2022-2023学年江苏省无锡市江阴市澄西片七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年江苏省无锡市江阴市澄西片七年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  如图所示的图案分别是大众、三菱、奔驰、奥迪汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列由左到右的变形中，因式分解正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  下列各式中与相等的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图，可以判定的条件是(    )
 

A.
B.
C.
D.

6.  如图，已知，则、、的关系是(    )

A.  B.
C.  D.

7.  多边形剪去一个角后，多边形的外角和将(    )

A. 减少 B. 增大 C. 不变 D. 以上都有可能

8.  如图，，平分，，则等于．(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.  一个正整数若能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“创新数”，例如，，故，都是“创新数”，下列各数中，不是“创新数”的是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，的角平分线、相交于，，，且于，下列结论：
；
；
平分；
．
其中正确的结论是(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

11.  数据用科学记数法可表示为______ ．

12.  多项式的公因式是______ ．

13.  若正有理数使得二次三项式是一个完全平方式，则______．

14.  如果的乘积中不含项，则______．

15.  已知，且，则式子的值是______．

16.  在中，已知点、、分别是边、、上的中点，且，则的值为______ ．

17.  现有若干张边长为的正方形型纸片，边长为的正方形型纸片，长宽为、的长方形型纸片，小明同学选取了张型纸片，张型纸片，张型纸片拼成了一个长方形，则此长方形的周长为______用、代数式表示

18.  小明将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起，当且点在直线的上方时，他发现若______，则三角板有一条边与斜边平行．写出所有可能情况

三、计算题（本大题共2小题，共16.0分）

19.  计算：
；
．

20.  已知，，，其中．
求证：，并指出与的大小关系；
阅读对因式分解的方法：
解：．
请完成下面的两个问题：
仿照上述方法分解因式：；
指出与哪个大？并说明你的理由．

四、解答题（本大题共6小题，共38.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.  本小题分
把下面各式分解因式：
；
．

22.  本小题分
先化简，再求值：，其中，．

23.  本小题分
如图，每个小正方形的边长为个单位，每个小方格的顶点叫格点仅用无刻度的直尺完成下列作图．
画出向右平移个单位后的图形注意标上字母；
画出的中线注意标上字母；
在图中存在满足与面积相等的格点与点不重合共计有______ 个

24.  本小题分
如图，已知，．
求证：；
若平分，交于点，且，求的度数．
 

25.  本小题分
甲同学在拼图探索活动中发现，用个形状大小完全相同的直角三角形直角边长分别为、，斜边长为，可以拼成像如图那样的正方形，并由此得出了关于，，的一个等式．

请你写出这一结论：______，并给出验证过程．
试用上述结论解决问题：如图，是斜边上的一个动点，已知，，求的最小值．

26.  本小题分
已知 中，，，为边延长线上一点，平分，为射线上一点．
如图，连接，
若，求的度数；若平分，求的度数．
若直线垂直于的一边，请直接写出的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：如图所示的图案分别是大众、三菱、奔驰、奥迪汽车的车标，其中可以看作由“基本图案”经过平移得到的是，
故选：．
根据图形，利用平移的性质判断即可．
此题考查了利用平移设计图案，熟练掌握平移的性质是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质，属于基本运算，应重点掌握．
利用同底数幂的除法、合并同类项、同底数幂的乘法及幂的运算性质进行计算后即可得到正确的答案．
【解答】
解：、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、不能再继续计算，故本选项错误；
D、，故本选项正确；
故选：．  

3.【答案】 

【解析】解：、，由左到右的变形中，因式分解正确，符合题意；
B、，是整式乘法，不合题意；
C、，不是因式分解，不合题意；
D、，是整式乘法，不合题意；
故选：．
直接利用因式分解的定义以及整式的乘法运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了公式法分解因式以及整式的乘法运算，正确掌握相关定义是解题关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
．
故选A．
把根据完全平方式整理，然后直接选取答案．
此题主要考查完全平方式的定义及其应用，比较简单．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，
，本选项符合题意；
B、，
，本选项不符合题意．
C、，
，本选项不符合题意；
D、，
，本选项不符合题意，
故选：．
分别利用同旁内角互补两直线平行，内错角相等两直线平行得出答案即可．
此题考查了平行线的判定，平行线的判定方法有：同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行，熟练掌握平行线的判定是解本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
即，
故选：．
根据两直线平行，同位角相等和三角形外角性质解答即可．
此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，同位角相等解答．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据多边形的外角和为，可得：多边形剪去一个角后，多边形的外角和还是，
所以多边形的外角和将不变．
故选：．
多边形的内角和与边数相关，随着边数的不同而不同，而外角和是固定的，从而可得到答案．
此题主要考查了多边形的外角和定理，题目比较简单，只要掌握住定理即可．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键．根据角平分线的定义求出，再根据两直线平行，内错角相等可得．
【解答】
解：平分，，
，
，
．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了平方差公式在新定义类计算中的简单应用，正确将所给的数字拆成平方差的形式是解题的关键．
根据数字的特点，分别将、和写成两个正整数的平方差的形式，而不能写成两个正整数的平方差的形式，则问题得解．
【解答】
解：因为，
，
，
不能表示成两个正整数的平方差．
所以、和是“创新数”，而不是“创新数”．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，
平分，
，
，故正确，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，故正确，
假设平分，则，
，不一定符合题意，故错误，
，，
，故正确，
故选：．
正确．利用平行线的性质证明即可．
正确．首先证明，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．
错误．假设结论成立，推出不一定符合题意即可．
正确．证明即可解决问题．
本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：数据用科学记数法可表示为：，
故答案为：．
根据用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，即可得到答案．
本题考查的是用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

