2022-2023学年广西柳州市鹿寨县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广西柳州市鹿寨县八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如果有意义，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列各组数中，能构成直角三角形的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

3.  下列二次根式中，最简二次根式是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  已知直角三角形两边的长为和，则此三角形的周长为(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

6.  已知四边形是平行四边形，下列结论中正确的是(    )
；；当时，它是菱形；当时，它是矩形．

A.  B.  C.  D.

7.  在中，点，分别是边，的中点，若，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  菱形的两条对角线长分别为，，则它的面积是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，一轮船以海里时的速度从港口出发向东北方向航行，另一轮船以海里时的速度同时从港口出发向东南方向航行，离开港口小时后，两船相距(    )
 

A. 海里
B. 海里
C. 海里
D. 海里

10.  将一个边长分别为和的长方形纸片折叠，使点与点重合，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  在中，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.  如图，在菱形中，，，点、同时由、两点出发，分别沿、方向向点匀速移动到点为止，点的速度为，点的速度为，经过秒为等边三角形，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共12.0分）

13.  计算：______．

14.  比较大小：______．

15.  已知直角三角形的两条直角边长为，，那么斜边上的中线长是______．

16.  菱形中，，它的边长是，则此菱形的对角线长为______ ．

17.  如图，一根旗杆在离地面处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部米处，旗杆折断之前的高为______ ．

18.  如图中，，，，为边上一动点，于，于，为中点，则的最小值为______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

19.  计算：．

四、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

20.  本小题分
已知如图，▱中，，求、、的度数．

21.  本小题分
如图，在平行四边形中，、是对角线上的点，，．
求证：≌；
求证：四边形是平行四边形．
 

22.  本小题分
如图，，，，，．
求的长；
试判断的形状，并说明理由．

23.  本小题分
如图，矩形的对角线、相交于点，，，若，求四边形的周长．

24.  本小题分
如图，已知正方形的对角线相交于，点、分别在与边上的点，且．
求证：．

25.  本小题分
如图，一圆柱体的底面周长为，高为，一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点，试求出爬行的最短路程结果保留根号的形式．

26.  本小题分
在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点出发，以的速度向点同时运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设，运动的时间为．
若点和点同时运动了秒，与有什么数量关系？并说明理由；
在整个运动过程中是否存在值，使得四边形是矩形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由；
在整个运动过程中，是否存在一个时间，使得四边形的面积是四边形面积的一半，若存在，请直接写出值；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如果有意义，则，
解，得．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于，列不等式求解．
此题考查了二次根式有意义的条件．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，故不是直角三角形，错误；
B、，故不是直角三角形，错误；
C、，故是直角三角形，正确；
D、，故不是直角三角形，错误．
故选C．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，可化简；
C、，可化简；
D、，可化简；
故选B．
满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：
被开方数的因数是整数，因式是整式；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
可以此来判断哪个选项是正确的．
判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，错误，不符合题意；
B、，不能进行合并，错误，不符合题意；
C、，正确，符合题意；
D、，错误，不符合题意；
故选：．
根据二次根式的计算法则解答即可．
此题考查二次根式的四则计算，解题的关键是根据二次根式的计算法则解答．
 

5.【答案】 

【解析】解：设的第三边长为，
当为直角三角形的直角边时，为斜边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长；
当为直角三角形的斜边时，为直角边，
由勾股定理得，，此时这个三角形的周长，
故选：．
先设的第三边长为，由于是直角边还是斜边不能确定，故应分是斜边或为斜边两种情况讨论．
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
 

6.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，不一定与相等，
故正确，错误；
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，不一定是菱形，
故错误，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
故正确；
故选B．
根据平行线的性质，菱形的判定，矩形的判定求解即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的判定，熟知相关知识是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：点、分别是边、的中点，
，
，
，
故选：．
根据三角形的中位线定理可得出．
本题考查了三角形的中位线、解题的关键是掌握三角形的中位线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：由菱形的面积公式得：
菱形的面积；
故选：．
由菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，即可得出结果．
本题考查了菱形的性质、菱形的面积公式；熟练掌握菱形的面积等于两条对角线乘积的一半是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
，
两小时后，两艘船分别行驶了海里，海里，
根据勾股定理得：海里．
故选：．
根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程速度时间，得两条船分别走了，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．
本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查的是翻折变换，解题时一般设要求的线段长为，然后根据折叠和轴对称的性质用含的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
设，则，再由勾股定理列方程，解方程求出的值即可．
【解答】
解：根据题意，得：，，，
根据折叠的性质，得：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即的长是，
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：，，，
，
边是斜边，
．
故选：．
根据题目提供的三角形的三边长，计算它们的平方，满足，哪一个是斜边，其所对的角就是直角．
本题考查了利用勾股定理的逆定理判定直角三角形，本题没有让学生直接判定直角三角形，而是创新的求哪一个角是直角，是一道不错的好题．
 

