2023年山东省聊城市莘县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年山东省聊城市莘县中考数学二模试卷（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年山东省聊城市莘县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 北京冬奥会和冬残奥会组委会收到来自全球的会徽设计方案共件，其中很多设计方案体现了对称之美．以下幅设计方案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
2. 如图，用一个平面截长方体，得到如图的几何体，它在我国古代数学名著九章算术中被称为“堑堵”图“堑堵”的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.


3. 神舟十三号飞船在近地点高度，远地点高度的轨道上驻留了个月后，于年月日顺利返回．将数字用科学记数法表示为(    )
A. B. C. D.
4. 某城市几条道路的位置关系如图所示，道路，道路与的夹角城市规划部门想新修一条道路，要求，则的度数为(    )


A. B. C. D.
5. 如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为(    )

A. B. C. D.
6. 一次函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象是(    )
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，，分别以点、为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于，，作直线，为的中点，为直线上任意一点若，面积为，则长度的最小值为(    )
A.
B.
C.
D.
8. 我国古代数学名著孙子算经中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺，问木条长多少尺？如果设木条长尺，绳子长尺，那么可列方程组为(    )
A. B. C. D.
9. 如图，在边长为的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为(    )
A.
B.
C.
D.


10. 二次函数的复习课中，夏老师给出关于的函数为实数，夏老师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论性质写到黑板上．
学生独立思考后，黑板上出现了一些结论，夏老师作为活动一员，又补充了一些结论，并从中选择了如下四条：
存在函数，其图象经过点；
存在函数，该函数的函数值始终随的增大而减小；
函数图象有可能经过两个象限；
若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数．
上述结论中正确的为(    )
A. B. C. D.
11. 如图，在四边形中，，，、同时从出发，以每秒单位长度分别沿和方向运动至相遇时停止，设运动时间为秒，的面积为平方单位，与的函数图象如图所示，则下列结论错误的个数                      (    )
当秒时，            
当时，       当秒时，平分四边形的面积．

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
12. 将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式根据“降次法”，已知：，且，则的值为(    )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
13. 若关于的不等式组仅有个整数解，则的取值范围是______ ．
14. 从，，，，中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为______ ．
15. 如图，、区域为驾驶员的盲区，驾驶员视线与地面的夹角，视线与地面的夹角，点，为视线与车窗底端的交点，，，，若点到点的距离，则盲区中的长度是______ 米
参者数据：，，，

16. 如图，为半的直径，为半圆弧的三等分点，过，两点的半的切线交于点，若的长是，则的长是______ ．


17. 规定：在平面直角坐标系中，一个点作“”变换表示将它向右平移一个单位，一个点作“”变换表示将它绕原点顺时针旋转，由数字和组成的序列表示一个点按照上面描述依次连续变换例如：如图，点按序列“”作变换，表示点先向右平移一个单位得到，再将绕原点顺时针旋转得到，再将绕原点顺时针旋转得到依次类推点经过“”变换后得到点的坐标为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
19. 本小题分
如图，线段与分别为的中位线与中线．
求证：与互相平分；
当线段与满足怎样的数量关系时，四边形为矩形？请说明理由．





20. 本小题分
年月日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准年版，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表．
等级
时长单位：分钟
人数
所占百分比
















根据图表信息，解答下列问题：
本次调查的学生总人数为______，表中的值为______；
该校共有名学生，请你估计等级为的学生人数；
本次调查中，等级为的人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

21. 本小题分
如图，直线分别交轴、轴于、两点，与双曲线在第二象限内的交点为，轴于点，且．
求双曲线的关系式；
设点是双曲线上的一点，且的面积是的面积的倍，求点的坐标．

