
∴方程组的解为；
（2），
①×2+②×3，得x＝2，
将x＝2代入①，得y＝﹣1，
∴方程组的解为．
【点评】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握加减消元法和代入消元法解二元一次方程组是解题的关键．
18．如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，求证：∠A＝∠F．

【分析】根据对顶角相等推知∠EHF＝∠AHC，再根据∠AGB＝∠EHF证得∠AGB＝∠AHC，从而证得两直线DB∥EC；然后由平行线的性质得到∠FEC＝∠D，再根据∠C＝∠D证得∠FEC＝∠C，即可根据平行线的判定定理，推知两直线DF∥AC，最后由平行线的性质，证得∠A＝∠F．
【解答】证明：∵∠EHF＝∠AHC，∠AGB＝∠EHF，
∴∠AGB＝∠AHC，
∴DB∥EC，
∴∠FEC＝∠D，
∵∠C＝∠D，
∴∠FEC＝∠C，
∴DF∥AC，
∴∠A＝∠F．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
19．一个口袋中放有290个涂有红、黑、白三种颜色的质地相同的小球．若红球个数是黑球个数的2倍多40个．从袋中任取一个球是白球的概率是．
（1）求袋中红球的个数；
（2）求从袋中任取一个球是黑球的概率．
【分析】（1）先根据概率公式求出白球的个数为10，进一步求得红、黑两种球的个数和为280，再根据红球个数是黑球个数的2倍多40个，可得黑球个数为（280﹣40）÷（2+1）＝80个，进一步得到红球的个数；
（2）根据概率公式可求从袋中任取一个球是黑球的概率．
解：（1）290×＝10（个），
290﹣10＝280（个），
（280﹣40）÷（2+1）＝80（个），
280﹣80＝200（个）．
故袋中红球的个数是200个；
（2）80÷290＝．
答：从袋中任取一个球是黑球的概率是．
【点评】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
20．如图，已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE是高，BD与CE相交于点O
（1）求证：OB＝OC；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．

【分析】（1）首先根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，然后利用高线的定义得到∠ECB＝∠DBC，从而得证；
（2）首先求出∠A的度数，进而求出∠BOC的度数．
【解答】（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BD、CE是△ABC的两条高线，
∴∠BEC＝∠BDC＝90°
∴△BEC≌△CDB
∴∠DBC＝∠ECB，
∴OB＝OC；
（2）∵∠ABC＝50°，AB＝AC，
∴∠A＝180°﹣2×50°＝80°，
∵∠DOE+∠A＝180°
∴∠BOC＝∠DOE＝180°﹣80°＝100°．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；关键是掌握等腰三角形的性质．
21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．
（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；
（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为 　8　．

【分析】（1）作∠B的平分线即可；
（2）根据勾股定理求出BC，再根据三角形全等的性质进行边的转化求解．
解：（1）如图：点D即为所求；

（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，
∴BC＝8，
∴AD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABD，
∵∠C＝90°＝∠BED，
∴△BCD≌△BED（AAS），
∴CD＝DE，BC＝BE，
∴EA＝BA﹣BE＝BA﹣CB＝2，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝6+2＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了基本作图，掌握角平分线的性质是解题的关键．
22．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．
（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．
（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．

【分析】（1）根据三角形的内角和是180°，可求∠CDO＝40°，所以∠CDF＝20°，又由平角定义，可求∠ACD＝130°，所以∠ECD＝65°，又根据三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，可求∠ECD＝∠F+∠CDF，∠F＝45度．
（2）同理可证，∠F＝45度．
解：（1）∵∠AOB＝90°，∠OCD＝50°，
∴∠CDO＝40°．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝65°，∠CDF＝20°．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．

（2）不变化，∠F＝45°．
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°﹣∠OCD，∠ACD＝180°﹣∠OCD．
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝90°﹣∠OCD，∠CDF＝45°﹣∠OCD．
∵∠ECD＝∠F+∠CDF，
∴∠F＝45°．

