2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期4月质量检测数学试题含解析

2022-2023学年湖北省黄冈市浠水县第一中学高二下学期4月质量检测数学试题

一、单选题

1．的展开式中的系数是（    ）

A．10 B． C． D．

【答案】D

【分析】运用二项式通项公式进行求解即可.

【详解】二项式的通项公式为：，

令，所以的展开式中的系数是，

故选：D

2．直线是曲线的一条切线，则（    ）

A． B．e C． D．

【答案】C

【分析】先求导，由切线斜率求出切点坐标，代入切线即可求出.

【详解】设切点为．∵，∴，

∴．易知曲线在点处的切线的斜率为2．

∴，∴，∴切点为．

把代入切线方程，得，∴．

故选：C．

3．设函数f（x）=+lnx ，则 （ ）

A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点

C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点

【答案】D

【详解】，

由得，

又函数定义域为，

当时，，递减，

当时，，递增，

因此是函数的极小值点．故选D．

【解析】函数的极值．

4．已知随机变量满足，则下列选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由数学期望与方差的性质求解

【详解】，得，

，得，

故选：B

5．3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（    ）

A．共有60种不同的坐法 B．空位不相邻的坐法有72种

C．空位相邻的坐法有60种 D．两端不是空位的坐法有36种

【答案】A

【分析】直接排列即可得出A项；插空法即可求出空位不相邻的坐法；捆绑法即可求出空位相邻的坐法；先选出2个空位，再将3人排好，根据分步乘法计数原理即可判断D项.

【详解】对于A项，3个人坐在一排5个座位上，不同的坐法有种 ，故A正确；

对于B项，第一步，排好这3个人有 种排法；

第二步，把2个空位插在3个人中间，故有 种插法.

根据分步乘法计数原理可得，不同的坐法有 种，故B项错误；

对于C项，先把2个空位先捆绑好，再和3人排列，所以不同的坐法有 种，故C项错误；

对于D项，第一步，从中间3个位置选出2个空位，有种选法；

第二步，将3个人排在剩余的3个位置，不同的坐法有 种.

根据分步乘法计数原理可得，不同的坐法有 种，故D项错误.

故选：A.

6．现定义，其中为虚数单位，为自然对数的底数，，且实数指数幂的运算性质对都适用，若，，那么复数等于

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】计算，结合二项式定理的展开即可得解.

【详解】

,

故选A.

【点睛】本题主要考查了二项式定理的展开与复数的新定义问题，观察出二项展开的结构是解本题的关键，属于中档题.

7．甲、乙、丙三人报考，，三所大学，每人限报一所，设事件为“三人报考的大学均不相同”，事件为“甲报考的大学与其他两人均不相同”，则概率（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用条件概率求解.

【详解】解：每人报考大学有3种选择，故总的报考方法共有种，

三人所报考的大学均不相同的报考方法有种，

甲报考的大学与其他两人均不相同的报考方法有种，

故，

故选：D

8．已知定义域为的函数满足，且，为自然对数的底数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，根据题意得到，问题转化为在恒成立，令，，根据函数的单调性求出的范围即可．

【详解】令，则，

而，故，故，

由，解得：，

故，故，

若关于的不等式恒成立，

则在恒成立，

令，，

则，

时，，，故，在递增，

时，，，，在递减，

故

故，即的取值范围是

故选：B

二、多选题

9．已知随机变量的分布列为

则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据随机变量分布列的性质可求解的值，然后再根据分布列计算数学期望即可.

【详解】由，得，则.

故选：AC.

10．已知事件A，B，且，，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】AC

【分析】利用概率的乘法公式求解即可判断A；利用条件概率的性质求解即可判断B；先求得，，再根据全概率公式求解即可C，D．

【详解】对于A，由，故A正确；

对于B，由，故B错误；

对于C，D，由，，

则，故C正确；D错误．

故选：AC．

11．如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别是一个公差为的等差数列和一个公差为的等差数列，每一行是一个公差为的等差数列．我们把这个数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列：、、、、、、、、、、，其前项和为，则下列说法正确的有（    ）（参考公式：）

A． B．第一次出现是

C．在中出现了次 D．

【答案】ACD

【分析】分析出在第行第个，求出的值，可判断A选项；根据每行最后一个数为奇数，推导出第一次出现的位置，可判断B选项；分析出在数阵中出现的行数，可判断C选项；计算出的值，可判断D选项.

