2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷（含解析）

2023年新疆乌鲁木齐市中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各数是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列图形是用数学家名字命名的其中是轴对称图形的是(    )

A. 斐波那契螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 彭烈斯三角 D. 赵爽弦图

3.  如图，直线，直线分别与直线，交于点，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  中国传统数学重要著作九章算术中记载：今有共买物，人出八，盈三人出七，不足四，问人数、物价各几何据此设计一类似问题：今有人组团购一物，如果每人出元，则多了元如果每人出元，则少了元，问组团人数和物价各是多少若设人参与组团，物价为元，则以下列出的方程组正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的统计图符合这一结果的实验最有可能的是(    )

A. 抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
C. 掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是
D. 暗箱中有个红球和个黄球，除颜色外无其他差别，从中任取一球是黄球．

7.  已知，是关于的方程的两个根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在平面直角坐标系中，点，，在坐标轴上，，，，按以下步骤作图：以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线，交于点则点的坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  一列车从甲地匀速驶往乙地，一列车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，快车行驶速度是慢车行驶速度的倍在整个行驶过程中，两车距甲地的路程分别为，与行驶时间的对应关系如图所示根据图象进行探究，有以下结论：快车的速度为；点的坐标为；当，时，两车相距；快车距离乙地时，两车相距，其中正确结论的个数有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

10.  年月日，我国成功发射北斗系统的第颗导航卫星，即北斗三号最后一颗全球组网卫星，该卫星驻守在我们上方公里的天疆．数据用科学记数法表示为______．

11.  甲、乙两名同学在次引体向上测试中的有效次数如表，甲乙两名同学引体向上测试数据的方差分别为，，则 ______ 填“”，“”或“”．

12.  化简： ______ ．

13.  党的二十大报告要求“优化民营企业发展环境，依法保护民营企业产权和企业家权益，促进民营经济发展壮大”党中央对民营经济健康发展的关心和重视，为广大民营企业家增添了信心和力量，某民营企业一月份营收万元，三月份营收万元该企业这两个月营收的月平均增长率为______ ．

14.  如图，反比例函数的图象经过点，将线段沿轴向右平移至，反比例函数的图象经过点若线段扫过的面积为，则的值为       

15.  如图，是边长为的等边三角形，点在边上，且，线段在边上运动，，则的最小值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：．

17.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

18.  本小题分
如图，在▱中，点，在边上，且，．
求证：≌；
求证：四边形是矩形．

19.  本小题分
年我市体育中考现场测试项目为：从“米跑”“立定跳远”“坐位体前屈”三个项目中抽取一个最终为“立定跳远”；选考项目是从“足球运球绕标志杆”“排球垫球”“篮球运球绕标志杆”中任选一个，某中学现在需要购进一批足球和排球，补充体育器材，已知排球的单价比足球的单价多元，用元购买的足球数量与用元购买的排球数量相同．
分别求出足球和排球的单价；
如果学校计划用不超过元的经费购进足球、排球共个，那么最多可以购进排球多少个？

20.  本小题分
我市践行绿色发展理念，引进环保节能产品，南山景区沿路照明均使用太阳能灯某校开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度如图，已知测角仪的高度为米，在测点处安置测角仪，测得点的仰角，在与点相距米的测点处安置测角仪，测得点的仰角点，，在一条直线上求电池板距离地面的高度的长结果精确到米参考数据：，，

21.  本小题分
年月日是毛泽东主席“向雷锋同志学习”题词发表周年学雷锋在行动，广大师生积极做志愿者，甲、乙两所学校各有位志愿者为了解他们月份的服务时间单位：，从中各随机抽取位志愿者进行调查，得到了以下部分信息：甲学校志愿者月份的服务时间单位：频数分布直方图如图数据分成组：，，，，；甲学校志愿者月份服务时间单位：的数据在这一组的是：，，，，，，，，，，，；甲、乙两学校志愿者服务时间单位：的平均数、中位数、众数如表：

根据以上信息，回答下列问题：
写出表中的值为______ ；
从甲学校抽取的志愿者中，记月份的服务时间高于他们平均服务时间的人数为从乙学校抽取的志愿者中，记月份的服务时间高于他们平均服务时间的人数为比较，的大小，并说明理由；
估计甲学校志愿者服务时间超过的人数．

