2023年安徽省池州市贵池区中考数学二模试卷（含解析）

2023年安徽省池州市贵池区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  自新冠疫情爆发以来，防控形势一直复杂严峻，截至今日，据世卫组织最新统计数据显示全球新冠肺炎确诊病例已超亿例，其中亿用科学记数法表示约为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  一个几何体如图水平故置，它的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在一次演讲比赛中，七位评委为某位选手打出的分数如下：，，，，，，单位：分若要去掉一个最高分和一个最低分，则去掉前与去掉后没有改变的一个统计量是(    )

A. 平均分 B. 方差 C. 极差 D. 中位数

7.  如图，在▱中，，，的平分线交的延长线于点，交于点，则：等于(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. 无法确定

8.  如图，四边形为平行四边形，和平行于轴，点在函数上，点、在函数上，点在轴上，则四边形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，在中，，，，为上任意一点，为的中点，连接，在上且，连结，则的最小值为(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，菱形的边长为，，点在边上，动点从点出发以秒的速度沿运动，当点出发秒后，点也以秒的速度沿运动，当点到达点时，，两点同时停止运动．设点运动的时间为秒，的面积为，则关于的函数图象大致为(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.  不等式的解集是______．

12.  因式分解： ______ ．

13.  如图，点是直径的三等分点，点是弧的三等分点弧弧，若直径，则的长为______ ．

14.  如图，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点，过点作分别交，，于点，，，请完成下列问题：
______ ．
若，则 ______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共90.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.  本小题分
计算：

16.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长为个单位的网格中，的顶点均在格点网格线的交点上．
将向上平移个单位，再向右平移个单位得到，画出点，，分别为，，的对应点；
将绕点顺时针旋转得到，画出．

17.  本小题分
池州市创建文明城市，在市区各路口设立遮阳棚的立柱与地面夹角，棚顶与夹角，，点到地面的距离为，求的长度结果保留整数，参考数据；，，

18.  本小题分
观察下列关于自然数的等式：
，
，
，

根据上述规律解决下列问题：
完成第四个等式：        ；
写出你猜想的第个等式用含的式子表示，并验证其正确性；
根据你发现的规律，可知        直接写出结果即可

19.  本小题分
九章算术方程问题：“五只雀、六只燕，共重斤等于两，雀重燕轻互换其中一只，恰好一样重问：每只雀、燕的重量各为多少？”

20.  本小题分
如图，以的直角边为直径作，交斜边于点，为边的中点，连．
请判断是否为的切线，并证明你的结论．
当：：时，时，求的半径．

21.  本小题分
池州某中学在落实“双减”的背景下，决定在课后延时服务中组织学生开展社团活动，现准备开设手工、摄影、航模、编程四门校本课程，规定每名学生必须且只能选修一门校本课程，学校对七年级学生选修校本课程的情况进行了抽样调查，根据调查结果绘制了如图下面两幅不完整的统计图请你根据统计图提供的信息，解答下列问题．
本次调查，一共调查了______ 名学生；
补全条形统计图和扇形统计图；
若本次调查中选择“航模”课程中的女生占，则在全校名学生中，请你估计约有多少名女生会选择“航模”课程；
如图手工学生小明先从左端、、三个绳头中随机选两个打一个结，再从右端、、三个绳头中随机选两个打一个结，求这三根绳子连接成一根长绳的概率．
 

22.  本小题分
已知二次函数的图象经过点．
求的值；
，求的最大值与最小值的差；
若一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是，且时，求函数的最小值．

23.  本小题分
在四边形中，，，对角线，过点作交的延长线于点，连接．
证明：∽；
若，证明：；
在的条件下，试求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：因为．
所以的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义，乘积是的两个数互为倒数解答即可．
本题主要考查倒数的定义，解决本题的关键是熟记乘积是的两个数互为倒数．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿，
故选：．
根据科学记数法的表示形式的形式，其中，为整数，为原数的位数减即可解答．
本题考查了科学记数法的表示方法，正确确定的值以及的值是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可．
【解答】
解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意，
故选：．  

