河北省衡水中学2016届高三下学期一模考试数学（文）试题

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一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，若，则实数的取值范围是（   ）A．      B．      C．     D．【答案】D考点：集合的运算.2.如图，在复平面内，复数对应的向量分别是，则（   ）A．2     B．3     C．     D．[来源:学|科|网]【答案】A【解析】试题分析：由题意得，，所以，故选A.考点：复数的表示与复数的模.3.已知平面直角坐标系内的两个向量，，且平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则的取值范围是（   ）A．      B．     C．     D．【答案】D【解析】试题分析：由题意得，平面内的任一向量都可以唯一的表示成（为实数），则一定不共线，所以，解得，所以的取值范围是，故选D.考点：向量的坐标运算.4.如图所示的是计算的值的一个框图，其中菱形判断框内填入的条件是（   ）A．     B．     C．   D．【答案】C考点：循环结构的程序框图的计算.5.将函数的图像向左平移个单位（），若所得图像对应的函数为偶函数，则的最小值是（   ）A．      B．     C．      D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，函数，将函数的图象向左平移个单位（），得，若使得为偶数，则,当时，，故选A.考点：三角函数的图象变换与三角函数的性质.6.已知等比数列中，，则的值为（  ）A． 2    B． 4    C． 8    D．16【答案】B【解析】试题分析：由题意得，，所以，因为，所以，所以，又，故选B.考点：等比数列的通项公式的应用.7.某书法社团有男生30名，女生20名，从中抽取一个5人的样本，恰好抽到了2名男生和3名女生①该抽样一定不是系统抽样；②该抽样可能是随机抽样；③该抽样不可能是分层抽样；④男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率，其中说法正确的为（   ）A．①②③      B．②③      C． ③④     D．①④ 【答案】B考点：抽样的应用.8.已知点在椭圆，点满足（其中为坐标原点，为椭圆的左焦点），则点的轨迹为（   ）A．圆      B．抛物线     C．双曲线     D．椭圆【答案】D【解析】试题分析：因为点满足（其中为坐标原点，所以点是的中点，设，由于为椭圆的左焦点，则，故，由点在椭圆上，则点的轨迹方程为，故选D.考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质.9.已知一个几何体的三视图的如图所示，则该几何体的体积为（   ）A．     B．     C．     D．【答案】B考点：几何体的三视图及体积的计算.10.三棱锥中，平面，，则该三棱锥外接球的表面积为（   ）A．     B．     C．     D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，平面，，所以平面是三棱锥的外接圆的直径，因为中，，所以，可得外接球的半径为，所外接球的表面积为，故选A.考点：球的组合体及球的表面积公式.【方法点晴】本题主要考查了特殊三棱锥中求外接球的表面积，着重考查了直线与平面垂直的判定与性质、勾股定理和球的表面积公式，同时考查了推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据题意，证得平面是三棱锥的外接圆的直径，利用勾股定理几何体题中数据算得球的直径，得到球的半径，即可求解球的表面积.11.若函数，函数，则的最小值为（   ）A．     B．     C．     D．【答案】B考点：利用导数研究曲线在某点处的切线；利用导数求闭区间上函数的最值.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线、利用导数求闭区间上函数的最值，体现了导数的综合应用，其中利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键，同时着重考查了转化与化归思想和数形结合思想的应用，本题的解答中根据平移切线法，求出和直线平行的切线或切点，利用点到直线的距离公式即可求解结论.12.已知，且，则存在，使得的概率为（   ）A．     B．     C．     D．【答案】考点：简单的线性规划的应用.【方法点晴】本题主要考查了简单的线性规划的应用，属于中档试题，着重考查了转化与化归的思想和数形结合思想的应用，本题的解答中作出不等式组表示的平面区域，利用辅助角公式将条件进行化简，转化为，对应的图象是以为圆心，半径的圆的外部，求出对应饿平面区域的面积即可求得结论.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）[来源:Zxxk.Com]13.已知，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是            .【答案】考点：充分不必要条件的应用．14.已知函数的值域是，则实数的取值范围是            .【答案】【解析】试题分析：由题意得，函数的值域是，则当时，函数的值域是，显然成立；当时，则，解得或，综上可知实数的取值范围是.考点：函数的值域及二次函数的性质.15.若点是以为焦点的双曲线上一点，满足，则，则次双曲线的离心率为            .【答案】考点：双曲线的定义及简单的几何性质.【方法点晴】本题主要考查了双曲线的定义及其简单的几何性质、离心率的求解，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力，解答的关键是抓住要求离心率的定义，利用题设条件建立的关系式，即可求解的值，得到双曲线的离心率，本题的解答中根据双曲线的定义和题设条件，可得，在直角三角形中，利用勾股定理得到的关系式.16.