2023年湖南省娄底市娄星区中考数学二模试卷（含解析）

2023年湖南省娄底市娄星区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  大量事实证明，环境污染治理刻不容缓．据统计，全球每秒钟约有万吨污水排入江河湖海．把万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下面的图形是天气预报的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  不等式组的最小整数解为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知一组数据，，，，的平均数为，则另一组数据，，，，的平均数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  以下几何体的主视图、俯视图和左视图都是长方形的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  直线经过第一、二、四象限，则反比例的图象在(    )

A. 第一、二象限 B. 第三、四象限 C. 第一、三象限 D. 第二、四象限

9.  在下列条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. 对角线互相平分 B. 一组对边平行且相等
C. 两组对边分别平行 D. 一组对边平行，另一组对边相等

10.  已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流单位：与电阻单位：是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是(    )

A. 函数解析式为 B. 蓄电池的电压是
C. 当时， D. 当时，

11.  如图，已知、分别是的，边上的点，，且：：，那么：等于(    )
 

A. ： B. ： C. ： D. ：

12.  在如图所示的平面直角坐标系中，是边长为的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则是正整数的顶点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  函数的自变量的取值范围是______．

14.  已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．

15.  如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为，扇形的圆心角为，这个扇形的面积为______．

16.  如图，在边长为的正方形中，为的中点，为对角线上的一个动点，则线段的最小值为______ ．

17.  如图是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形的面积是小正方形面积的倍，那么的值为______．

18.  定义：是不为的有理数，我们把称为的差倒数，如的差倒数是，的差倒数是，已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，以此类推，则 ______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
计算：．

20.  本小题分
先化简，再求值，其中满足．

21.  本小题分
某中学九班为了了解全班学生喜欢球类运动的情况，取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面，调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了个兴趣小组，并绘制了如下两幅不完整的统计图如图，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类，请你根据图中提供的信息解答以下问题：

九班学生人数为多少人？
补全条形统计图；
______ ， ______ ；
排球兴趣小组名学生中有男女，现在打算从中随机选出名学生参加学校的排球队，请用列表或画树状图的方法求选出的名学生恰好是男女的概率．

22.  本小题分
某大楼楼顶挂着“众志成城，抗击疫情”的大型宣传牌，为了测量宣传牌的高度，小江从楼底向前走米到达点，在处测得宣传牌下端的仰角是，小江再沿斜坡行走米到达点，在处测得宣传牌上端的仰角是，已知斜坡的坡度：，点、、、在同一平面内，，宣传牌的高度约为多少米？保留两位小数，参考数据：，，，

23.  本小题分
某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元．
求每台型电脑和型电脑的销售利润；
该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的倍，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元求关于的函数关系式；该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？

24.  本小题分
如图，在▱中，对角线与相交于点，点，分别在和的延长线上，且，连接，．
求证：≌；
连接，当平分时，四边形是什么特殊四边形？请说明理由．

25.  本小题分
如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线与的延长线相交于点．
求证：是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段的长．

26.  本小题分
如图，抛物线经过、、三点．
求抛物线的解析式；
如图，在抛物线的对称轴上是否存在点，使得四边形的周长最小？若存在，求出四边形周长的最小值；若不存在，请说明理由．
如图，点是线段上一动点，连接，在线段上是否存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
利用完全平方公式，合并同类项的法则，同底数幂的除法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查完全平方公式，合并同类项，积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

4.【答案】 

【解析】解：、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：解第一个不等式得：；
解第二个不等式得：
故不等式组的解集是：．
故最小整数解是：
故选：．
首先解不等式组求得不等式的解集，然后确定解集中的最小整数值即可．
本题主要考查了不等式组的解法，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
 

6.【答案】 

【解析】解：依题意得：，
所以平均数为．
故选C．
本题可根据平均数的性质，所有数之和除以总个数即可得出平均数．
本题考查的是平均数的定义，本题利用了整体代入的思想．
 