【详解】对于A，，且，

故在第行第个，则，A对；

对于B，因为第行最后一个数为，该数为奇数，由，可得，

所以，第一次是出现在第行倒数第个，

因为，即第一次出现是，B错；

对于C，因为第一次是出现在第行倒数第个，在第行至第行，在每行中各出现一次，

故在中出现了次，C对；

对于D选项，设第行的数字之和为，则，

故

，D对.

故选：ACD.

12．已知函数，下面选项正确的有（    ）

A．的最小值为

B．时，

C．

D．若不等式有且只有2个正整数解，则

【答案】BD

【分析】利用导数讨论函数的单调性，结合图形求出函数的最值，即可判断AB；利用导数讨论函数的性质，结合裂项相消法即可证明不等式，从而判断C；根据不等式有解，结合图形列出不等式，解之即可判断D.

【详解】A：，

令且，令，

所以函数在和上单调递减，在上单调递增，如图，

所以函数没有最小值，故A错误；

B：当时，，

设，则，

所以函数在上单调递增，且，

所以，即，故B正确；

C：设，则，

又，所以当时，，即.

令，则，得，

有，即，

所以

，故C错误；

D：作出函数图象和直线，如图，

由不等式有两个正整数解知，，

即，故D正确.

故选：BD.

【点睛】函数中与正整数有关的不等式，其实质是利用函数性质证明数列不等式，证明此类问题时常根据已知的函数不等式构造新函数，利用导数研究新函数的性质，用关于正整数的不等式替代函数不等式中的自变量，通过多次求和达到证明的目的.

三、填空题

13．函数，的单调递减区间为______．

【答案】

【分析】根据导数的符号求解即可.

【详解】当时，，

所以的单调递减区间为.

故答案为：

14．接种流感疫苗能有效降低流行感冒的感染率，某学校的学生接种了流感疫苗，已知在流感高发时期，未接种疫苗的感染率为，而接种了疫苗的感染率为.现有一名学生确诊了流感，则该名学生未接种疫苗的概率为___________

【答案】

【分析】根据条件概率公式求解即可.

【详解】设事件“感染流行感冒”，事件“未接种疫苗”，

则，，

故.

故答案为：．

15．某高校大一新生中的6名同学打算参加学校组织的“雅荷文学社”、“青春风街舞社”、“羽乒协会”、“演讲团”、“吉他协会”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团且每个社团至多两人参加，则这6个人中至多有1人参加“演讲团”的不同参加方法数为________．

【答案】5040

【分析】参加“演讲团”人数分为有1人或无人的情况，而每种情况又各自包含2种情况，分别求出对应的方法数，结合计数原理计算即可.

【详解】若有人参加“演讲团”，则从人选人参加该社团，其余人去剩下个社团，人数安排有种情况：和，

故人参加“演讲团”的不同参加方法数为；

若无人参加“演讲团”，则人参加剩下个社团，人数安排安排有 种情况：和，故无人参加“演讲团”的不同参加方法数为，

故满足条件的方法数为，

故答案为：5040

16．已知函数，若有两个不同的极值点，且，则的取值范围为______．

【答案】

【分析】先求得函数的导函数，则方程有两个异号零点，且，构造新函数，利用导数求得其单调性，进而求得的取值范围.

【详解】，则

令，由，可得为偶函数，

 则

则当时，，单调递增；

当时，，单调递减，

又，

由题意得方程有两个互为相反数的零点，且

则的取值范围为

故答案为：

四、解答题

17．已知函数的导函数为，且满足.

(1)求及的值；

(2)求在点处的切线方程.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）由题设，代入即可求，进而求出.