22. 本小题分
某运输公司有、两种货车，辆货车与辆货车一次可以运货吨，辆货车与辆货车一次可以运货吨．
请问辆货车和辆货车一次可以分别运货多少吨？
目前有吨货物需要运输，该运输公司计划安排、两种货车将全部货物一次运完、两种货车均满载，其中每辆货车一次运货花费元，每辆货车一次运货花费元请你列出所有的运输方案，并指出哪种运输方案费用最少．
23. 本小题分
年北京冬奥会的成功举办激发了人们对冰雪运动的热情．如图是某滑雪场的横截面示意图，雪道分为，两部分，小明同学在点测得雪道的坡度：，在点测得点的俯角若雪道长为，雪道长为．
求该滑雪场的高度；
据了解，该滑雪场要用两种不同的造雪设备来满足对于雪量和雪质的不同要求，其中甲设备每小时造雪量比乙设备少，且甲设备造雪所用的时间与乙设备造雪所用的时间相等．求甲、乙两种设备每小时的造雪量．

24. 本小题分
如图，在中，是直径，弦，垂足为，为上一点，为弦延长线上一点，连接并延长交直径的延长线于点，连接交于点，若．
求证：是的切线；
若的半径为，，求的长．

25. 本小题分
综合与探究
如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过坐标原点，与抛物线的一个交点为，与抛物线的对称轴交于点，连接，已知点，的坐标分别为，．
求抛物线的函数表达式，并分别求出点和点的坐标；
试探究抛物线上是否存在点，使≌？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由；
若点是轴负半轴上的一个动点，设其坐标为，直线与直线交于点，试探究：当为何值时，是等腰三角形．


答案和解析

1.【答案】 
【解析】解：是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．

2.【答案】 
【解析】解：图“堑堵”从上面看，是一个矩形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．

3.【答案】 
【解析】解：，
故选：．
根据把一个大于的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数，是正整数，这种记数法叫做科学记数法即可得出答案．
本题考查了科学记数法表示较大的数，掌握的指数比原来的整数位数少是解题的关键．

4.【答案】 
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故选：．
先根据平行线的性质，由得到，根据等腰三角形的性质得出，再根据三角形外角性质计算的度数．
本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质，熟记等腰三角形的性质、平行线的性质是解题的关键．

5.【答案】 
【解析】解：，，
矩形的面积为，，
，
对角线，交于点，
的面积为矩形面积的，
的面积，
，，
，即，
，
，
，
故选：．
本题主要考查了矩形的性质、三角形的面积、勾股定理．依据矩形的性质即可得到的面积为，再根据，即可得到的值．

6.【答案】 
【解析】解：分两种情况：
当，时，一次函数的图象过第一、二、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合；
当，时，一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确．
故选：．
根据一次函数与反比例函数图象的特点，可以从，和，两方面分类讨论得出答案．
本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

7.【答案】 
【解析】解：连接，交直线于点，设交于点，
由题意得，直线为线段的垂直平分线，
，，
当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长．
，为的中点，
，
，面积为，
，
解得．
故选：．
连接，交直线于点，设交于点，当点与点重合时，长度最小，最小值即为的长，结合已知条件求出即可．
本题考查作图基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称最短路径问题是解答本题的关键．

8.【答案】 
【解析】解：用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
；
将绳子对折再量木条，木条剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

9.【答案】 
【解析】解：设与为直径的半圆切于点，
四边形为正方形，
，
、分别与为直径的半圆相切，
，，
，，
在中，，即，
解得：，
，
阴影部分的面积，
故选：．
根据切线的性质得到，根据勾股定理列出方程求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、勾股定理的应用、扇形面积计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．

10.【答案】 
【解析】解：将代入可得：，解得：，此选项正确．
当时，，该函数的函数值始终随的增大而减小；此选项正确；
当时，，经过个象限，
当时，，
抛物线必与轴相交，
图象必经过三个象限，此选项错误；
当时，函数无最大、最小值；
时，，当时，有最小值，最小值为负；当时，有最大值，最大值为正；此选项正确．
正确的是．
故选：．
将点代入函数，解出的值即可作出判断；
首先考虑，函数为一次函数的情况，从而可判断为假；
根据即可作出判断；
当时，函数为一次函数，无最大值和最小值，当时，函数为抛物线，求出顶点的纵坐标表达式，即可作出判断．
此题考查二次函数的性质，一次函数的性质，利用举特例的方法是解决问题常用方法．