【点评】本题考查了三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和，以及三角形的内角和是180°的定理．题目难度由浅入深，由特例到一般，是学生练习提高的必备题．
23．某学校要购买甲、乙两种消毒液，用于预防新型冠状病毒，若购买9桶甲消毒液和6桶乙消毒液，则一共需要615元；若购买8桶甲消毒液和12桶乙消毒液，则一共需要780元．
（1）每桶甲消毒液、乙消毒液的价格分别是多少元？
（2）若该校计划购买甲、乙两种消毒液共30桶，设购买甲消毒液a桶，购买两种消毒液的总费用为W，写出W与a之间的函数关系式．
【分析】（1）设每桶甲消毒液的价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，根据两种购买分式建立方程组，解方程组即可得；
（2）先求出购买乙消毒液的数量为（30﹣a）桶，再根据“总费用＝每桶甲消毒液的价格×甲消毒液的数量+每桶乙消毒液的价格×乙消毒液的数量”、并求出a的取值范围即可得．
解：（1）设每桶甲消毒液的价格为x元，每桶乙消毒液的价格为y元，
由题意得：，
解得，
答：每桶甲消毒液的价格为45元，每桶乙消毒液的价格为35元．
（2）由题意得：购买乙消毒液的数量为（30﹣a）桶，
则W＝45a+35（30﹣a）＝10a+1050，
∵，
∴0＜a＜30，
所以W与a之间的函数关系式为W＝10a+1050（0＜a＜30）．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．
24．如图，P为△ABC外角∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F．
（1）求证：PE＝PF．
（2）若四边形ABPC的面积为20，且PD＝4，求AB+AC的长．

【分析】（1）根据角平分线的性质得出PD＝PE，PD＝PF，即可证明结论；
（2）连接AP，根据四边形ABPC的面积为20，得出S△ABP+S△ACP＝20，即AB•PE+AC•PF＝20，根据PE＝PF＝PD＝4，得出AB+AC＝10．
【解答】（1）证明：∵P为∠CBM，∠BCN的平分线的交点，PD⊥BC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PD＝PE，PD＝PF，
∴PE＝PF；
（2）解：如图，连接AP，

∵四边形ABPC的面积为20，
∴S△ABP+S△ACP＝20，
∴AB•PE+AC•PF＝20，
由（1）知PE＝PF＝PD＝4，
∴AB•PD+AC•PD＝20，
即PD•（AB+AC）＝20，
∴2（AB+AC）＝20，
∴AB+AC＝10．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等．
25．为迎接“五四青年节”某学校组织了一次野外长跑活动．参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威．如图，线段L1，L2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y（千米）随时间x（分钟）变化的函数图象．根据图象，解答下列问题：
（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

【分析】（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式；
（2）联立两函数解析式成方程组，通过解方程组即可得出交点的坐标，此题得解．
解：（1）设长跑的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝kx，
将（60，10）代入y＝kx中，
10＝60k，解得：k＝，
∴长跑的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝x；
设骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝mx+n，
将（20，0）、（40，10）代入y＝mx+n中，
，解得：，
∴骑自行车的同学的行进路程y与时间x的函数表达式为y＝x﹣10．
（2）联立两函数表达式成方程组，
，解得：，
∴两函数图象交点的坐标为（30，5）．
答：长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学．
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及解二元一次方程组，解题的关键是：（1）观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）联立两函数关系式成方程组，通过解方程组求出交点的坐标．
26．如图，点O是等边△ABC内的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，以OC为一边作等边△OCD，使△OCD和△ABC在直线BC的同侧，连接AD．
（1）△ADC与△BOC全等吗？说明你的理由；
（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（3）当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？请直接写出答案．

【分析】（1）根据等边三角形性质得出∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，求出∠ACD＝∠BCO，根据SAS可证△ADC≌△BOC；
（2）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（3）分三种情况讨论，利用已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
解：（1）△ADC≌△BOC，
理由如下：∵△ABC和△ODC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠CAB＝∠ODC＝∠DOC＝60°，BC＝AC，CO＝CD，∠ACB＝∠DCO＝60°，
∴∠ACB﹣∠ACO＝∠DCO﹣∠ACO，
∴∠ACD＝∠BCO，
在△BOC和△ADC中，
，
∴△BOC≌△ADC（SAS）；
（2）△ADO是直角三角形，
理由如下：∵△OCD是等边三角形，
∴OC＝CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，
∵∠ACB＝∠OCD＝60°，
∴∠BCO＝∠ACD，
∴△BOC≌△ADC（SAS），
∴∠BOC＝∠ADC，
∵∠BOC＝α＝150°，∠ODC＝60°，
∴∠ADO＝150°﹣60°＝90°，
∴△ADO是直角三角形；
（3）∵△OCD是等边三角形，
∴∠COD＝∠ODC＝60°．
∵∠AOB＝110°，∠ADC＝∠BOC＝α，
∴∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠BOC﹣∠COD＝360°﹣110°﹣α﹣60°＝190°﹣α，
∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝α﹣60°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOD﹣∠ADO＝180°﹣（190°﹣α）﹣（α﹣60°）＝50°．
①当∠AOD＝∠ADO时，190°﹣α＝α﹣60°，
∴α＝125°．
②当∠AOD＝∠OAD时，190°﹣α＝50°，
∴α＝140°．
③当∠ADO＝∠OAD时，
α﹣60°＝50°，
∴α＝110°．
综上所述：当α＝110°或125°或140°时，△AOD是等腰三角形．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和全等三角形的性质等知识，根据等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．