2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学八年级（下）期中数学试卷

2022-2023学年广东省汕头市龙湖实验中学八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  函数的自变量的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  平行四边形的对角线长为，，一边长为，则，的值可能是(    )

A. 和 B. 和 C. 和 D. 和

3.  下列各式是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  矩形具有而菱形不一定具有的性质是(    )

A. 对角相等 B. 对角线相等 C. 对边相等 D. 对角线互相平分

5.  下列条件中，不能判定是直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

6.  如图，在矩形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使矩形成为正方形的是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接若，菱形的面积为，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图，在中，，，，则点到直线的距离是(    )

A.
B.
C.
D.

9.  连接对角线相等四边形各边的中点得到的是什么四边形？(    )

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形

10.  如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  化简的结果为______ ．

12.  菱形的边长为厘米，一条对角线为厘米，它的面积是______平方厘米．

13.  如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，则的值为______．

14.  由四个全等的直角三角形组成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形两直角边边长分别为，，则图中阴影部分的面积为______ ．

15.  如图，在中，，，点在边上，且，，动点在边上，连接，，则的最小值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  计算．

 

四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
图是某品牌婴儿车，图为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接即，通过计算说明该车是否符合安全标准．
 

18.  本小题分
如图，在▱中，、分别平分和，交于点、，、相交于点．
试说明：；
判断线段与的大小关系，并予以说明．

19.  本小题分
在进行化简二次根式时，通常有如下两种方法：
方法一：；
方法二：；
请用以上两种方法化简：；
计算：；
若，求的值．

20.  本小题分
如图，在中，，，垂足为点，是外角的平分线，，垂足为点．
求证：四边形为矩形；
当满足什么条件时，四边形是一个正方形？请给出证明．

21.  本小题分
如图，在▱中，、分别为边、的中点，是对角线，连接、．
求证：；
若，则四边形是______ 形
在的条件下，试探索等于多少度时，四边形能成为正方形，并证明你的结论．

22.  本小题分
已知，如图，矩形中，，，菱形的三个顶点，，分别在矩形的边，，上，，连接．
若，求证：四边形为正方形；
若，求的面积；
当为______ 时，的面积最小？最小值是______ ．

23.  本小题分
已知正方形与正方形，是的中点，连接，．
如图，点在上，点在的延长线上，请判断，的数量关系与位置关系，并直接写出结论；
如图，点在的延长线上，点在上，中结论是否仍然成立？请证明你的结论；
将图中的正方形绕点旋转，若，，直接求出面积的最大值______ 和最小值______ ．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由题意得：，
解得：，
故选：．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：、，所以不可能；
B、，所以不可能；
D、，所以不可能；
故选：．
如图：因为平行四边形的对角线互相平分，所，，在中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，将各答案代入验证即可求得．
即，．
本题考查平行四边形的性质以及三角形的三边关系定理．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式；
B、是最简二次根式；
C、，不是最简二次根式；
D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

4.【答案】 

【解析】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，
故选：．
利用矩形与菱形的性质即可解答本题．
本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质．
 

5.【答案】 

【解析】解：、，，
，
为直角三角形，故此选项不合题意；
B、设，，，
，
解得：，
则，
不是直角三角形，故此选项符合题意．
C、，即，
，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、，
能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
故选：．
根据三角形内角和定理可分析出、的正误；根据勾股定理逆定理可分析出、的正误．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．正确记忆判断三角形是否为直角三角形的方法是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：要使矩形成为正方形，可根据正方形的判定定理解答：
有一组邻边相等的矩形是正方形，
对角线互相垂直的矩形是正方形．
添加，能使矩形成为正方形．
故选：．
根据矩形的性质及正方形的判定来添加合适的条件．
本题考查了矩形的性质，正方形的判定的应用，解题的关键是能熟记正方形的判定定理．
 

7.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由菱形的性质得出，由菱形的面积得出，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．
本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：作于点，如右图所示，
，，，
，
，
，
解得，
故选：．
作于点，根据勾股定理可以求得的长，然后根据面积法，可以求得的长．
本题考查勾股定理、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用勾股定理和面积法解答．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，四边形中，，、、、分别是、、、的中点，
、分别是、的中点，
，，
同理，，
，，
四边形是平行四边形，
、分别是、的中点，
，
，
，
四边形是菱形，
故选：．
作四边形中，使，令、、、分别是、、、的中点，由三角形的中位线定理得，，，，则，，可证明四边形是平行四边形，由，，且得，则四边形是菱形，于是得到问题的答案．
此题重点考查三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，根据三角形的中位线定理及推导出是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，点是的中点，，
，
为的中位线，，
，
，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，进而求出．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：．
故答案为：．
根据二次根式的性质化简即可．
本题考查了二次函数的性质与化简，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，因为菱形的对角线互相垂直平分，所以，，即，
所以菱形的面积为 平方厘米，
故答案为：．
根据菱形的性质得到以及勾股定理求出另一条对角线的长，然后根据菱形的面积公式计算求值．
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是菱形的对角线互相垂直平分及勾股定理来解决．
 