11.【答案】 
【解析】解：由答图所示，动点运动过程分为三个阶段：
段，函数图象为抛物线，运动图形如答图所示．
此时点在线段上、点在线段上运动．
为等边三角形，其边长，高，
．
由函数图象可知，当秒时，，故选项A正确．

段，函数图象为直线，运动图形如答图所示．
此时点在线段上、点在线段上运动．
由函数图象可知，此阶段运动时间为，
，故选项B正确．
设直线的解析式为：，将、代入得：
，
解得，
，故选项C错误．

段，函数图象为直线，运动图形如答图所示．
此时点、均在线段上运动．
设梯形高为，则；
当时，，则，
，
，即平分梯形的面积，故选项D正确．

综上所述，错误的结论是．
故选：．
根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质，综合判断可得答案．
本题考查了动点问题的函数图象分析，有一定的难度，解题关键是结合函数图象与几何图形的性质求解．

12.【答案】 
【解析】解：，
，且，
，
，
，
故选：．
利用，得，用一元二次方程求根公式得，且，所以取，代入即可求得．
本题考查了整体降次的思想方法，但降次后得到的是的代数式，还要利用一元二次方程求根公式求出的值，代入化简后的中计算出结果．

13.【答案】 
【解析】解：，
由得，
由得，
不等式组仅有个整数解，
，
故答案为：．
先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．
本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式组的解集和已知得出结论是解此题的关键．

14.【答案】 
【解析】解：在所列的个数中任取一个数有种等可能结果，其中使抛物线的开口向上的有种结果，
使抛物线的开口向上的概率为，
故答案为：．
使抛物线的开口向上的条件是，据此从所列个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．
本题考查概率公式，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．

15.【答案】 
【解析】解：，，
，，
，
四边形是矩形，
和均为，
，
在中，
，，
，
，
在中，
，，
，
，
故答案为：．
先证明四边形是矩形，得到，然后分别在和中，利用三角函数关系求出和即可．
本题考查解直角三角形的应用，涉及到矩形的判定和性质，利用好这个桥梁是解题的关键．

16.【答案】 
【解析】解：连接、；
为半圆弧的三等分点，
；
已知、都是的切线，
由切线长定理知：；
在中，，，则；
在中，由勾股定理得：

连接、；由于是半圆的三等分点，那么，进而可由切线长定理求得；在中，根据半径的长以及的度数，可求得的值，进而可由勾股定理求得的长．
此题主要考查的知识点是：圆心角、弧、弦的关系，切线的性质、切线长定理以及解直角三角形的应用等知识，难度不大．

17.【答案】 
【解析】解：将点经过一次变换，
即先向右平移一个单位得到，
再绕点顺时针旋转得到，
再绕点顺时针旋转得到；
如此将点经过变换得到点，
再将点经过变换得到点．
故答案为：．

根据定义的规定平移再旋转即可．
本题考查了点的坐标，平移变换，旋转变换等知识，理解定义的变换方式并灵活运用是解题关键．

18.【答案】解：原式


，
当时，
原式

． 
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角三角函数值和负整数指数幂得出的值，代入计算可得．
本题主要考查分式的混合运算化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．

19.【答案】证明：点是的中点，
，
点是的中点，点是的中点，
是的中位线，
，，
，
四边形是平行四边形，
与互相平分；
解：当时，四边形为矩形，
理由：线段为的中位线，
，
，
，
由得：四边形是平行四边形，
四边形为矩形． 
【解析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，三角形的中位线定理，三角形的中线，熟练掌握三角形的中位线定理，以及矩形的判定是解题的关键．
根据线段中点的定义可得，根据三角形的中位线定理可得，，从而可得，进而可得四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质即可解答；
当时，四边形为矩形，再根据三角形的中位线定理可得，从而可得，然后利用的结论即可解答．

20.【答案】解：，  ；
人，
所以估计等级为的学生人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 
【解析】解：本次调查的学生总人数为人，
所以；
故答案为：；；
人，
所以估计等级为的学生人数为人；
画树状图为：

共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为，
所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率．
用等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用除以总人数得到的值；
用乘以等级人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求出事件或的概率．也考查了统计图．

