2023年江西省赣州市石城县中考数学第一次联考试卷（含解析）

2023年江西省赣州市石城县中考数学第一次联考试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  的倒数为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  如图是一个拱形积木玩具，其主视图是
(    )

A.
B.
C.
D.

3.  下列说法正确的是(    )

A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数一定是奇数
B. “从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是必然事件
C. 了解一批冰箱的使用寿命，采用抽样调查的方式
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则甲组数据更稳定

4.  如图，为的直径，弦于，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

5.  如图，将放在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上，则的值是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  二次函数的图象如图所示下列结论：；；为任意实数，则；；若且，则其中正确的有(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

7.  分解因式： ______ ．

8.  抛物线和抛物线关于原点对称，则抛物线解析式是______ ．

9.  已知，是一元二次方程的两根，且，则______．

10.  欧阳修的卖油翁中写道：“翁乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱是直径为的圆面，中间有边长为的正方形孔现随机向铜钱上滴一滴油油滴的大小忽略不计，那么油滴落入孔中的概率为______ ．

11.  如图，将等边三角形沿边上的高线平移到，阴影部分面积记为，若，，则______．

12.  两块全等的等腰直角三角形如图放置，，交于点，在斜边上移动，斜边交于点，，，当是等腰三角形时，则的长为______．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

13.  解不等式组：并在数轴表示它的解集．
 

四、解答题（本大题共10小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14.  本小题分
计算：；
如图，已知平分，且，求证：．

15.  本小题分
如图，平分，为上一点，．
求证：∽；
若为中点，，求的长．
 

16.  本小题分
为了促进青少年校园足球活动的开展，现决定从我市中学生足球比赛三支获奖足球队，，队中，随机抽取两支球队分别到边远地区学校进行交流展示．
本次活动中“足球队被抽中”是______ 事件；
请用列表或画树状图的方法，求出同时抽到队和队的概率．

17.  本小题分
如图，在每个小正方形的边长为的网格中，的顶点，，均落在格点上，以为直径的半圆的圆心为，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：
请在图中作出的边上的高；
请在图中线段上确定一点，使得；
请在图中作出的切线．

18.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，与轴相交于点．
求反比例函数的表达式；
设为轴正半轴上一点，当是以为底的等腰三角形时，求直线的解析式．

19.  本小题分
图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，，．

求车位锁的底盒长；
若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？通过计算说明理由．参考数据：，，

20.  本小题分
年月日是中国第个植树节，山西省绿化委员会向全省各界发出“积极履行植树义务、携手共建美丽山西”的倡议．为倡导青少年创绿、爱绿、护绿，增强环保意识，传播环保理念，某校准备购买一批树苗，开展“植树造林，织就美丽梦想”活动．现有甲、乙两种树苗供选择，已知乙种树苗比甲种树苗每株贵元，且用元钱购买甲种树苗的数量与用元钱购买乙种树苗的数量刚好相等．
求甲、乙两种树苗每株的价格；
该校计划购买甲、乙两种树苗共株，经调查发现，甲、乙两种树苗的成活率分别为，，要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的费用最低，应如何购买两种树苗？最低费用是多少？

21.  本小题分
如图，四边形内接于，是的直径，点在的延长线上，延长交的延长线于点，点是的中点，．
求证：是的切线；
求证：是等腰三角形；
若，，求的值及的长．

22.  本小题分
已知二次函数：．
有关二次函数的图象与性质，下列结论中正确的有______填序号
二次函数的图象开口向上；
二次函数的图象的对称轴是直线；
二次函数的图象经过定点和；
函数值随着的增大而减小．
当时，抛物线的顶点坐标为______；
将抛物线沿轴翻折得到抛物线，则抛物线的表达式为______；
设抛物线与轴相交于点，过点作直线轴，与抛物线的另一交点为，将抛物线沿直线翻折，得到抛物线，抛物线，的顶点分别记为，是否存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图，在中，，平分交于点，点在的延长线上，过作交的延长线于点，当：时，试说明：；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图中，延长线段，交线段的延长线于点，可以用明≌，从而得到
请接着完成剩下的说理过程；
【方法运用】
在图中，若：，则线段、、之间的数量关系为______用含的式子表示，不需要证明；
如图，若，，，，求出的长；
【拓展提升】
如图，若，连接，已知，，，且，则边的长______．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：的倒数为．
故选：．
乘积是的两数互为倒数，由此即可得到答案．
本题考查倒数，关键是掌握倒数的定义．
 