已知函数的最大值为3，的图像与轴的交点坐标为，其相邻两条对称轴间的距离为2，则            .[来源:]【答案】【解析】试题分析：因为的最大值为，所以，所以，根据函数相邻两条对称轴间的距离为，可得函数的最小正周期为，即，所以，故函数的解析式为，所以 .考点：二倍角公式；三角函数的图象与性质.【方法点晴】本题主要考查了二倍角公式、三角函数的图象与性质，着重考查分析问题、解答问题的能力和运算能力，属于中档试题，本题的解答中，由函数的最值求出的值，在根据相邻两条对称轴间的距离，求出函数的周期，确定的值，根据特殊点的坐标求解的值，确定函数的解析式，再利用三角函数的周期性求解相应式子的值.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且首项．（1）求证：是等比数列；（2）若为递增数列，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1），，数列是公比为2，首项为的等比数列；（2）由（1）得，时，为递增数列，时，时，，的取值范围是.考点：等比数列的定义及等比数列的性质的应用.18．（本小题满分12分）去年年底，某商业集团公司根据相关评分细则，对其所属25家商业连锁店进行了考核评估.将各连锁店的评估分数按分成四组，其频率分布直方图如下图所示，集团公司依据评估得分，将这些连锁店划分为四个等级，等级评定标准如下表所示.（1）估计该商业集团各连锁店评估得分的众数和平均数；（2）从评估分数不小于80分的连锁店中任选2家介绍营销经验，求至少选一家等级的概率.【答案】（1），；（2）.（2）等级的频数为，记这两家分别为等级的频数为，记这四家分别为，从这6家连锁店中任选2家，共有，共有15种选法.其中至少选1家等级的选法有共9种，则，故至少选一家等级的概率为.考点：频率直方图、众数与平均数的计算；古典概型及其概率的计算.19.（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱，侧面与侧面都是菱形，.（1）求证：；（2）若，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.试题解析：（1）连接则和皆为正三角形.取中点，连接则则平面，则；（2）由（1）知，，又，所以，又，所以平面则故.考点：直线与平面垂直的判定与证明；几何体的体积的计算.20. （本小题满分12分）设抛物线的准线与轴交于点，焦点；椭圆以和为焦点，离心率.设是与的一个交点.（1）椭圆的方程；（2）直线过的右焦点，交于两点，且等于的周长，求的方程.【答案】（1）；（2）或.试题解析：（1）由题得，是椭圆的两焦点，故半焦距为1，再由离心率为知，长半轴长为2，从而的方程为；考点：椭圆的标准方程及其简单的几何性质；直线与圆锥曲线综合应用.【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质、直线与圆锥曲线综合应用，解题是要认真审题，注意椭圆的弦长公式的合理运用，着重考查了推理与运算能力和分类讨论思想的应用，本题的解答中，利用的周长为，得出弦长，可设的方程为与的方程联立，由此利用弦长公式，即可求解直线的方程.21.（本小题满分12分）已知函数的图像在点（为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.（1）求实数的值；（2）若对任意成立，求实数的取值范围；（3）当时，证明：.【答案】（1）；（2）；3）.【解析】试题分析：（1）求出的导数，由切线的斜率为，解方程，即可得到；（2）对任意成立，得对任意成立，令，则问题转化为求的最大值，运用导数，求出导数，求得单调区间，得到最大值，令不小于最大值即可；（3）令，求出导数，判断其单调性，即得是上的增函数，由，则，化简整理，即可得证.试题解析：（1）又的图像在点处的切线的斜率为3，，即（3）令，则由（2）知，在区间上增函数，，即，即，，.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数的综合应用和不等式的证明.【方法点晴】本题主要考查了导数的综合应用：求切线方程和求单调区间、极值和最值，考查不等式的恒成立问题转化为求解函数的最值，同时考查了与函数有关的不等式的证明，运用构造函数，求得导数的单调性，再由单调性证明，试题有一定的难度属于难题，着重考查了转化与化归的思想方法和构造思想的应用，对于此类问题平时要注意总结和积累.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[来源:]22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.（1）求证：；（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.[来源:]【答案】（1）证明见解析；（2）.（2）因为为圆的切线，所以又，从而解得因为，所以，所以，即.考点：圆的性质及与圆相关的比例线段.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，为极点，点.（1）求经过点的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为（是参数，为半径），若圆与圆相切，求半径的值.【答案】（1）；（2）或.试题解析：（1）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，点，过三点的圆的普通方程是即，化为极坐标方程为即；（2）圆的参数方程（是参数，为半径）化为普通方程是则圆与圆的圆心距,当圆与圆相切时，则有或，解得或.考点：参数方程与普通方程的互化；简单曲线的极坐标方程.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）解关于的不等式；（2）若函数的图像恒在函数图像的上方，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.考点：函数的恒成立；函数的值；绝对值不等式的求解.