湖南省衡阳市部分校2021-2022学年高一下学期期末数学试题

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湖南省高一期末考试数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根据二次方程求解集合，再求并集即可【详解】由已知得，则.故选：A2. 下列调查中，调查方式选择合理的是（    ）A. 了解某市高一年级学生的身高情况，选择普查B. 了解长征运载火箭的设备零件质量情况，选择抽样调查C. 了解一批待售袋装牛奶的细菌数是否达标，选择普查D. 了解一批炮弹的杀伤力，选择抽样调查【答案】D【解析】【分析】根据调查方式的特点逐个辨析即可【详解】AC总量太大不适合普查，B应该普查，根据抽样调查和普查的特点即可判断D正确.故选：D3. 若一个圆锥的底面面积为，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根据圆锥底面积求得圆锥底面半径，根据侧面展开图是圆心角为的扇形求得母线长，进而求得圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求得答案.【详解】设该圆锥的底面半径为r,则 ，所以该圆锥的底面半径，设圆锥的母线长为，则，即，则圆锥的高为 ，因此该圆锥的体积，故选:B4. 袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（    ）①A与B是互斥但不对立事件②B与C是对立事件③A与C是互斥但不对立事件A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③【答案】C【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断A,B,C之间的互斥或对立的关系，可得答案.【详解】由题意知，事件A为摸出的小球编号都为奇数，事件B为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A,B不互斥不对立，故①错误；事件C为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号前位一个奇数一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B,C是对立事件，故②正确；事件A,C不会同时发生，但摸出两球的编号可能都是偶数，即A,C可能都不发生，故A,C是互斥但不对立事件，故③正确，故选：C.5. 在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，DE交AC于F，则（    ）
 A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由题可得，再根据向量运算法则即可表示.【详解】因为是BC的中点，，所以，所以.故选：D.6. “”是“”的（    ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据分式与二次不等式分别求解，再根据充分与必要条件的性质求解即可【详解】由，可得，则，由，可得，则，故“”是“”的充分不必要条件.故选：A7. 科学记数法是一种记数方法.把一个数表示成与10的次幂相乘的形式，其中.当时，.若一个正整数的16次方是12位数，则是（    ）（参考数据：）A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】根据题意得，进而结合题意得，再根据得，进而得.【详解】解:由题意可设，因为正整数的16次方是12位数，所以，所以，因为，所以，所以，则，又.78，所以.故选：B8. 已知的顶点都在球的表面上，若，球的表面积为，则点到平面的距离为（    ）A. 1 B.  C.  D. 2【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理可得外接圆半径为，结合球的表面积为可得球的半径，再用勾股定理求解点到平面的距离即可【详解】如图，设是外接圆的圆心，所以.因为球的表面积为，所以球的半径，从而点到平面的距离为.故选：C二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，复数，且为纯虚数，复数的共轭复数为，则（    ）A.  B. C.  D. 复数的虚部为【答案】AC【解析】【分析】由题意，根据为纯虚数，求得m值，根据求模公式、共轭复数的概念，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】由题可知，对于A：因为为纯虚数，所以，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：复数的虚部为，故D错误.故选：.10. 已知向量，，且，是与同向的单位向量，则（    ）A.  B. C  D. 【答案】ACD【解析】【分析】对于选项A，根据，求出的值，进行判断；对于选项B，由的值可得的坐标；对于选项C，由，坐标，可得的坐标，进而计算的模；对于选项D，由的坐标，根据公式计算与其同向单位向量的坐标判断正误.【详解】对于选项A，根据，求出的值，故A正确；对于选项B，由，得，故B错误；对于选项C，，，可得，所以，故C正确；对于选项D，因为单位向量与同向，所以，，故D正确.故选：ACD.11. 如图，这是一个正方体的平面展开图，分别是棱的中点，则在该正方体中（    ）
 A B. 与是异面直线C. 相交于一点D. 【答案】ABC【解析】【分析】将正方体的平面展开图还原，再逐个分析即可【详解】将正方体的平面展开图还原，得到如图所示的正方体，对A，因为，且，故四边形为平行四边形，故，又则成立，故A正确；对B，因为分别是棱的中点，所以平面ADNE,平面ADNE//平面，且与不平行，所以两直线是异面直线，故B正确；对C，，则相交，设相交于点，因为平面平面，平面平面所以，即相交于一点.故C正确；对D，连接，因为，与不垂直，所以与不垂直. 故D错误
 故选：ABC.12. 设函数，已知在上有且仅有4个零点，则（    ）A. 的取值范围是B. 的图象与直线在上的交点恰有2个C. 的图象与直线在上的交点恰有2个D. 在上单调递减【答案】AB【解析】【分析】对于A,确定，根据零点个数确定，求得参数范围；对于B，C，采用整体代换思想，结合余弦函数的图象和性质即可判断；对于D，当时，确定，计算的范围，从而确定在上单调性.【详解】当时，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，故A正确；又由以上分析可知，函数在上有且仅有4个零点，且，则在上，出现两次最大值，此时函数的大致图象如图示：即上两次出现最大值1，即取时，取最大值，故的图象与直线在上的交点恰有2个，故B正确；由于当时，，，当时，取最小值 ，由于是否取到不确定，故的图象与直线在上的交点可能是1个或2个，故C错误；当时， ，因为，所以，，故值不一定小于，所以在上不一定单调递减.故选：AB.【点睛】本题考查了复合型余弦函数的解析式中参数的确定以及零点以及最值和单调性问题，综合性强，计算量大，解答时要能综合应用三角函数的相关知识灵活解答，关键是整体代换思想的应用.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上.13. 