12.【答案】 

【解析】解：

，
多项式的公因式是．
故答案为：．
一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的．
本题考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．一个多项式的各项都含有的相同的因式叫做这个多项式各项的公因式．
 

13.【答案】 

【解析】解：是一个完全平方式，
，
为正有理数，
，
故答案为：
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：因为

，
又因为结果不含的项，
所以．
解得．
故答案为：
把式子展开，找到项的所有系数，令其为，可求出的值．
本题主要考查了多项式乘多项式的运算，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故答案为：．
根据平方差公式即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式，本题属于基础题型．
 

16.【答案】 

【解析】解：由于、、分别为、、的中点，
、、、的面积相等，
，，
，
，
，
故答案为：．
由于、、分别为、、的中点，可判断出、、、为、、、的中线，根据中线的性质可知将相应三角形分成面积相等的两部分，据此即可解答．
此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
 

17.【答案】． 

【解析】解：所得长方形的面积．
所以长方形的长为，宽为，
所以长方形的周长为．
故答案为：．
首先列出长方形的面积的代数式，然后再分解因式，从而得到长方形的长可宽，然后可求得长方形的周长．
本题主要考查的是因式分解的应用，列出所得长方形的面积的代数式，通过因式分解得到长方形的长和宽是解题的关键．
 

18.【答案】或或 

【解析】解：有三种情形：
如图中，当时．

，
，
，
．

如图中，当时，，可得．


如图中，当时，延长交于．

，
，
，
，
综上所述，满足条件的的度数为或或．
故答案为或或．
分三种情形画出图形分别求解即可解决问题；
本题考查旋转变换、平行线的判定和性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考常考题型．
 

19.【答案】解：原式；
原式． 

【解析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；
原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，以及单项式乘除单项式法则计算即可求出值．
此题考查了实数的运算及整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】解： ，
；

；
．
因为，
所以，
从而当时，；
当时，；
当时，． 

【解析】由 可得；
根据，再利用平方差公式分解可得；
由再分类讨论可得．
本题考查了用提公因式法和公式法、十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止，注意整体思想的运用是解题的关键．
 

21.【答案】解：；
． 

【解析】先提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法并灵活应用是解题的关键．
 

22.【答案】解：原式
；
当，时，
原式

． 

【解析】先根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式法则计算整理，再代入数值计算即可．
本题主要考查了整式的化简求值，掌握整式的计算法则和乘法公式是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：如图所示，即所求；


取的中点，连接，如图所示，即为所求；


根据平行线间的距离处处相等，过点作的平行线，如图，不与点重合的格点共有个；

故答案为：．
根据平移的定义先分别作出点、、向右平移个单位后得到的点、、，再顺次连接即可得到所求图形；
根据中线的概念先作出边上的中点，再连接即可得到所求；
利用网格，根据平行线间距离相等，作的平行线，找到格点，即可得出结论．
本题考查了作图平移变换，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键．
 

24.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：过点作，

，
，
，，
，
平分，
，
，
． 

【解析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的性质得到，再由可得，最后根据平行线的判定即可得到结论；
过点作，根据平行线的性质推出，再根据角平分线的定义推出，得出，最后根据平行线的性质得出答案．
 

25.【答案】验证：阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
，
即．
中，，，
，
解得，
当时，最短，
此时，，
即，
的最小值为． 

【解析】解：结论：．
验证：阴影部分的面积，
阴影部分的面积，
，
即．
中，，，
，
解得，
当时，最短，
此时，，
即，
的最小值为．
用不同的方法表示阴影部分的面积，即可得到关于，，的一个等式．
先求得的长，进而运用面积法即可得出的最小值．
本题主要考查了勾股定理以及面积法的运用，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
 

26.【答案】解： 中，，，
．
平分，
．
，
；
，
．
平分，
，
．
当时，，
；
当时，，
；
当时，延长交于点，如图所示．

，
．
综上所述：的度数为、或． 

【解析】本题考查了三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线、三角形外角的性质以及邻补角，解题的关键是：利用平行线的性质找出；利用三角形外角的性质找出；分、及三种情况考虑．
根据三角形内角和定理可得出的度数，由角平分线的性质可得出，再利用平行线的性质即可求出的度数；
由邻补角互补可求出的度数，由角平分线的性质可得出的度数，再利用三角形外角的性质即可求出的度数；
分、及三种情况考虑，当时，，利用三角形外角的性质可求出的度数；当时，，利用三角形内角和定理可求出的度数；当时，延长交于点，利用三角形内角和定理可求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数．