4.【答案】 

【解析】解：从正面看，是一个矩形，矩形的中间有一条纵向的虚线．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
此题主要考查了简单组合体的三视图，正确掌握主视图的定义是解题关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：如图：

，，
，
，，
，
．
故选：．
先根据平行线性质求出，再根据邻补角的定义求出，最后根据三角形外角性质得出．
本题考查了平行线性质和三角形外角性质的应用，掌握平行线性质和三角形外角性质是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：原来个数据，从小到大排列处在中间位置的那个数与去掉一个最高和一个最低后剩下的个数中间位置的那个数是相同的，
因此中位数不变，
故选：．
根据中位数的实际意义，通过比较去掉最高分和最低分前后的数据变化进行判断即可．
本题考查中位数、众数、平均数、极差的意义，理解各个概念的意义和计算方法是正确判断的前提．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
，
：：，
故选：．
利用平行四边形的性质可得，，然后利用角平分线的定义和平行线的性质可得是等腰三角形，从可得，进而求出的长，进行计算即可解答．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作轴于，轴于，轴于，
四边形为平行四边形，和平行于轴，
，，
．
故选：．
作轴于，轴于，轴于，根据平行四边形的面积公式以及反比例函数系数的几何意义即可求得．
本题考查了反比例函数系数的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．
 

9.【答案】 

【解析】解：取的中点，连接，，
为的中点，
，
，，，
，
，
，
，
当、、三点共线的时，的值最小，
．
故选：．
根据锐角三角函数得到，再利用中位线定理得到，最后根据、、三点共线的时，的值最小即可解答．
本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形的性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：当，点在上，，
过点作于点，如图，

在中，
，
．

是的一次函数，图象是一条线段；
当，点在边上，过点作于点，如图，
则．

．
此时关于的函数图象是一条与轴平行的线段；
当时，点在边上，则，，
过点作，交延长线于点，如图，

，
．
．
．
此时关于的函数图象是一条开口向下的抛物线的一部分，
综上，关于的函数图象大致为，
故选：．
分，，三种情形，分别得出与的函数关系式再进行判断即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，特殊角的三角函数值，解直角三角形，三角形的面积．利用分类讨论的思想求出相应的函数解析式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：不等式，
解得：，
故答案为：
不等式移项合并，即可确定出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
先提公因式然后再用平方差公式分解因式即可．
本题主要考查了分解因式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：过作于，则，

点是直径的三等分点，直径，
，，，
，
点是弧的三等分点弧弧，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
过作于，求出，解直角三角形求出、的长度，求出，再根据勾股定理求出即可．
本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和直角三角形的性质，能求出和半径的长度是解此题的关键．
 

14.【答案】  

【解析】解：四边形为正方形，
，，
根据折叠可知，，，，
，，
，
≌，
，
；
故答案为：；
过点作于点，如图所示：

，
，
，
，，
≌，
，，
，，
∽，
，
，
，
设，
，
，
，
，
，
解得：，
．
故答案为：．
根据折叠得出，证明≌，得出，根据，求出结果即可；
过点作于点，证明≌，得出，，证明∽，得出，设，则，得出，得出，根据，求出的值，即可得出答案．
本题主要考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的性质和判断，作出辅助线构造全等三角形，证明≌．
 

15.【答案】解：

． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地化简各式是解题的关键．
 

16.【答案】解：如图，为所作；
如图，为所作．
 

【解析】利用网格特点和平移的性质画出点、、的对应点、、即可；
利用网格特点和旋转的性质画出点、、的对应点、、即可．
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．
 

17.【答案】解：如图，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，则，四边形是矩形，

，
在中，，
，
在四边形中，，，在中，．
答：的长度为． 

【解析】如图，过点作垂直交于点，过点作垂直交于点，过点作交于点，则，然后在中解直角三角形可得，进而得到；然后运用四边形的内角和定理求得，最后在中解直角三角形即可解答．
本题主要考查了解直角三角形、四边形的内角和等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．
 