22.  本小题分
如图，点在以为直径的上，与相切，交于点，交于点，连接，，．
求证；
当点为的中点时，
求证∽；
若，，求的长．

23.  本小题分
设抛物线．
当时，求抛物线顶点坐标；
设抛物线与轴交于，两点点在点的左侧．
若抛物线与轴交于，点在抛物线上、直线与线段交于点求的最大值，及相应的点的坐标；
若点，在抛物线上，且总有时，请直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是无理数，故A符合题意；
B、是有理数，故B不符合题意；
C、是有理数，故C不符合题意；
D、是有理数，故D不符合题意；
故选：．
根据无理数的意义，逐一判断即可解答．
本题考查了无理数，算术平方根，熟练掌握无理数的意义是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：由各个选项中的图形可知：中的图形是轴对称图形，其他的都是不轴对称，
故选：．
根据轴对称图形的定义和各个选项中的图形，可以判断哪个选项中的图形是轴对称图形．
本题考查轴对称图形，解答本题的关键是明确轴对称图形的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
根据对顶角相等得出，进而利用两直线平行，同位角相等解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

4.【答案】 

【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项符合题意．
故选：．
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项法则以及积的乘方运算法则、完全平方公式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，
，
故选：．
根据如果每人出元，则多了元；如果每人出元，则少了元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是找出等量关系，列出相应的方程组．
 

6.【答案】 

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故A选项不符合题意；
B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率为，故B选项不符合题意；
C.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是的概率为，故C选项符合题意；
D.暗箱中有个红球和个黄球，除颜色外无其他差别，从中任取一球是黄球的概率为，故D选项不符合题意；
故选：．
据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案．
此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．
 

7.【答案】 

【解析】解：是关于的方程的根，
，，



，
故选：．
根据、是关于的方程的根，代入得到，，拆项后代数式化为，整体代入计算．
此题主要考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系式是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于，

由作图得：平分，
，
，，
≌，
，，
，，，
，
，
设，
则，
，即：，
解得：，
，即：，
解得：，
，
，
，
故选：．
先根据作图得出平分，再根据勾股定理求出，再利用即可．
本题考查了基本作图，掌握勾股定理及角平分线的性质是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：设慢车速度为，则快车的速度为，
，
解得，
，
快车的速度为，故正确；
，
，故正确；
快车的速度为，慢车的速度为，
线段解析式为，线段解析式为，
由得：，
由得：，
当，时，两车相距；故正确；
当时，，
，
此时慢车距甲地，距乙地，
两车相距，故错误；
正确结论有，共个，
故选：．
设慢车速度为，由两车相遇可得，解得的值即得快车的速度为，判断正确；根据，可判断正确；求出线段解析式为，线段解析式为，列方程可解得当，时，两车相距；判断正确；当时，，即快车距乙地时，慢车距甲地，距乙地，可得两车相距，判断错误．
本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用的信息．
 

10.【答案】 

【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，甲的平均数为：，
；
乙的平均数为：，
，
，
，
故答案为：．
根据方差的计算公式解答即可．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

12.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
先将分式的分子、分母因式分解，再将公因式约去即可．
本题考查分式的约分，解题的关键是熟练掌握分式的约分的方法．
 

13.【答案】 

【解析】解：设该企业这两个月营收的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
的值为，
即该企业这两个月营收的月平均增长率为，
故答案为：．
设该企业这两个月营收的月平均增长率为，利用三月份营收一月份营收该企业这两个月营收的月平均增长率，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，

将线段沿轴向右平移至，
，，
，
轴，轴，
，
在与中，
，
≌，
，
线段扫过的面积为，
四边形的面积为，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
反比例函数的图象经过点，
，
故答案为：．
过点、分别作轴，轴于点、，延长交轴，则四边形、四边形和四边形都是矩形，先证明≌，得，进而求得，根据反比例函数的意义即可求解．
本题主要考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，涉及到平移的性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：作点关于的对称的，交于点，连接，
以，为邻边在的外面作平行四边形，
过点作，垂足为，的延长线与的延长线交于，

根据轴对称的性质可知：，
四边形为平行四边形，
，
，
，
根据“两点之间线段最短”可知：
当，，在同一条直线上时，为最短，
即：为最小，
此时的最小值即为线段的长，
为等边三角形，边长为，
，
又，关于对称，
，，
在中，，，
，
，
，
，，，
四边形为矩形，
，
为等边三角形，，，
，
，
，
又四边形为平行四边形
，
，
在中，，，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
故答案为：．
作点关于的对称的，交于点，连接，以，为邻边在的外面作平行四边形，过点作，垂足为，的延长线交的延长于点，根据轴对称的性质和平行四边形的性质可得出：，再根据“两点之间线段最短”可知：当，，在同一条直线上时，为最短，此时的最小值即为线段的长，然后根据三角函数和勾股定理求出线段的长即可．
本题主要考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，解直角三角形，勾股定理以及轴对称最短问题；凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，并利用线段的性质来解决，多数情况下是要作某点关于某直线的对称点．
 