13.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，，，
，，
，，
，，
，，
，
．
故答案为．
首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案．
此题考查了矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
 

14.【答案】 

【解析】解：直角三角形两直角边边长分别为，，
斜边长，
图中阴影部分的面积为：．
故答案为：．
由勾股定理可得直角三角形斜边的长，再利用正方形的面积减去四个全等直角三角形的面积可得答案．
本题考查勾股定理的证明，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行证明．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，延长到，使，连接，交于，
此时的值最小，
连接，
，，，
，
，，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
根据平面内线段最短，构建直角三角形，解直角三角形即可．
本题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置时，使的值最小是关键．
 

16.【答案】解：原式
；
原式

． 

【解析】先将原式中的二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算即可得到结果；
原式先利用平方差公式计算，再根据有理数的加减运算法则计算即可得到结果．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质和平方差公式是解题关键．
 

17.【答案】解：在中，，
在中，，
，
，
．
故该车符合安全标准． 

【解析】在中，由勾股定理求出，在中，通过计算，根据勾股定理逆定理判断即可．
本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解决问题的关键．
 

18.【答案】解：
方法一：如图，
在▱中，，
．
、分别平分和，
，．
．
即．
．
．
方法二：如图，延长、相交于点，
在▱中，，
．
平分，
．
．
．
平分，
，
即．

线段与是相等关系，即，
在▱中，，
．
又平分，
．
．
．
同理可得，．
又在▱中，，
．
．
即． 

【解析】因为，分别是，的角平分线，那么就有，，而与是同旁内角互补，所以，能得到，即得证．
两条线段相等．利用平行四边形的对边平行，以及角平分线的性质，可以得到和都是等腰三角形，那么就有，再利用等量减等量差相等，可证．
本题利用了角平分线的性质，平行四边形的性质以及等量减等量差相等等知识．
 

19.【答案】解：方法一：；
方法二：；
由题意可得，

；
，
，
，
，
． 

【解析】根据例题的两种方法直接计算即可得到答案；
根据化简式子代入式子相互抵消即可得到答案；
根据式子化简将变形，将多项式变形即可得到答案．
本题考查根式有理化，根式有理化规律题及根式化简求值，解题的关键是读懂题干中根式有理化化简方法．
 

20.【答案】证明：，，
．
是外角的平分线，
，
，
，
，
，，
，
四边形为矩形．
解：答案不唯一，如：当时，四边形是一个正方形．
证明：，
，
，
，
，
四边形为矩形，
矩形是正方形．
故当时，四边形是一个正方形． 

【解析】由等腰三角形的性质得出证出，由矩形的判定可得出结论；
当时，四边形是一个正方形．证出，由正方形的判定可得出结论．
本题考查了对矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，及角平分线的性质等知识点的综合运用．
 

21.【答案】菱 

【解析】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别为边、的中点，
，
又，
四边形是平行四边形，
；
解：当时，四边形是菱形．
理由：，为的中点，
，
又四边形是平行四边形，
四边形是菱形；
故答案为：菱；
解：当时，四边形能成为正方形．
证明：，，
，
是等腰直角三角形，
为的中点，
，
又四边形是菱形，
四边形是正方形．
根据平行四边形的性质得到，，根据平行四边形的判定定理证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质证明结论；
根据直角三角形的性质得到，由菱形的判定可得出结论；
证出，由正方形的判定可得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质，正方形的判定，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

22.【答案】   

【解析】解：四边形为矩形，四边形为菱形，
，，
又，
≌，
，
，
，
，
四边形为正方形；

过作，交延长线于，
连接，
，
，
，
，
，
在和中，，，
≌，
，即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，
因此；

设，则由第小题得，，在中，，
，
，
，
的最小值为，此时，
当时，的面积最小为
故答案为：，
由于四边形为矩形，四边形为菱形，那么，，而，易证≌，从而有，等量代换可得，易证四边形为正方形；
过作，交延长线于，连接，由于，可得，同理有，利用等式性质有，再结合，，可证≌，从而有即无论菱形如何变化，点到直线的距离始终为定值，进而可求三角形面积；
先设，由第小题得，，在中，，利用勾股定理可得，在中，再利用勾股定理可得，进而可求，从而可得当时，的面积最小．
本题考查了矩形、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是作辅助线：过作，交延长线于，连接，构造全等三角形和内错角．
 

23.【答案】   

【解析】解：结论：，，理由如下：
延长交于，如图：

，
，，
是中点，
，
≌，
，，
，
，即，
，
是等腰直角三角形，
而，
，；

如图中，结论不变．，．

理由：如图中，延长交的延长线于．
四边形是正方形，四边形是正方形，
，，
，
，
，，
≌，
，，
，
，
，．

由可以猜想是等腰直角三角形．
，
，
的面积的最大值，的面积的最小值为．
故答案为：，．
延长交于，由，是中点，可证≌，有，，可得，即，故是等腰直角三角形，即知，；
延长，交于，证明≌，得，，可得，是等腰直角三角形，从而，；
判断出是等腰直角三角形，求出的取值范围，可得结论．
本题考查四边形的综合应用，涉及正方形性质及应用，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．