2023年黑龙江省大庆市杜尔伯特县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省大庆市杜尔伯特县中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年黑龙江省大庆市杜尔伯特县中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  的绝对值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  下列运算一定正确的是(    )A.  B.  C.  D. 3.  “鲜乐购”超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量单位：平均数和方差分别为，，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为，，则下列结论一定成立的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  据报道：芯片被誉为现代工业的掌上明珠，芯片制造的核心是光刻技术，我国的光刻技木水平已突破到，已知，则用科学记数法表示是(    )A.  B.  C.  D. 5.  某种商品原来每件售价为元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为元，设平均每次降价的百分率为，根据题意，所列方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 6.  我国古代数学家利用“牟合方盖”如图甲找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时两圆柱公共部分形成的几何体，图乙所示的几何体是形成“牟合方盖”的一种模型，它的主视图是
 A.  B.  C.  D. 7.  如图，，是的直径，点在的延长线上，与相切于点，连接，若，则的度数为(    )
 A.  B.  C.  D. 8.  如图，在中，平分，于点，为的中点，连接并延长交于点若，，则线段的长为(    )
 A.  B.  C.  D. 9.  如图，是的直径，是的切线，点为切点，若，，则的长为(    )
 
 A.
B.
C.
D. 10.  如图，中，，，，于，若将绕点逆时针方向旋转得到，当点恰好落在上，连接则的长为(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.  把多项式分解因式的结果是______．12.  计算的结果是______．13.  已知反比例函数的图象经过点，则的值为______．14.  同时抛掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是______．15.  代数式有意义，则的取值范围是        ．16.  已知圆的半径是，圆心在函数的图象上运动，当圆与坐标轴相切时，圆心的坐标为______ ．17.  如图所示的扇形中，，过点作，交于点，若，则阴影部分的面积为        ．
 18.  有四个解，则的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共10小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.  本小题分
计算：．20.  本小题分
先化简，再求代数式的值，其中．21.  本小题分
如图，在四边形中，，，，垂足分别为、，且求证：．
22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点和线段的端点均在小正方形的顶点上．
在方格纸中画出，使与关于直线对称点在小正方形的顶点上；
在方格纸中画出以线段为一边的平行四边形点，点均在小正方形的顶点上，且平行四边形的面积为，连接，请直接写出线段的长．
23.  本小题分
第二十四届冬季奥林匹克运动会将于年在北京市和张家口市举行为了调查学生对冬奥知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩百分制，并对数据成绩进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息．
甲校名学生成绩频数分布直方图如图．
甲校成绩在的这一组的具体成绩是：

甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如表所示：学校平均分中位数众数方差甲乙根据图表提供的信息解答下列问题：
表中的中位数 ______ ；
补全图甲校学生样本成绩频数分布直方图；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是______ 校的学生填“甲”或“乙”，理由是______ ；
假设甲校名学生都参加此次测试，若成绩分及以上为优秀，估计成绩优秀的学生人数为______ ．
24.  本小题分
如图，某无人机兴趣小组在操场上展开活动，此时无人机在离地面米的处，无人机测得操控者的俯视角为，测得教学楼顶端点处的俯角为，又经过人工测量测得操控者和教学楼之间的距离为米点，，，都在同一平面上，结果保留根号
填空：        度，        度；
求此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离；
求教学楼的高度．
25.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数
的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点．
求该反比例函数和一次函数的解析式；
在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
直接写出不等式的解集．
26.  本小题分
随着人们“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的型自行车去年销售总额为万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少，求：
型自行车去年每辆售价多少元？
该车行今年计划新进一批型车和新款型车共辆，且型车的进货数量不超过型车数量的两倍．已知，型车和型车的进货价格分别为元和元，计划型车销售价格为元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多？27.  本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，连接，过点作，垂足为，、的延长线交于点．
求证：是的切线；
求证：；
若，，求的长．
28.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，抛物线与轴的交点为．
求抛物线的解析式；
点是线段上一动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，连接、设点的横坐标为．
设的面积为，求出与之间的函数关系式，并说明的取值范围．
是否存在最大值，若存在，求出的最大值若不存在，说明理由．
在点运动过程中，能否使得是以点为顶点的等腰三角形，若可以，求出点的坐标若不可以，说明理由．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：．
根据绝对值的定义即可解答．
 2.【答案】 【解析】解：、，原计算正确，故此选项符合题意；
B、，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：．
分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，
货架上原有鸡蛋的质量的方差该顾客选购的鸡蛋的质量方差，即，而平均数无法比较．
故选：．
根据方差的意义求解．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 4.【答案】 【解析】解：，