7.【答案】 

【解析】解：、长方体的主视图、俯视图和左视图都是长方形，故此选项符合题意；
B、四棱锥主视图是三角形、俯视图是长方形且有对角线，左视图是三角形，故此选项不合题意；
C、圆柱的主视图是长方形、俯视图是圆，左视图是长方形，故此选项不合题意；
D、圆锥与圆柱组合体的主视图是长方形与等腰形组合图形、俯视图是圆且有圆心，左视图是长方形与等腰形组合图形，故此选项不合题意．
故选：．
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
 

8.【答案】 

【解析】解：直线经过第一、二、四象限，
，，
，
则反比例函数图象位于第二、四象限．
故选：．
由一次函数经过第一、二、四象限，利用一次函数图象与系数的关系得到小于，大于，可得出小于，再利用反比例函数的性质得到反比例函数图象位于第二、四象限．
此题考查了反比例函数的性质，以及一次函数图象与系数的关系，反比例函数，当时，图象位于第一、三象限，且在每一个象限，随的增大而减小；当时，图象位于第二、四象限，且在每一个象限，随的增大而增大．
 

9.【答案】 

【解析】解：、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
B、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
C、两组对边分别平行的四边形是平行四边形；故本选项能判定；
D、一组对边平行，另一组对边相等不一定是平行四边形；故本选项不能判定．
故选：．
根据平行四边形的判定定理分别分析各选项，即可求得答案．
此题考查了平行四边形的判定．熟记平行四边形的判定方法是解此题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：设，
图象过，
，
，
蓄电池的电压是，
、B错误，不符合题意；
当时，，
C错误，不符合题意；
当时，，
由图象知：当时，，
D正确，符合题意；
故选：．
根据函数图象可设，再将代入即可得出函数关系式，从而解决问题．
本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，关键是掌握函数图象上点的坐标必能满足解析式．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似三角形的判定及性质，此题的关键是理解相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由题可知：∽，相似比为：，由：：，得：：，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解即可．
【解答】

解：，
∽，
：：，
：：，
：：，
：：．
故选B．

12.【答案】 

【解析】解：是边长为的等边三角形，
的坐标为，的坐标为，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
与关于点成中心对称，
点与点关于点成中心对称，
，，
点的坐标是，
，
，，，，，
的横坐标是，的横坐标是，
当为奇数时，的纵坐标是，当为偶数时，的纵坐标是，
顶点的纵坐标是，
是正整数的顶点的坐标是
故选：．
首先根据是边长为的等边三角形，可得的坐标为，的坐标为；然后根据中心对称的性质，分别求出点、、的坐标各是多少；最后总结出的坐标的规律，求出的坐标是多少即可．
此题主要考查了坐标与图形变化旋转问题，要熟练掌握，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少．
 

13.【答案】且 

【解析】解：根据题意得，且，
解得且．
故答案为：且．
根据被开方数大于等于，分母不等于列式进行计算即可得解．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

14.【答案】且 

【解析】解：由关于的方程有两个不相等的实数根，
得且，
解得且．
故答案为且．
由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程的根的判别式是即可进行解答．
本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
 

15.【答案】 

【解析】解：设圆锥母线为，底面圆的半径为，
底面圆的面积为，
，
，
底面圆的周长为：，
扇形的弧长等于底面圆的周长为，
则，
解得：，
扇形的面积为，
故答案为：．
设圆锥母线为，底面圆的半径为，首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得圆锥母线即扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求解即可．
本题考查了圆锥的计算及扇形的面积的计算，解题的关键是牢记计算公式．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，连接，
由，，，可得≌，
，
，
当点，，在同一直线上时，的最小值为长，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
由勾股定理得：，
故答案为：．
连接，当点，，在同一直线上时，的最小值为长，根据勾股定理计算的长即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题，勾股定理等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：设小正方形边长是，
则小正方形面积是，大正方形的面积是，
大正方形的边长是，
图中的四个直角三角形是全等的，
，
设，
在中，，
即
解得：，舍去，
，，
，
故答案为：．
设小正方形边长是，则大正方形的面积是，设，利用勾股定理求出，最后利用熟记函数定义即可解答．
本题考查正切，勾股定理，此题中根据正方形以及直角三角形的面积公式求得直角三角形的三边，进一步运用锐角三角函数的定义求解．
 