2.【答案】 

【解析】解：从正面看得到的图形是下面有一半圆的图形．
故选：．
从正面观察得到的图形是主视图．
本题考查了简单组合体的三视图的知识，从正面看所得到的图形是主视图．
 

3.【答案】 

【解析】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数不一定是奇数，故原说法错误，不合题意；
B.“从一副扑克牌中任意抽取一张，抽到大王”是随机事件，故原说法错误，不合题意；
C.了解一批冰箱的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，说法正确，符合题意；
D.若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更稳定，故原说法错误，不合题意；
故选：．
依据随机事件、抽样调查以及方差的概念进行判断，即可得出结论．
本题主要考查了随机事件、抽样调查以及方差的概念，掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量是关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：为的直径，弦，，
，
的面积为，
故选C．
根据垂径定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．
本题考查了三角形的面积，垂径定理的应用，解此题的关键是求出的长．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查锐角三角函数的定义．将角转化到直角三角形中是解答的关键．
在直角三角形中，根据正切的意义可求解．
【解答】
解：如图

在中，，
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：抛物线开口方向向下，则．
抛物线对称轴位于轴右侧，则、异号，即．
抛物线与轴交于正半轴，则．
所以．
故错误．
抛物线对称轴为直线，
，即，
故正确；
抛物线对称轴为直线，
函数的最大值为：；
，即，
故错误；
抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，
抛物线与轴的另一个交点在的右侧，
当时，，
，
故错误；
，
，
，
，
而，
，即，
，
，
故正确．
综上所述，正确的有．
故选：．
由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
 

7.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
利用平方差公式分解即可求得答案．
此题考查了平方差公式分解因式的知识．题目比较简单，解题需细心．
 

8.【答案】 

【解析】解：根据题意，，得．
故答案为：．
根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求解则可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，掌握关于原点对称的点的坐标的特征是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是一元二次方程的两根，
，，
又，即，
解得：，
的值为．
故答案为：．
利用根与系数的关系，可得出，，结合，即可求出的值．
本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：铜钱是直径为的圆面，正方形孔的边长为，
，，
滴落入孔中的概率为．
故答案为：．
分别计算圆和正方形的面积，由几何概型概率公式可得答案．
本题考查了几何概率公式、圆的面积公式、正方形面积公式，熟记概率公式，求出圆面积和正方形面积是解题关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：等边三角形沿边上的高线平移到，
，，
∽∽，
，
，
，
的面积记为，，
，
解得．
故答案为：．
根据平行的性质可知，，进而可证得∽∽，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方可得结论．
本题考查了平移的性质，相似三角形的性质，解题的关键是根据平移的性质证得阴影三角形与原来的三角形相似．
 

12.【答案】或或 

【解析】解：如图，当时，

和都是等腰直角三角形，，
，，，
是的外角，
，
，
∽，
，
，
，
，
当时，如图，

和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
，，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
当时，如图，

和都是等腰直角三角形，，
，，
，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
综上所述，的长为或或，
故答案为：或或．
分，，三种情况讨论，即可求出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质及等腰直角三角形，正确进行分类讨论是解题的关键．
 

13.【答案】解：
不等式的解集为，
不等式的解集为，
故原不等式组的解集为，
解集在数轴上表示为：
． 

【解析】分别解不等式，进而得出不等式组的解集．
此题主要考查了解一元一次不等式组，正确掌握解不等式的方法是解题关键．
 

14.【答案】解：

．

平分，
，
，
，
，
． 

【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
首先根据平分，判断出，然后根据，推得，所以，据此推得即可．
此题主要考查了平行线的判定，以及实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
 

15.【答案】证明：平分，
，
．
∽；
解：为中点，，
，
∽，
，
，
． 

【解析】根据角平分线定义可得，，根据相似三角形的判定定理即可得出答案；
根据为中点，得出，由得∽，根据相似三角形的性质得出：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得出∽是解题的关键．
 

16.【答案】随机 

【解析】解：由题意可得，
本次活动中“足球队被抽中”是随机事件，
故答案为：随机；
树状图如下所示：
由上可得，一共有种可能性，其中同时抽到和的可能性有种，
同时抽到队和队的概率是．
根据题意可知：本次活动中“足球队被抽中”是随机事件；
根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出同时抽到队和队的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
 

17.【答案】解：如图中，线段即为所求；
如图中，线段即为所求；
如图中，直线即为所求．
 

【解析】延长交于点，连接即可；
利用三角形的三条中线交于一点解决问题即可；
取格点，连接即可．
本题考查作图复杂作图，圆周角定理，切线的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