18.【答案】   

【解析】解：观察可发现，等号右边第一个乘式的第一个数字均是序列号，后面就是连续的整数，第二个乘式的第二个数字是序列号，第一个和第三个分别是序列号的相邻数字，
所以第四个式子右边应该是：；
故答案为：；
由观察可得，等式左边乘式的组成为，第一个数字为，第二个数字为序列号，第三个数字为序列号加，
再由可知，第个式子应该就是：；
等式右边左边，
所以猜想正确．




，
故答案为：．
观察前三个等式，观察三个等式规律，找到相同点和不同点，相同点每个式子第一个都是，不同点在于第二个就是序号数字，第三个是序号数字加，根据此即可解出此题．
根据所给的等式的特点，不难得出第个等式为：，对等式右边进行整理即可求证；
利用中的规律进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，有理数的混合运算，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律．
 

19.【答案】解：设每只雀、燕的重量各为两，两，由题意得：

解方程组得：
答：每只雀、燕的重量各为两，两． 

【解析】可以设每只雀、燕的重量各为两，两，根据总重为两，互换一只重量相等，可列出两个方程，求方程组的解即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
 

20.【答案】解：是的切线，
证明：连接，；

在，为边的中点，
．
在和中，
，
≌．
．
是的切线．

连接，

是的直径，
，
，
为的中点，
，
，，
∽，
，
，
设，，
，
负值舍去．
，．
的半径． 

【解析】连接，，根据全等三角形的判定，易得≌，进而可得，故DE是的切线．
连接，设，，证明∽，由相似三角形的性质得出，代入数据可得关于的方程，解可得答案．
本题考查切线的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
 

21.【答案】 

【解析】解：本次调查一共调查的学生数为，
本次调查，一共调查了名学生．
故答案为：；
选修手工的人数为名，
选修编程的学生人数占学生总数的百分比为：，
选修航模的人数为：名，占学生总数的百分比为：．
补全条形统计图和扇形统计图：

人，
约有名女生会选择“航模”课程．
由题意列表如下：
 

分别在两端随机任选两个绳头打结，总共有三类种情况，每种发生的可能性相等，且能连接成为一根长绳的情况有种，
左端连，右端连或；
左端连，右端连或；
左端连，右端连或．
三根绳子能连接成一根长绳的概率为．
用摄影的人数除以其所占百分比即可得到本次一共调查了学生数；
依据总人数和手工所占的百分比可求出手工人数，从而求出航模人数及航模所占的百分比，即可补全条形统计图和扇形统计图；
根据选修航模的女生百分比，及该课程中女生所占的百分比，即可估计该学校有多少名女生选修航模；
用列表法可得：分别在两端随机任选两个绳头打结总共的情况数以及能连接成为一根长绳的情况有种，然后运用概率公式即可解答．
本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率、条形统计图与扇形统计图、用样本估计整体等知识点，用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．
 

22.【答案】解：二次函数的图象经过点，
，
；

由可知，二次函数为：，
对称轴为，
时，，
，
时，，
最大值与最小值差为．

，
直线数经过定点，
时，，
一次函数的图象与二次函数的图象的一个交点为
，
，
，，
，
抛物线顶点坐标为，
，
的最小值为． 

【解析】直接将点代入函数求解即可；
先求出函数对称轴，判断函数的增减性，然后计算出最大值和最小值后直接求差即可；
求出一次函数的定点坐标，推出，然后可直接求出二次函数的最小值即为所求最小值．
此题考查二次函数，解题关键是根据二次函数的增减性求出自变量取值范围内的函数最大值与最小值，难点是含有一个未知数的一次函数会过定点．
 

23.【答案】证明：，，
，
，
∽；
证明：由可知：∽，
，
，
，
，
∽，
，
，，
；
解：如图，延长交于，
设，，
，，
，
，
∽∽，
，，，
，
，
解得：，
在中，，
即，
解得：，
． 

【解析】根据两角相等的两个三角形相似证明∽；
根据相似三角形的性质得到，再证明∽，根据相似三角形的性质证明即可；
延长交于，设，，根据相似三角形的性质用表示出、，根据勾股定理求出，根据正切的定义计算，得到答案．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．