广东省汕尾市2021-2022学年高一下学期期末数学试题

汕尾市2021-2022学年度第二学期全市高中一年级教学质量监测

数学

本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处.

2.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.

3.答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀.考试结束后，请将本试题及答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知实数，满足，则下列关系式一定成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 已知，向量与的夹角为，则（    ）

A. 5 B.  C.  D.

4. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ）．

A.  B.  C.  D.

5. 在中，已知，则角为（    ）

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 已知，则的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 如图，已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

8. 一纸片上绘有函数（）一个周期的图像，现将该纸片沿x轴折成直二面角，原图像上相邻的最高点和最低点此时的空间距离为，若方程在区间上有两个实根，则实数a的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下面是关于复数的四个命题，其中真命题为（    ）

A.  B.

C. 虚部为-1 D. 的共轭复数为

10. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（    ）

A. 若，，，则 B. 若，，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，则

11. 正四棱台中，上底面的边长为2，下底面的边长为4，棱台高为1，则（    ）

A. 该四棱台侧棱长为 B. 与所成角的余弦值为

C. 与面所成的角大小为 D. 二面角的大小为

12. 在中，A，B，C的对边分别为a，b，c，R为外接圆的半径，的面积记为，则下列命题正确的是（    ）

A. 的充要条件是

B. 若，则直角三角形

C. 若，，，则

D. 不存在，满足，，同时成立

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分

13. 已知向量，，若，则_______.

14. 已知函数，则_______.

15. 已知函数（），将图象上所有点向右平移个单位，得到奇函数的图象，则常数的一个取值为____.

16. 在平面四边形中，，，，，交于点O，若，则的值为______，的长为______.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 在平而直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同两个单位向量分别为和，，.

（1）求向量与夹角的余弦值；

（2）若点P是线段的中点，且向量与垂直，求实数k的值.

18. 已知函数，其中，，是函数的两个零点，且的最小值为.

（1）求使取得最大值时自变量x的集合，并求的最大值；

（2）求的单调递增区间.

19. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是线段，的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）记平面与平面的交线为，试判断直线与直线的位置关系，并说明理由．

20. 设a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，已知.

（1）求角B；

（2）若，且，求边c.

21. 在直三棱柱中，D，E分别是，的中点，，，，.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离.

22. 某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.

（1）已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；

（2）设向量与向量夹角为（），向量与向量的夹角为（），甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？