16.【答案】解：原式
．
． 

【解析】直接利用平方根以及绝对值、负整数指数幂的性质化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
 

17.【答案】解：原式
，
当时，原式． 

【解析】先去括号，再合并同类项即可化简原式，最后把的值代入计算可得．
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
 

18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌；
由可知：≌，
，
，
，
，
，
▱为矩形． 

【解析】由平行四边形的性质得到，再证，然后由全等三角形的判定定理即可得到结论．
由全等三角形的性质得到再证，然后根据矩形的判定定理即可得到结论．
本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识；正确的识别图形是解题的关键．
 

19.【答案】解：设足球的单价是元，则排球的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价是元，排球的单价是元；
设购进个排球，则购进个足球，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
的最大值为．
答：最多可以购进排球个． 

【解析】设足球的单价是元，则排球的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购买的足球数量与用元购买的排球数量相同，可得出关于的分式方程，解之经检验后，可得出足球的单价，再将其代入中，即可求出排球的单价；
设购进个排球，则购进个足球，利用总价单价数量，结合总价不超过元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值，即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
 

20.【答案】解：延长交于点，

由题意得：，米，米，，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
米，
电池板距离地面的高度的长约为米． 

【解析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出的长，最后根据线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】甲学校服务时间的中位数应是数据由小到大排列处于第、位的数据的平均数，
较低的两组，共有人，
数据在这一组的是：，，，，，，，，，，，，
第、位数据为：，，
，
故答案为：；
．
理由如下：
甲学校月份的服务时间在范围内，且高于平均服务时间的有人，
人，
乙学校平均服务时间的中位数是，且样本中有位志愿者，
乙学校平均服务时间不低于的至少人，
乙学校抽取的志愿者中，月份的服务时间高于平均服务时间的至少人，
；
人，
答：估计甲学校志愿者服务时间超过的约人．
利用频数分布直方图中的信息，以及在这一组的数据，根据中位数的意义，即可确定中位数；
先算出甲学校月份的服务时间高于平均服务时间的人数，再利用乙学校平均服务时间的中位数估计出乙学校月份的服务时间高于平均服务时间的人数范围，比较即可；
算出样本中超过的人数占比，再乘以即可．
本题考查频数分布直方图，平均数，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取有用信息，熟悉相关概念的意义是解题的关键．
 

22.【答案】证明：是的直径，
，即，
与相切，
，即，
，
，
；
证明：在中，点为的中点，
，
，
，
，
，
∽；
解：设，
，，
，
，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
由知，，即，
，
∽，
，即，
． 

【解析】根据直径所对的圆周角为直角得，即，由切线的性质可得，即，根据圆周角定理得，再由等角的余角相等即可证明；
利用直角三角形斜边上的中线性质可得，于是，由等边对等角可得，据此即可证明；
设，利用锐角三角函数和勾股定理求得，，于是，根据同弧所对的圆周角相等可得，进而得到，，再利用∽得到，以此求出，易证明∽，利用相似三角形的性质即可求解．
本题主要考查圆周角定理、直角三角形斜边上的中线性质、切线的性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握与圆有关的概念和性质，并学会利用相似三角形的对应边成比例建立方程解决问题．
 

23.【答案】解：当时，
，
抛物线顶点坐标为；
抛物线与轴交于，
，
，
．
抛物线的解析式为．
令，则，
或，
抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，
，．
点在抛物线上，
设点，
直线与线段交于点，
．
过点作轴，交直线于点，如图，

设直线的解析式为，
，
解得：，
直线的解析式为，
，
．
轴，
∽，
，
，
，
当时，有最大值为，此时点的坐标为；
，
抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，
抛物线的开口方向向上，抛物线与轴交于，两点，
，
．
点，在抛物线上，
，，
，
，
，
整理得：．
，
，
． 

【解析】将值代入后，利用配方法解答即可；
利用待定系数法求得值，进而求得点，坐标，设点，过点作轴，交直线于点，求得直线解析式，则，得到；利用相似三角形的判定与性质求得的值，再利用配方法和二次函数的性质解答即可得出结论；
利用抛物线的性质得到的取值范围，利用解析式求得、的值，利用已知条件得到，的关系式，利用的取值范围和不等式的性质即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象和性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质，一回事图象上点的坐标的特征，待定系数法，配方法，相似三角形的判定与性质，不等式的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．