2022-2023学年北京市昌平区融合学区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年北京市昌平区融合学区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在平面直角坐标系中，点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

2.  下列多边形中，内角和是的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下列各曲线表示的与的关系中，是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图，在中，，，的平分线交于点，则的长为(    )
 

A.  B.  C.  D.

5.  用图象法解某二元一次方程组时，在同一平面直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象如图，则所解的二元一次方程组是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  的周长是，与交于点，的周长比的周长大，则的长为

A.  B.  C.  D.

7.  小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示菱形，并测得，接着活动学具成为图所示正方形，并测得对角线，则图中对角线的长为(    )

A.   B.   C.   D.

8.  根据研究，运动员未运动时，体内血乳酸浓度通常在以下；运动员进行高强度运动后，如果血乳酸浓度降到以下，运动员就基本消除了疲劳体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，如图和表所示，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系下列叙述正确的是(    )

A. 运动后时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同
B. 运动员进行高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为
C. 采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑后才能基本消除疲劳
D. 运动员进行高强度运动后，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.  函数中自变量的取值范围是__________．

10.  在平行四边形中，，那么的度数是______ ．

11.  如果一次函数的图象经过，且随的增大而减小，那么这个一次函数的表达式可以是______ 写出一个即可

12.  菱形的两条对角线长分别为和，那么这个菱形的面积为______．

13.  如图，矩形中，对角线、交于点，如果，那么的度数为______ ．

14.  已知若、是一次函数图象上的两个点，那么 ______ 用“”、“”或“”填空

15.  如图，四边形是菱形，点为，点为，则点的坐标为          ．

16.  如图，正方形中，，，相交于点，，分别为边，上的动点点，不与线段，的端点重合且，连接，，在点，运动的过程中，有下列四个结论：是等腰直角三角形；面积的最小值是；至少存在一个，使得的周长是；四边形的面积是请写出正确结论的序号______ ．

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

如图，在正方形网格中，若点的坐标为，点坐标为，按要求解答下列问题：           

在图中建立正确的平面直角坐标系，并写出点的坐标为__________；

在的基础上，作出关于轴的对称图形，并与出点的坐标为__________．

18.  本小题分
已知一次函数，当为何值时，
随值的增大而减小？
一次函数的图象与直线平行？
一次函数的图象与轴交于点？

19.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且．
求证：．

20.  本小题分
已知直线．
求出直线与轴、轴的交点、的坐标；
画出直线的图象；
求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．

21.  本小题分
为保护学生视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为，椅子的高度为，则是的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度．

请确定课桌高度与椅子高度的函数关系式；
现有一张高的课桌和一张高为的椅子，它们是否配套？为什么？

22.  本小题分

如图，在的网格中每个小正方形边长都是，每个小格的顶点叫做格点，线段的两个端点都在格点上，以格点为顶点分别按下列要求画图．

在图中，以为一边画平行四边形，使其面积为；

在图中，以为一边画菱形；

在图中，以为一边画正方形，且与图中所画的图形不全等．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，长方形的两个顶点坐标为，．
求对角线所在直线对应的函数表达式；
若点在轴上，且，求点的坐标．

24.  本小题分
某通讯公司推出两种收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种没有月租费，且两种收费方式的通话时间分钟与收费元的关系如图所示：
分别求出两种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式．
当值为多少时两种方案收费相等．
当值为多少时，第种方案比第一种方案每个月多元？

25.  本小题分

如图，已知，分别在的两边，上截取线段，，使，连接，过点作，垂足为，过点作的平行线，交的延长线于点，连接，过点作于点，连接．

补全图形；

求证：四边形是菱形；

若，，求的长．

26.  本小题分
如图，直线：与过点的直线交于点，与轴交于点．
求直线的解析式；
过动点且垂直于轴的直线与，的交点分别为，，当点位于点上方时．
请直接写出的取值范围______ ；
若，求点的坐标．

27.  本小题分
如图，在正方形中，点是边上的一动点不与点，重合，连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交边于点，连接，．

求证：；
过点作于点，交的延长线于点，连接．
补全图形，并直接写出图中和相等的线段；
用等式表示线段，的数量关系，并证明．

28.  本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，如果点满足条件：以线段为对角线的正方形，且正方形的边分别与轴，轴平行，那么称点为点的“和谐点”，如图所示，已知点，，．
已知点的坐标是．
在，，中，是点的“和谐点”的是______．
已知点的坐标为，如果点为点的“和谐点”，求的值；
已知点，如果线段上存在一个点，使得点是点的“和谐点”，直接写出的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：点的横纵坐标符号分别为：，，
点位于第二象限．
故选B．
根据点的横纵坐标特点，判断其所在象限，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．
本题考查了各象限内点的坐标的符号，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：设这个多边形的边数是，则
，
解得：．
则这个多边形的边数是，
故选：．
边形的内角和可以表示成，设这个多边形的边数是，就得到方程，从而求出边数．
本题考查了多边形内角和定理，解此题的关键是结合多边形的内角和公式，寻求等量关系，构建方程求解．
 