故选：．
首先根据，把表示成以为单位的量，再用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 5.【答案】 【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低，为，
则列出的方程是．
故选：．
可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．
 6.【答案】 【解析】【分析】
此题主要考查了几何体的三视图；掌握主视图是从几何体正面看得到的平面图形是解决本题的关键．
根据主视图的定义，得出圆柱以及立方体的摆放即可得出主视图为个正方形组合体，进而得出答案即可．
【解答】
解：利用圆柱直径等于立方体边长，得出此时摆放，圆柱主视图是正方形，
得出圆柱以及立方体的摆放的主视图为两列，左边一个正方形，右边两个正方形，
故选B．  7.【答案】 【解析】解：与相切于点，，
，
，
，
，
故选：．
根据切线的性质得出，进而得出的度数，再利用等腰三角形的性质得出的度数即可．
本题主要考查切线的性质，熟练掌握切线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：，
，
，为中点，
，
，
又平分，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得且，结合角平分线可得，即，进而可得，由可得答案．
本题主要考查直角三角形斜边中线的性质、三角形中位线的性质、平行线的判定和性质等知识，解题的关键是证明是的中位线，属于中考常考题型．
 9.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了锐角三角函数的定义．
先根据切线的性质得到，然后利用正切的定义求的长．
【解答】
解：是的直径，是的切线，
，
，
，
．
故选：．  10.【答案】 【解析】解：过点作于点，

，，
，
，
设，
，
，
，
，，
，
将绕点逆时针方向旋转得到，
，，，
，
，
设，，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，由锐角三角函数的定义求出，，由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，，证出，设，，由勾股定理得出，求出可得出答案．
本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：

，
故答案为：．
先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握平方差公式的结构特征是正确应用的前提．
 12.【答案】 【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式的加减，熟记二次根式的性质是解答本题的关键．
根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可．
【解答】
解：原式．
故答案为．  13.【答案】 【解析】解：点代入反比例函数得，，
故答案为：．
将点代入反比例函数即可求出的值．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入函数关系式是常用的方法．
 14.【答案】 【解析】解：画树形图得：

由树形图可知共种情况，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的情况数有种，所以概率是．
故答案是．
列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．
本题考查了求随机事件的概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
 15.【答案】且 【解析】解：代数式有意义，
且，
且，
故答案为：且．
根据二次根式及分式有意义的条件得出关于的不等式，解不等式可得答案．
此题主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟知以上知识是解题的关键．
 16.【答案】或 【解析】解：圆与轴相切时，设切点为，
则轴，，
点的纵坐标为，
，
，
；
圆与轴相切时，设切点为，
则轴，，
点的横坐标为，
，
．
综上，当圆与坐标轴相切时，圆心的坐标为或．
故答案为：或．
利用分类讨论的思想方法分圆与轴相切和圆与轴相切两种情形解答，利用切线的性质得到点的纵坐标与横坐标，将其代入函数的解析式解答即可得出结论．
本题主要考查了圆的切线的性质定理，点的坐标，函数的图象的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．
 17.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
，
阴影部分的面积为．
故答案为：．
用扇形的面积减去三角形的面积即可求解．
本题考查了扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式和解直角三角形是解题的关键．
 18.【答案】 【解析】解：方程方程，
作函数的图象，如图．
由图象知直线与的图象应有四个交点，
当时，有个交点．
故答案为：．
作函数的图象，如图．由图象知直线与的图象应有四个交点，于是得到结论．
此题主要考查了函数图象与方程的解，根据直线与函数图象交点的个数得到方程解的个数．注意利用数形结合的数学思想解决根的存在性及根的个数判断问题．
 19.【答案】解：


． 【解析】原式分别化简，再进行乘除运算，最后进行加减运算即可得到答案．
本题主要考查了实数的混合运算，正确化简是解答本题的关键．
 20.【答案】解：


，
当时，原式． 【解析】先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值、特殊角的三角函数值，解答本题的关键是明确分式混合运算的运算法则和运算顺序．
 21.【答案】解：，，
，
在和中，
，
和≌，
，
，
． 【解析】根据证明和≌，即可证得．
本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形判定定理．
 22.【答案】解：如图，即为所求；