21.【答案】解：轴于点，且，
点的横坐标为，
当时，，
点，
又点在双曲线上，
，
双曲线的关系式为；
直线分别交轴、轴于、两点，
点，点，
即，，
，
设，
由于的面积是的面积的倍，
的面积为，
即，
解得，
当时，，
当时，，
点或． 
【解析】把代入可求出点的坐标，再代入反比例函数关系式可确定的值，进而确定反比例函数关系式；
根据直线的关系式可求出与轴、轴的交点坐标，进而求出三角形的面积，得到三角形的面积后设点的坐标，由三角形的面积公式列方程求解即可．
本题是反比例函数图象与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，确定点坐标是求出反比例函数关系式的关键，用含有点的坐标表示三角形的面积标是解决问题的前提．

22.【答案】解：设辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨，
根据题意得：，
解得：，
答：辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨；
设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，
则：


，
，
随的增大而减小．
、两种货车均满载，
，都是大于或等于的整数，
，
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
当时，不是整数；
当时，；
当时，不是整数；
故符合题意的运输方案有三种：
货车辆，货车辆；
货车辆，货车辆；
货车辆，货车辆；
随的增大而减小，
费用越少，越大，
故方案费用最少． 
【解析】设辆货车一次可以运货吨，辆货车一次可以运货吨，根据辆货车与辆货车一次可以运货吨，辆货车与辆货车一次可以运货吨列出方程组解答即可；
设货车运输吨，则货车运输吨，设总费用为元，列出的一次函数表达式，化简得随的增大而减小；根据、两种货车均满载，得，都是大于或等于的整数，分类列举得到符合题意得方案，最后根据费用越少，越大得到费用最少的方案．
本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的性质，解题的关键是：根据，都是大于或等于的整数得出符合题意的运输方案．

23.【答案】解：过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，如图：

根据题知，
，
的坡度：，
：：，
设，则，
，
，
解得，负值已舍去，
  ，
答：该滑雪场的高度为；
设甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，也符合题意，
，
答：甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是． 
【解析】过作，过过，两直线交于，过作垂直地面交地面于，根据题知，可得，由的坡度：，设，则，可得，即可得；
设甲种设备每小时的造雪量是，可得：，即方程并检验可得甲种设备每小时的造雪量是，则乙种设备每小时的造雪量是．
本题考查解直角三角形和分式方程的应用，解题的关键是构造直角三角形和列出分式方程．

24.【答案】解：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
，
，
，
，
设，，
，
，
，
，
． 
【解析】由等腰三角形的性质可得，，由余角的性质可求，可得结论；
由余角的性质可求，由锐角三角函数可设，，在中，利用勾股定理可求，即可求解．
本题考查了切线的性质和判定，圆的有关性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由余角的性质求出是解题的关键．

25.【答案】解：抛物线经过点，，
，解得，
抛物线解析式为，
，
抛物线对称轴为直线，
又抛物线与轴交于点、两点，点坐标，
点坐标．
设直线的解析式为，
经过点，
，
，
直线的解析式为，
点为直线与抛物线的交点，
点的横坐标为，纵坐标为，
点坐标．
抛物线上存在点使得≌，
此时点纵坐标为，
，
，
，
点坐标或．
如图

中，当时，是等腰三角形．
点坐标，
，过点作直线，交轴于点，交轴于点则，
，
点坐标．
设直线的解析式为，
，
，
直线解析式为，
令，得，解得，
点坐标，
，
，即，
，
如图
中，当时，是等腰三角形．
当时，，
点坐标，
，
，
，
，
，
，
，
设直线交轴于，解析式为，
，
，
直线解析式为，
令，得，
，
点坐标，
，
，
，
．
时，显然不可能，理由，
，
，
，
，
，
综上所述，当或时，是等腰三角形． 
【解析】根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点坐标，求出直线解析式即可解决点坐标．
抛物线上存在点使得≌，此时点纵坐标为，令即可解决问题．
如图中，当时，是等腰三角形，过点作直线，交轴于点，交轴于点，求出点、的坐标即可解决问题．如图中，当时，是等腰三角形，先证明，根据平行线的性质列出方程即可解决问题．
本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．