某机构组织填写关于环境保护的知识答卷（满分100分），从中抽取了7份试卷，成绩分别为68，83，81，81，86，90，88，则这7份试卷成绩的第80百分位数为___________.【答案】【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可【详解】这组数据为，因为，所以这7份试卷成绩的第80百分位数为88.故答案为：8814. 已知，则___________.【答案】##-0.5【解析】【分析】由两角和的正切公式，展开化简，可得，所求上下同除，计算即可得答案.【详解】由，解得，所以故答案为：15. 已知是关于的方程的根，则___________.【答案】9【解析】【分析】代入方程的根，根据复数相等的条件求解即可【详解】由题可知，即，所以解得所以故答案为：916. 《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图，这是《易经》中记载的几何图形—八卦图．图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦图．已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH所在平面内的一点，则的最小值为______．【答案】【解析】【分析】以为原点建立直角坐标系，设，将表示为关于的关系即可求出.【详解】如图，以为原点建立直角坐标系，则，过作轴，因为正八边形ABCDEFGH，所以是等腰直角三角形，所以,同理，过作轴，则,过作，则，所以，设，则，所以，，则，所以，其中表示点到点的距离的平方，因为点在正八边形ABCDEFGH内，所以的最小值为0，所以的最小值为.故答案为：.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 函数的部分图像如图所示．
 （1）求的解析式；（2）将的图像向右平移个单位长度，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图像，求的解析式．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据图像易得，再求出周期可求出，再利用即可求出；（2）先求出平移后的解析式，再求出的解析式即可.【小问1详解】由函数图像可得，，所以，则，又，所以，即，因为，所以，所以；【小问2详解】将的图像向右平移个单位，可得，再将图像上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得.18. 为了解中学生的身高情况，某部门随机抽取了某学校的100名学生，将他们的身高数据（单位：）按分为五组，绘制成如图所示的频率分布直方图
 （1）求a并估计这100名学生身高的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）在上述样本中，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人身高不低于160的概率.【答案】（1），平均数为    （2）【解析】【分析】（1）由频率分布直方图求解即可；（2）先确定与抽取的人数并分别标记，再结合古典概型的概率公式求解即可【小问1详解】.平均数为，即这100名学牛身高的平均数为；【小问2详解】身高在的学生有人，身高在的学生有人，故身高在的学生共有50人，用分层抽样的方法从身高在的学生中抽取名，记为1，2，从身高在的学生中抽取名，记为.从这5名学生中随机选取2名学生的所有结果为，共10种，其中这2人中至少有1人身高不低于的结果有9种.故所求概率.19. 在①；②两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并给出解答.在中，角的对边分别为，___________.（1）若，求A；（2）已知，求的面积.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）选①，可根据结合正弦定理得到结合题意从而推出，求得答案；选②，由得，结合正弦定理可得，从而推出，结合条件可得答案;（2）选①，由（1）结合条件可知，从而，由余弦定理求得a,根据三角形面积公司，即可求得答案;选②，由（1）结合条件可知，从而，由余弦定理求得a,根据三角形面积公司，即可求得答案;【小问1详解】选①因为，所以，由正弦定理可得，即，由于在中 ，从而或，因为，故舍去，所以；选②因为，所以，即，由正弦定理可得，即，由于在中 ， ，从而，因为，所以.【小问2详解】若选①，由以上解答可知，或，因为，故不合题意，所以，则，由余弦定理 ，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.若选②，由（1）解答可知，，则，由余弦定理 ，可得，解得，因为，所以，从而的面积为.20. 已知函数.（1）当时，求的定义域；（2）若对任意的恒成立，求的取值范围.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）根据对数函数、指数函数的性质计算可得；（2）依题意可得对任意的恒成立，参变分离可得对任意的恒成立，再根据指数函数的性质计算可得；【小问1详解】解：当时，令，即，即，解得，所以的定义域为.【小问2详解】解：由对任意的恒成立，所以对任意的恒成立，即对任意的恒成立，因为是单调递减函数，是单调递减函数，所以在上单调递减，所以，所以在上单调递减，所以，所以，即的取值范围为.21. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD．（1）证明：平面PDC．（2）若E是棱PA的中点，且 平面PCD，求点D到平面PAB的距离．【答案】（1）证明见解析    （2）【解析】【分析】（1）在平面PDC内找到两条相交的的直线，使得PA垂直于它们即可；（2）运用等体积法，求出三棱锥P-ABD的体积和和三角形PAB的面积即可.【小问1详解】∵平面ABCD 平面PAD， ，平面PAD 平面ABCD=AD，∴CD 平面PAD， ，即 平面PDC， 平面PDC， 平面ABCD；【小问2详解】 平面PDC， 平面PDC， ，在 中， ， ， 的面积为 ，取AD的中点G，连接PG，BG，因为 是等腰直角三角形， ， ， ，又∵平面 平面ABCD， 平面ABCD， ，在 中， ，在 中， ， ， 是直角三角形， 的面积 ，设点D到平面PAB的距离为x，三棱锥P-ABD的体积= ， ；综上，D到平面PAB的距离为 .22. 甲､乙､丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）比赛完3场时，求三人各胜1场的概率；（2）比赛完5场时，求丙恰好有一次两连胜的概率.【答案】（1）；    （2）.【解析】【分析】（1）根据独立事件求概率的公式和概率的加法公式即可求出答案；（2）讨论并恰好是二三场连胜和四五场连胜两种情况，进而结合独立事件求概率的公式和概率的加法公式求得答案.【小问1详解】设甲与乙比赛甲获胜为事件，丙与乙比赛乙获胜为事件，丙与甲比赛丙获胜为事件，且相互独立，则.设“比赛完3场时，三人各胜1场”为事件，则.【小问2详解】当丙恰好是第二场和第三场两连胜时，，当丙恰好是第四场和第五场两连胜时，，所以丙恰好有一次两连胜的概率为.