18.【答案】解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
将代入，
得：，
，
反比例函数的表达式为；
如图，过点作轴于点，
在中，
令，
得，
解得：，
，
，
，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
，
，
设直线的函数表达式为，
，，
，
解得：，
直线的函数表达式为， 

【解析】根据一次函数的图象经过点，求出点的坐标，再代入，即可求得答案；
过点作轴于点，先求出点的坐标，再根据是以为底边的等腰三角形，可求出点的坐标，利用待定系数法即可求出直线的解析式．
本题考查反比例函数的综合应用，掌握待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象与反比例函数图象的交点问题是解题的关键．
 

19.【答案】解：过点作于点，如图：
，
，
在中，，，
，
；

在中，
，
，
当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位． 

【解析】过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义．
 

20.【答案】解：设甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元，
由题意得：，
解得，
经检验是原方程的根，
此时，
答：甲种树苗每株的价格为元，乙种树苗每株的价格为元；
设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，购买的总费用为元，由题意得：
，
，
，
，
随的增大而减小，
时，最低元．
答：购买甲种树苗株，乙种树苗株费用最低，最低费用是元． 

【解析】设甲种树苗每株的价格分别为元，乙种树苗每株的价格为元，根据用元钱购买甲种树苗的数量与用元钱购买乙种树苗的数量刚好相等，列方程求解即可；
设甲种树苗购买株，则乙种树苗购买株，购买的总费用为元，根据条件建立不等式和与的函数关系式，由一次函数的性质就可以得出结论．
本题考查了分式方程的解实际的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，一次函数的解析式的运用，解答时由方程组求出两种树苗的单价是关键．
 

21.【答案】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

证明：
在和中，
，
≌，
，
又，
．
是等腰三角形；

解：，，
∽，
，
，
，
．
在直角中，由勾股定理得到：，即．
．
．
是圆的直径，
，
，即．
解得． 

【解析】连接，可证得，由，可得出，即结论得证；
证明≌可得，又，则；
证明∽，可求出的长，得出的长；在直角中，由勾股定理得到边的长度；所以根据余弦三角函数的定义求得的值；根据圆周角定理推知，则，将已知线段的长度代入，借助于方程求解即可．
本题考查圆的综合题，需要掌握切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
 

22.【答案】     

【解析】解：当时，抛物线的开口向上，故不一定正确；
抛物线的对称轴为直线，故正确；
在中，时，时，即抛物线经过定点和，故正确；
二次函数的值在对称轴两侧的增减性恰好相反，故不正确；
故答案为：；
当时，，
，
抛物线的顶点坐标为，
故答案为：；
将抛物线沿轴翻折得到抛物线，
抛物线的顶点为，
抛物线的表达式为，
故答案为：；
存在实数，使得以点，，，为顶点的四边形为正方形，理由如下：
如图：

在中，令得，
，
抛物线的对称轴为直线，
，
在中，令得，
，
，关于直线对称，
，
由对称性知，互相平分，且，
以点，，，为顶点的四边形为正方形，只需，
，
解得或，
的值为或．
根据二次函数性质，逐项判断即可得答案；
当时，，配成顶点式可得抛物线的顶点坐标为，求出抛物线的顶点为，即得抛物线的表达式为，
求出，，，由，关于直线对称，得，而，互相平分，且，故以点，，，为顶点的四边形为正方形，只需，即有，可解得答案．
本题考查二次函数的综合应用，涉及翻折变换，正方形等相关知识，解题的关键是掌握翻折的性质和二次函数相关的性质．
 

23.【答案】   

【解析】证明：当：时，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
又平分，
，
，
，
；
，
当时，
，
，
又，
∽，
，即，
又平分，
，
，
，
；
由得，，
，
，
：，
，
，
；
延长、交点为．

由可知：，即．
过点作，在中，．
即，
，
设，则，，
在中，由勾股定理可得，
解得，
当时，，设，则，在中，
由勾股定理可得：，
解得，，，成立．
当时，同理可求，，．
，
此种情况不成立．
延长、交于点，当：时，，再根据，，证出≌，得出，又因为，所以，，即可证出；
当：时，同可得∽，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
根据的结论代入数值计算即可；
延长、交点为，由可知，过点作，在中，，所以，设，则，，在中，由勾股定理可得，解得，当时，在中，，解得，，，成立，当时，因为，此种情况不成立．
此题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的性质列出方程，要注意的是中，要进行分类求解．