12.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是菱形，
，，
是等边三角形，
，
又是等边三角形，
，
又，
，
在和中，，
≌，
，
，，
，

，
故选：．
连接，证出≌，得到，再利用，，则求出时间的值．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是运用三角形全等得出．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据平方根的定义即可得到结果．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，
．
故答案为：．
将两数进行平方，然后比较大小即可．
本题考查了实数的大小比较，注意运用平方法比较两个正数的大小．属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，斜边，
所以，斜边上的中线长．
故答案为：．
利用勾股定理列式求出斜边，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

四边形是菱形，边长是，
，
，
是等边三角形，
，
故答案为：．
由菱形的性质得，再证是等边三角形，即可得出结论．
本题考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，证明为等边三角形是解题的关键．
 

17.【答案】米 

【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为米，旗杆离地面米折断，且旗杆与地面是垂直的，
折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断部分的旗杆为：米，
旗杆折断之前高度为米．
故答案为：米．
根据勾股定理，计算树的折断部分是米，则折断前树的高度是米．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．
 

18.【答案】 

【解析】解：如图：当与不重合时，连接，
，，
，
又，
四边形是矩形，
，
，为中点，
，
在中，，，，
，
当时，值最小，
此时，
解得，
的最小值为，
的最小值是．

连接，由在中，，于，于，可证得四边形是矩形，即可得，即，然后由当时，可求得最小值，即可得出的最小值．
本题考查了矩形的性质的运用、勾股定理的运用、三角形的面积公式、垂线段最短的性质的运用等知识点，根据题意求出的最小值是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：原式

． 

【解析】

【分析】
本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．
先化成最简二次根式和计算二次根式的乘法得到原式，然后合并同类二次根式．  

20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
． 

【解析】由平行四边形的性质得，，，则，即可得出、的度数．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的性质是解题的关键．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
又，
≌；
由知≌，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】此题考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定及性质，根据平行四边形的判定与性质解答是解题的关键．
根据平行四边形的性质和全等三角形的判定解答即可；
根据全等三角形的性质和平行四边形的判定解答即可．
 

22.【答案】解：在中，，
，
；
为直角三角形，
理由：在中，，
，
，
即为直角三角形． 

【解析】在中，根据勾股定理求出的值；
再在中根据勾股定理的逆定理，判断出．
本题考查勾股定理与其逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
 

23.【答案】解：，，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为：． 

【解析】由，，可证得四边形是平行四边形，又由四边形是矩形，根据矩形的性质，易得，即可判定四边形是菱形，则可求得答案．
本题主要考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．注意证得四边形是菱形是解此题的关键．
 

24.【答案】证明：四边形是正方形，
，，，
，
≌，
，
，
，
，，
，
． 

【解析】首先根据题干条件证明≌，进而得到，再利用角之间的关系得到，于是结论得证．
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是求出，此题难度不大．
 

25.【答案】解：圆柱的侧面展开图如下所示：

圆柱的底面周长为，
，
又圆柱的高为，
，
在中，，
蚂蚁爬行的最短路程为． 

【解析】将圆柱的侧面展开，根据两点之间线段最短利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了勾股定理的应用最短路径问题，解题的关键在于能够准确将圆柱侧面展开，并利用勾股定理求解．
 

26.【答案】解：，理由如下：
由题意得：，，
，，，
，
当时，，，
，
，
四边形是平行四边形，
；
在四边形中，，，
当时，四边形是矩形，
，
解得，
当时，四边形是矩形；
存在，由题意知，四边形的面积，
四边形的面积，
四边形的面积是四边形面积的一半，
，
． 

【解析】根据可得，从而得出四边形为平行四边形，即可得出；
当时，四边形是矩形，得，即可解决问题；
根据梯形的面积公式分别表示出四边形和的面积，列出方程，进而解决问题．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定，梯形的面积公式等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．