3.【答案】 

【解析】解：选项A，，中对于自变量取值范围内的很多值，都有两个的值与其对应，
故不符合题意；
选项B中每个自变量，都有唯一的函数值与其对应，
选项B符合题意，
故选：．
根据函数的概念逐一鉴别即可．
此题考查了利用图象理解函数概念的能力，关键是能准确理解函数的概念和能数形结合解决相关问题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定．注意证得是等腰三角形是解此题的关键．
由在▱中，的平分线交于点，易证得是等腰三角形，继而求得答案．
【解答】
解：四边形是平行四边形，
，，
，
平分，
，
，
，
．
故选D．  

5.【答案】 

【解析】解：设过点和的直线解析式为，
则，解得，
所以过点和的直线解析式为；
设过点和的直线解析式为，
则，解得，
所以过点和的直线解析式为，
所以所解的二元一次方程组为．
故选：．
先利用待定系数求出两函数解析式，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，则可判断所解的二元一次方程组为两解析式所组成的方程组．
本题考查了一次函数与二元一次方程组：函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．
 

6.【答案】 

【解析】解：平行四边形的周长为，
，
的周长比的周长大，
，
联立解得：，，
故选：．
根据平行四边形对边相等可得，根据的周长比的周长大可得，组成方程组，再解即可．
此题主要考查了平行四边形的性质，关键是掌握平行四边形两组对边分别相等，对角线互相平分．
 

7.【答案】 

【解析】解：如图，中，连接．

在图中，四边形是正方形，
，，
，
，
在图中，，，
是等边三角形，
，
故选：．
如图，中，连接在图中，理由勾股定理求出，在图中，只要证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查菱形的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

8.【答案】 

【解析】解：、运动后时，采用慢跑方式放松的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，故A不符合题意；
B、运动高强度运动后最高血乳酸浓度不超过，故B不符合题意；
C、采用慢跑活动的方式放松时，根据图象显示运动员慢跑小于大于可以基本消除疲劳，故C不符合题意；
D、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采取慢跑活动方式来放松，故D符合题意；
故选：．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：根据题意得：，
即．
函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．
主要考查了函数自变量的取值范围的确定．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．
 

10.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故答案为：．
由于，由平行四边形的性质可得到的度数．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形同旁内角互补的性质是解题的关键．
 

11.【答案】不唯一 

【解析】解：一次函数随的增大而减小，
，
不妨设，
则，
把代入得，，得：，
所以，．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数的性质，随的增大而减小，则是，不妨令，把经过的点代入求出的值即可．
本题考查了一次函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足．
 

12.【答案】 

【解析】解：菱形的面积为：．
故答案为：．
因为菱形的对角线互相垂直，互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．
本题考查菱形的性质，关键知道菱形的对角线互相垂直，然后根据面积等于对角线的一半求出结果．
 

13.【答案】 

【解析】解：是矩形，
，，，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
根据矩形的性质，可得的度数，与的关系，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理，可得答案．
本题主要考查了矩形的性质，利用矩形的性质得出的度数是解答本题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：一次函数解析式为，
，
随增大而减小，
、，，
，
故答案为：．
根据一次函数图象性质求解即可．
本题考查了一次函数图象的性质，熟记知识点是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
四边形是菱形，
，，
点的坐标为；
故答案是：．
由勾股定理求出，由菱形的性质得出，即可得出点的坐标．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质是解决问题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：四边形是正方形，
，，，，
，
，
≌，
，，
，
是等腰直角三角形，故正确；
当时，最小，此时，
面积的最小值是，故正确；
，
，
设，则，
，
的周长是，
，
，
存在一个，使得的周长是，故正确；
≌，
，故正确；
故答案为：．
证明≌，可得，，可得到；再由当时，最小，此时，可得面积的最小值是，可得到正确；设，则，根据勾股定理可得，从而得到，得正确；再根据≌，可得，可得正确；即可求解．
此题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理以及等腰直角三角形的性质．注意掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键．
 

17.【答案】   

【解析】解：如图所示，平面直角坐标系即为所求，，
故答案为：；
如图所示，即为所求，，
故答案为：．

根据点的坐标作出平面直角坐标系，写出点的坐标即可；
根据轴对称变换的性质，作出对应点即可求解．
本题考查了轴对称变换的性质，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．
 

