2022-2023学年湖北省荆门市沙洋县国道片区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年湖北省荆门市沙洋县国道片区八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列式子一定是二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列二次根式中属于最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  若有意义，则能取的最小整数值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  下列计算错误的是(    )

A.  B.
C.  D.

6.  下列每一组数据分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(    )

A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、

7.  如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是(    )
 

A. 当时，它是菱形
B. 当时，它是菱形
C. 当时，它是正方形
D. 当时，它是矩形

8.  若顺次连结四边形各边中点所得四边形是矩形，则原四边形必定是(    )

A. 正方形 B. 对角线相等的四边形
C. 菱形 D. 对角线相互垂直的四边形

9.  如图，四边形中，，，于点，且四边形的面积为，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知钝角三角形的三边为、、，该三角形的面积为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图所示，，分别为轴，轴上的点，为等边三角形，点 在第一象限内，且满足，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，正方形中，，点在边上，，将沿对折至，延长交边于点，连接、，给出以下结论：≌；；；其中所有正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

13.  代数式有意义的条件是______ ．

14.  已知是正整数，是整数，则的最小值是______ ．

15.  已知，则 ______ ．

16.  如图，已知中，，的周长为，斜边上中线长为则该三角形的面积为_____．
 

17.  在中，，，，是的平分线，若、分别是和上的动点，则的最小值是______．

三、计算题（本大题共2小题，共12.0分）

18.  计算：
 

19.  已知，求代数式的值．

四、解答题（本大题共5小题，共40.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
如图所示，在等腰梯形中，、分别是两底、的中点，、分别是，的中点求证：四边形是菱形．

21.  本小题分
已知：如图，四边形中，，，点为中点，点为中点．求证：．
 

22.  本小题分
如图，矩形的对角线相交于点，，．
求证：四边形是菱形；
若，菱形的面积是，求的长．

23.  本小题分
如图，是正方形的边上的一个动点与、不重合连接，过点作交于，将沿所在直线翻折得到，延长交的延长长线于点．
探究与的数量关系，并证明你的结论；
当，时，求的长．

24.  本小题分
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒过点作于点，连接，．
求证：；
四边形能够成为菱形吗？如果能，求出相应的值，如果不能，说明理由；
当为何值时，为直角三角形？请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
一定是二次根式，
而、和中的被开方数均不能保证大于等于，故不一定是二次根式，
故选：．
直接利用二次根式的定义，一般地，形如的代数式叫做二次根式进行判断即可．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查二次根式的性质与化简：，因为，由此性质求得答案即可．
【解答】
解：，

．
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、被开方数含开的尽的因数或因式，故A错误；
B、被开方数含分母，故B错误；
C、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，故C正确；
D、被开方数含开的尽的因数或因式，故D错误；
故选：．
根据最简二次根式的被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式，可得答案．
本题考查了最简二次根式，最简二次根式的两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含开的尽的因数或因式．
 

4.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得，
所以，能取的最小整数值是．
故选B．
根据被开方数大于等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的意义和性质，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

5.【答案】 

【解析】解：，故选项A正确；
，故选项B正确；
，故选项C正确；
不能合并，故选项D错误；
故选：．
根据二次根式的混合运算计算出各个选项中式子的正确结果，本题得以解决．
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．
 

6.【答案】 

【解析】解：，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B.能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C.，不能构成直角三角形，故此选项符合题意；
D.，能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

7.【答案】 

【解析】解：、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
B、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
D、四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据菱形、矩形、正方形的判定逐个判断即可．
本题考查了菱形、矩形、正方形的判定，能正确运用判定定理进行判断是解此题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，
又点、、分别是、、各边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
又点、分别是、各边的中点，
是三角形的中位线，
，
，
即．
故选：．
这个四边形的对角线和的关系是互相垂直．理由为：根据题意画出相应的图形，如图所示，由四边形为矩形，根据矩形的四个角为直角得到，又为三角形的中位线，根据中位线定理得到与平行，根据两直线平行，同旁内角互补得到，同理根据三角形中位线定理得到与平行，再根据两直线平行，同旁内角互补得到，根据垂直定义得到与垂直．
此题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，以及平行线的性质．这类题的一般解法是：借助图形，充分抓住已知条件，找准问题的突破口，由浅入深多角度，多侧面探寻，联想符合题设的有关知识，合理组合发现的新结论，围绕所探结论环环相加，步步逼近，所探结论便会被“逼出来”．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作，与的延长线交于点，
则有≌，
则，，
．
故选C．
运用割补法把原四边形转化为正方形，求出的长．
本题运用割补法把原四边形转化为正方形，其面积保持不变，所求就是正方形的边长了；也可以看作将三角形绕点逆时针旋转后的图形．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图所示：过点作于点，
设，，
则，
故在中，
，
故在中，
，
故，
解得：，
，
解得：，
故三角形的面积为：．
故选：．
利用勾股定理得出的长，进而利用三角形面积求法得出答案．
此题主要考查了勾股定理，根据题意得出三角形的高的值是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：过点作轴，垂足为，
由、，得，，
为等边三角形，
由勾股定理，得，
，
又
，
，
由，得，
．
故选：．
过点作轴，垂足为，根据、求、，利用勾股定理求，可得的面积，利用，列方程求．
本题考查了旋转的性质，点的坐标与线段长的关系，不规则三角形面积的表示方法及等边三角形的性质和勾股定理．
 