18.【答案】 

【解析】解：由题意，得：
，
，
，
，
，
由此可得，这列数依次以，，循环出现，
，
，
故答案为：．
根据题目中的数据，求出这列数的前几项，从而发现数字的变化特点，然后根据变化特点即可得到的值．
本题考查数字的变化类、新定义，解答本题的关键是明确题意，发现出数字的变化特点，当不能从题干当中直接得到结果时，求去前面几项，然后再分析规律是答题过程中常用的一种技巧．
 

19.【答案】解：


． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

20.【答案】解：




，
，
，
原式． 

【解析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据，可以求得所求式子的值．
 

21.【答案】   

【解析】解：九班的学生人数为：人，
足球的人数是：人，补图如下：

，
则；
，
则；
故答案为：，；
根据题意画出树状图如下：

一共有种情况，恰好是男女的情况有种，
则选出的名学生恰好是男女的概率为：．
根据篮球的人数和所占的百分比求出总人数，
用总人数减去其它球类项目的人数，求出足球的人数，从而补全统计图；
用足球的人数除以总人数，求出，再用排球的人数除以总人数，即可求出；
根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出选出的名学生恰好是一男一女的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

22.【答案】解：如图：过点作，垂足为，

由题意得：，，，米，
在中，，
米，
斜坡的坡度：，
，
设米，则米，
米，
米，
，
，
米，米，
米，
在中，，
米，
米，
宣传牌的高度约为米． 

【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，，米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据已知可设米，则米，在中，利用勾股定理进行计算可求出，的长，从而求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】解：设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；
根据题意得，
解得．
答：每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；

根据题意得，，
即；

据题意得，，
解得，
，
随的增大而减小，
为正整数，
当时，取最大值，则，
此时最大利润是．
即商店购进台型电脑和台型电脑的销售利润最大，最大利润是元． 

【解析】设每台型电脑销售利润为元，每台型电脑的销售利润为元；然后根据销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元列出方程组，然后求解即可；
根据总利润等于两种电脑的利润之和列式整理即可得解；
根据型电脑的进货量不超过型电脑的倍列不等式求出的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出利润的最大值即可．
本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题目信息，准确找出等量关系列出方程组是解题的关键，利用一次函数的增减性求最值是常用的方法，需熟练掌握．
 

24.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在和中，
，
≌；
四边形是菱形，理由如下：
平分，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
▱是菱形． 

【解析】根据四边形是平行四边形，得，，可证，然后通过证≌即可；
由平分，得，又因为，则，有，可证出，然后证出四边形为平行四边形即可解决问题．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，证出是解题的关键．
 

25.【答案】解：如图，连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；

，
，
，
，
，，
，
∽，

是的直径，
，
在中，，
平分，
，
，
，
在中，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】先判断出，进而判断出，得出即可得出结论；
先判断出，再判断出，即可得出结论；
先求出，再判断出，利用勾股定理求出，最后用∽得出比例式求解即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆的性质，切线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，同角的余角相等，判断出∽是解本题的关键．
 

26.【答案】解：根据题意设抛物线的解析式为，
代入得，
解得，
，
所以，抛物线的解析式为．
、关于对称轴对称，如图，连接，
与对称轴的交点即为所求的点，此时，
四边形的周长最小值为：，
、、，
，，，
；
在抛物线的对称轴上存在点，使得四边形的周长最小，四边形周长的最小值为．
、，
直线的解析式为，
当时，如图，设，
，
只能，
轴，
∽，
，即，解得，代入得，，解得，
；
当时，如图，
，
只能，
设，
，
，，
∽，
，解得，
作，
，即，
，，
，
，
综上，在线段上存在这样的点，使为等腰三角形且为直角三角形，点的坐标为或 

【解析】把点、、三点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解；
、关于对称轴对称，连接，则与对称轴的交点即为所求的点，此时，四边形的周长最小值为：；根据勾股定理求得，即可求得；
分两种情况分别讨论，即可求得．
本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质等；分类讨论思想的运用是本题的关键．