（2）根据导数的几何意义，结合（1）的结果，应用点斜式写出切线方程.

【详解】（1）由题设，，故，可得，

所以.

（2）由（1）知：切点为且切线斜率为，

所以切线方程为，即.

18．把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们由小大到的顺序排成一个数列.

(1)求是这个数列的第几项；

(2)求这个数列的所有项和.

【答案】(1)第项

(2)3999960

【分析】（1）求出所有的五位数个数为，分类求出大于的五位数个数，相减即可得出答案；

（2）先得出各在万位上时都有个五位数，可得所有的五位数万位数字之和为360.同理可求得其他各位，即可得出答案.

【详解】（1）间接法：

所有的五位数个数为.

大于的数可分为以下三类：

第一类：以5开头的个数；

第二类：以45开头的个数有；

第三类：以435开头的个数有.

故不大于的五位数的个数有，即是第项.

（2）各在万位上时都有个五位数，

所以万位字的和为.

同理可得，在千位、百位、十位、个位上也有个五位数，

所以，这个数列的所有项和为.

19．已知展开式的二项式系数和为512，且

(1)求的值；

(2)求被6整除的余数.

【答案】(1)144

(2)5

【分析】（1）由已知求出，然后变形根据的展开式通项，即可得出答案；

（2）代入可得，只需得出，即被6整除的余数，即可得出答案.

【详解】（1）由已知可得， ，解得.

将变形可得，

该式展开的通项为，，

由可得，，所以.

（2）由已知可得，.

显然能被6整除，

且，

所以，被6整除的余数为5.

20．已知函数的图象在处的切线方程为.

(1)求，的值；

(2)求在上的最值.

【答案】(1)

(2)最大值为，最小值为

【分析】（1）由题意先求的导函数，利用导数的几何意义和切点的实质，建立的方程求解即可.

（2）求的导函数，确定函数的单调性，即可求函数在上的最值.

【详解】（1）因为，所以，

又的图象在处的切线方程为，所以

解得

（2）由（1）可知，，

则当时，；当时，，

故在为增函数，在上为减函数，

又，

所以在上的最大值为，最小值为.

21．4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”．为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成，，，，，，，，九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．

(1)从这500名学生中随机抽取一人，日平均阅读时间在内的概率；

(2)为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在内的学生人数为X，求X的分布列和数学期望.

【答案】(1)0.20

(2)分布列见解析，

【分析】（1）根据频率分布直方图求出，即可得出答案；

（2）先求出各组的学生数，然后根据分层抽样得出日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为4.然后根据超几何分布，求出的分布列，得出期望.

【详解】（1）由频率分布直方图得：，

解得，

所以，日平均阅读时间在内的频率为，

所以日平均阅读时间在内的概率为0.20.

（2）由频率分布直方图得，

这500名学生中日平均阅读时间在内的学生人数为人，

日平均阅读时间在内的学生人数为人，

日平均阅读时间在内的学生人数分别为人.

若采用分层抽样的方法抽取了10人，

则从日平均阅读时间在内的学生中抽取的人数为.

现从这10人中随机抽取3人，则的可能取值为0，1，2，3，

，，，.    

所以的分布列为

所以，数学期望.

22．已知函数.

（1）当时，证明不等式；

（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）证明见详解；（2）

【分析】（1）将代入，求出，记，利用导数判断函数的单调性，求出函数的最大值，即可.

（2）将不等式转化为在恒成立，构造函数，根据单调性可得，只需恒成立，记，利用导数求出即可.

【详解】（1）当时，，函数的定义域为

所以，

记，

所以，

当时，，单调递减，

又因为，，

所以存在，使得，

所以当时，，即，

当时，，即，

所以，

又因为，

所以，

即，所以，即证.

（2）不等式恒成立等价于在恒成立，

即在恒成立，

也就是在恒成立，

构造函数，，

所以在单调递增，

所以，

即，

记，

所以，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

所以，

所以，故实数的取值范围.

【点睛】本题考查了利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立，考查了转化与划归的思想，属于难题.