12.【答案】 

【解析】解：如图，由折叠可知，，，
，
在和中，
，
≌，故正确；
正方形边长是，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：
，，，故正确；
，是等腰三角形，易知不是等腰三角形，故错误；
，，故正确．
综上可知正确的结论的是个．
故选：．
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，于是根据“”判定≌，再由，，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，，进而求出的面积，再抓住是等腰三角形，而显然不是等腰三角形，判断是错误的，问题得解．
本题考查了相似三角形的判定和性质、图形的翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度．
 

13.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
解得．
故答案为：．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解．
本题考查了二次根式的意义和性质，性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义，分式的分母不等于．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
是整数，
的最小值是，
故答案为：．
首先把进行化简，然后确定的值．
此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
．
故答案是：．
首先对进行平方求得，然后根据求解．
本题考查了二次根式的化简求值，正确理解完全平方公式，对所求的式子进行变形是关键．
 

16.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质等知识，解题的关键是利用完全平方公式求得两直角边的乘积的倍的值．
首先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边的长，然后求得两边之和，最后求得两边之积即可求得面积．
【解答】
解：在中，，斜边上中线长为，
斜边，
两直角边的和为：，
，
，
，
面积为：．
故答案为．  

17.【答案】 

【解析】解：如图，作于交于点，作此时最短．
，，平分，
，

此时最短垂线段最短．
在中，，，，
，
，
．
的最小值为．
故答案为．
如图作于交于点，作此时最短，利用面积法求出即可解决问题．
本题考查轴对称最短问题、角平分线性质、勾股定理等知识，解题的关键是找到点、的位置，灵活应用垂线段最短解决问题，属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】先把各二次根式化为最简二次根式，再进行计算．
观察，可以首先把括号内的化简，合并同类项，然后相乘．
本题考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
 

19.【答案】解：，即，
原式． 

【解析】原式化简约分后，通分并利用同分母分式的减法法则计算，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：、、分别是，，的中点，
，．
四边形是平行四边形．
梯形是等腰梯形，
，
．
在和中，
，，，
≌，
．
，
平行四边形是菱形． 

【解析】根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形．由中点的性质，求证出四边形是平行四边形．
由等腰梯形的性质知，可证≌，可证，所以平行四边形是菱形．
本题利用了中点和中位线的性质，等腰梯形的性质及全等三角形的判定和性质．
 

21.【答案】证明：如图，连接、，

，，点是的中点，
，
点是的中点，
． 

【解析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
 

22.【答案】证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
▱是菱形；
，
，
连接，交于，则，
设，则，
，，
，

，
，
，
． 

【解析】根据对边平行得四边形是平行四边形，由原矩形对角线相等且互相平分得，所以四边形是菱形；
连接对角线，根据菱形对角线平分面积得出的面积是菱形面积的一半，设，根据中位线性质求出的长，根据三角形面积公式列方程解出即可．
本题既考查了菱形的性质，也考查了矩形的性质，是常考题型，难度不大；需要熟练掌握矩形、菱形的边、角、对角线的关系，不能互相混淆．
 

23.【答案】解：．
理由：四边形是正方形，
，，
．
，
，
．
在和中，

≌，
；
，，
，；
与关于对称，
则，，
，，
等角对等边，
设，，
在直角三角形中，，，
得．
的长为． 

【解析】要证，只需证≌即可；
由与关于对称，则，，，，推出，设，，在直角三角形中，中运用勾股定理就可解决问题；
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、折叠的性质等知识，熟练掌握方程思想是解题的关键．
 

24.【答案】证明：直角中，．
，，
又在直角中，，
，
．

解：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
即，
解得：，
即当时，▱是菱形．

当时，是直角三角形；或当时，是直角三角形．
理由如下：
当时，．
，
，
，
，
，
，
时，．
当时，，
四边形是平行四边形，
，
，
是直角三角形，，
，
，
，
，，
，
解得．
综上所述，当时是直角三角形；或当时，是直角三角形． 

【解析】本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用表示、的长是关键，属于较难题．
利用表示出以及的长，然后在直角中，利用直角三角形的性质求得的长，即可证明；
易证四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，据此即可列方程求得的值；
分两种情况讨论即可求解．