18.【答案】解：由题意，得，
解得，
时，随值的增大而减小；

由题意，得，，
解得，
时，一次函数的图象与直线平行；

把点代入，
得，
解得，
时，一次函数的图象与轴交于点． 

【解析】根据一次函数的性质得出，解不等式即可；
根据两条直线平行的条件得出，，求出即可；
把点代入，得到关于的方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，两条直线平行的条件，解决本题的关键是掌握一次函数的性质．
 

19.【答案】证明：
在中，且，
，
，
四边形是平行四边形，
． 

【解析】由条件可证明四边形为平行四边形，可证得结论．
本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分是解题的关键．
 

20.【答案】解：令，得，
令，得，
，；
如图所示；
，，
，，
，
直线与两坐标轴围成的三角形的面积为． 

【解析】令，求出；令，求出；
连接，即可画出函数图象；
可知，，则．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质是解题的关键．
 

21.【答案】解：设一次函数的解析式为，
把点、代入，
得到，
解得：：，
所以，
当时，，
所以它们不能配套． 

【解析】因为是的一次函数，所以可用待定系数法求关系式；
求时的值，若则说明配套，否则不配套．
此题考查一次函数的应用，解决本题的关键是求出函数解析式．
 

22.【答案】解：如图中，平行四边形即为所求；
如图中，菱形即为所求；
如图中，正方形即为所求．
 

【解析】画出底为，高为的平行四边形即可；
根据菱形的定义，画出图形即可；
根据正方形的定义画出图形即可．
本题考查作图应用与设计作图，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
 

23.【答案】解：设直线对应的函数表达式是，
，，
．
，在直线上，
．
解这个二元一次方程组，得．
直线对应的函数表达式为．
解：，且，
．
，
或． 

【解析】求出点的坐标，用待定系数法即可求得函数解析式；
由面积关系可得，再由点的坐标并考虑点可在点的两边，即可求得点的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，根据面积关系求满足条件的点的坐标，注意点的坐标有两个，不要有遗漏．
 

24.【答案】解：设种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是，
点，在此函数图象上，
，
解得，
即种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是；
设种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是，
点在此函数图象上，
，得，
即种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式是；
令，
解得，
答：当值为时两种方案收费相等；
由题意得：，
解得，
答：当值为时，第种方案比第种方案每个月多． 

【解析】根据函数图象中的数据，可以分别求得两种方案的收费元与通话时间分钟之间的函数关系式；
令中的两个函数值相等，即可求出当值为多少时两种方案收费相等；
由题意列出方程，解方程即可．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答．
 

25.【答案】解：如图所示；
证明：，，
，
，
，，
在和中，
≌，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
解：过作于，
，
，
四边形是菱形；
，
，
垂直平分，
，
，
，
，
． 

【解析】根据题意作出图形即可；
根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论；
过作于，根据菱形的性质得到垂直平分，求得，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了菱形的判定，作图基本作图，等腰三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
 

26.【答案】 

【解析】解：把代入：得：，
点的坐标为，
设直线的解析式为，把，代入得：
，
解得：，
直线的解析式为．

根据函数图象可知，当点、在点右边时，点位于点上方，
，
故答案为：；

把代入得：，解得：，
，
，
把分别代入和得，，
，点位于点上方，
，
解得：，
此时点的坐标为：．

先求出点的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可；
根据当点、在点右边时，点位于点上方，写出的取值范围即可；
先求出点的坐标，用表示出点、的坐标，然后根据列出关于的方程，解方程得出的值，即可得出答案．
本题主要考查了求一次函数解析式，两条直线的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，数形结合，准确计算．
 

27.【答案】证明：四边形是正方形，
，．
点关于直线的对称点为，
≌．
，．
，．
又．
≌．
．

补全图形

．
．
证明：如图，过点作交的延长线于点，连接，
，
．
．
，
．

又，
由得，≌．
，．
，
，
．
是等腰直角三角形，
． 

【解析】根据对称得≌，再由证明≌，可得结论．
证得，则可得出结论过点作交的延长线于点，连接，证明≌，由全等三角形的性质得出，，则得出，证得是等腰直角三角形，则可得出结论．
本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定定理和性质定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解决本题的关键是利用正方形的性质得到相等的边和相等的角，证明三角形全等，作出辅助线也是解决本题的关键．
 

28.【答案】， 

【解析】解：如图中，在，，中，是点的“和谐点”的是点，点．
故答案为：，．


如图中，点的坐标为，点为点的“和谐点”，
观察图形可知或，
或．


如图中，

观察图形可知，点在线段上，
点的“和谐点”在线段上，，，
点在线段上，
或．
画出图形根据“和谐点”的定义判断即可．
画出图形根据“和谐点”的定义解决问题即可．
在轴上作出点在点右侧的“和谐点”，在轴上作出点在点左侧的“和谐点”，利用图象法可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，“和谐点”的定义等知识，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．