如图，▱即为所求；
由勾股定理得，． 【解析】根据轴对称的性质可得；
利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得的长．
本题主要考查了作图轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
 23.【答案】；
甲校学生样本成绩在的人数为人，
补全图形如下：

乙；乙的中位数是，；
人 【解析】解：由题意知第、个数据分别为、，
其中位数，
故答案为：；
见答案；
在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前名，由表中数据可知该学生是乙校的学生，
理由：乙，乙的中位数是，；
故答案为：乙，乙的中位数是，；
估计成绩优秀的学生人数为人，
故答案为：人．
根据频数分布直方图和的这一组的具体成绩得出第、个数据分别为、，继而依据中位数的定义求解即可；
根据各分段人数之和等于总人数求出的人数，据此可补全图形；
根据中位数的意义求解即可；
用总人数乘以样本中成绩优秀的学生人数所占比例即可．
本题主要考查频数分布表、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据表格得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
 24.【答案】   【解析】解：如图：延长交于点，

由题意得：，，，
，
是的一个外角，
，
故答案为：，；
过点作，垂足为，

由题意得：，米，米，
在中，，
米，
米，
米，
此时无人机与教学楼之间的水平距离的距离为米；
在中，，米，
米，
米，
教学楼的高度为米．
延长交于点，根据题意可得：，，，然后利用平角定义求出的度数，再利用三角形的外角性质求出的度数，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意可得：，米，米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，即可解答；
在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 25.【答案】解：把代入，可得，
反比例函数的解析式为，
把点代入，可得，
．
把，代入，可得，解得，
一次函数的解析式为；
一次函数的解析式为，令，则，
一次函数与轴的交点为，
此时，最大，即为所求，
令，则，
，
过点向轴作垂线，由勾股定理可得：
；
当时，或． 【解析】利用待定系数法即可解决问题；
求得直线与轴的交点即为点，此时，最大，利用勾股定理即可求得最大值；
根据图象即可求得．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数与不等式的关系，根据点的坐标求线段长，熟练数形结合是解题的关键．
 26.【答案】解：设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由题意，得
，
解得：．
经检验，是原方程的根．
答：去年型车每辆售价为元；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由题意，得
，
．
型车的进货数量不超过型车数量的两倍，
，
．
，
，
随的增大而减小．
时，有最大值
型车的数量为：辆．
当新进型车辆，型车辆时，这批车获利最大． 【解析】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由销售问题的数量关系求出一次函数的解析式是关键．
设去年型车每辆售价元，则今年售价每辆为元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
设今年新进型车辆，则型车辆，获利元，由条件表示出与之间的关系式，由的取值范围就可以求出的最大值．
 27.【答案】证明：如图，连接，

是直径，
，
又，
，，
，，
，
，
，
又是半径，
是的切线；
，
，
，，
，
，
，
又，
∽，
，
；
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，
，

，
． 【解析】如图，连接，由圆周角定理可得，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，可证，可得结论；
通过证明∽，可得，可得结论；
由等腰三角形的性质可得，由锐角三角函数可求，由勾股定理可求，由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了切线的判定和性质，三角形中位线定理，圆的有关知识，相似三角形的判定和性质等知识，利用相似三角形的性质可求线段的长度是本题的关键．
 28.【答案】解：抛物线与轴分别交于、两点，抛物线与轴的交点为．
可以假设抛物线的解析式为，把代入得，，
，
抛物线的解析式为．

如图中，设则．

，
．

存在．理由如下：
，
，
时，有最大值，最大值．

，，，
，如图中，作于．

当，，
，
，，
点的纵坐标为，
解得或舍弃，
时，是以点为顶点的等腰三角形，此时． 【解析】求出、两点坐标，利用两根式设抛物线的解析式为，把代入即可解决问题．
如图中，设则，根据计算即可．
利用配方法，根据二次函数的性质即可解决问题．
如图中，作于因为，，推出，由，，根据点的纵坐标为，可得方程：，解方程即可解决问题．
本题考查二次函数综合题、待定系数法、三角形的面积．等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会添加常用辅助线，学会把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．