2022-2023学年辽宁省沈阳134中八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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2022-2023学年辽宁省沈阳134中八年级（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.  若分式有意义，则的取值范围是(    )A.  B.  C.  D. 2.  如图，是由经过平移后得到的，且，，，在同一直线上，，，则平移的距离是(    )
 A.  B.  C.  D. 3.  以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 4.  如图，在中，，分别以点、为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别交于、两点，过、两点的直线交于点，若，，则的长为(    )
A.  B.  C.  D. 5.  如图，四边形的对角线交于点，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形(    )
 A. ， B. ，
C. ， D. ，6.  不等式的解集在数轴上表示为(    )A.  B.
C.  D. 7.  下列说法错误的是(    )A. 多边形的外角和为 B. 等边三角形的每一个内角都为
C. 五边形的内角和为 D. 正六边形的每一个外角都为8.  如果是一个完全平方式，那么的值是(    )A.  B.  C.  D. 9.  如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(    )
 A.  B.  C.  D. 10.  如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的长度是(    )A.
B.
C.
D. 第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.  因式分解： ______ ．12.  如图，六边形为正六边形，四边形为正方形，则的度数为______．
 13.  如图，在中，，，，将沿射线的方向平移，得到，再将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，则平移的距离为______．
14.  如图，中，、分别是、的中点，平分，交于点，若，，则的长是______ ．
 15.  已知关于的分式方程的解是负数，则的取值范围是______ ．16.  如图，中，，，，点是直线边上一动点，连接将其绕点逆时针旋转得到，连接，当的最小值为______ ，此时线段 ______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.  本小题分
因式分解：．18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．19.  本小题分
如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点，．
求证：；
连接，直接写出的形状：______ ．
20.  本小题分
某种商品的进价为元，出售时标价为元，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于，则至多可打几折？21.  本小题分
如图，在中，是对角线上的两点，．
求证：四边形是平行四边形；
当时，，，求的长．
22.  本小题分
在如图所示的方格纸中，的顶点都在边长为单位的小正方形的顶点上，以小正方形互相垂直的两边所在直线为坐标轴建立直角坐标系．
将向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到，画出并写出的坐标______ ，写出由平移到的平移距离______ ；
绕点顺时针旋转，使得点在轴正半轴上，旋转后的三角形为，画出旋转后的，其中，分别和，对应，写出点的坐标______ ；
填空：在的条件下，点所经过的路线长是______ ；
若点为平面内一点，请直接写出以，，，为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标______ ．
23.  本小题分
某初级中学共有七、八、九三个年级，该校为地震灾区自愿捐款已知八年级的同学捐款总额为元，九年级的同学捐款总额为元九年级捐款人数比八年级多人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．
求八年级同学的捐款人数；
若该校七年级同学的捐款总额是元，学校教职工捐款人数是八年级同学捐款人数的，教职工的人均捐款金额是八年级学生人均捐款金额的倍则该校这次的师生捐款总额为______ 元24.  本小题分
如图，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

观察猜想：图中，线段与的数量关系是______ ，位置关系是______ ；
探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值______ ．25.  本小题分
如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，直线经过点，与轴交于点，与轴交于点线段平行于轴，交直线于点，连接，．
填空： ______ ，点的坐标是______ ，______ ；
求证：四边形是平行四边形；
动点从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，沿对角线以每秒个单位长度的速度向点运动，直到点为止设两个点的运动时间均为秒．
当时，的面积是______ ．
在点，运动过程中，当时请直接写出此时的值______ ．

答案和解析 1.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式的分母不等于是解题的关键．
根据分式有意义的条件即可得出答案．
【解答】
解：分式中，要使分式有意义，分母不能为零，
，
．
故选：．  2.【答案】 【解析】解：是由通过平移得到，
平移距离就是线段的长度．
，
故选：．
根据平移的性质，结合图形可直接求解．
本题考查了平移的性质，掌握的长度是平移距离是解题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 4.【答案】 【解析】【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，以及三角形内角和定理，关键是掌握线段垂直平分线的作法．
根据直角三角形两锐角互余可得，由作图可得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：，
，
由作图可得是的垂直平分线，
，
，
即，
，
故选：．  5.【答案】 【解析】解：，，
四边形是平行四边形，
故A不符合题意；
，，
四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，
由，不能判断四边形是平行四边形，
故B符合题意；
，，
四边形是平行四边形，
故C不符合题意；
，，
四边形是平行四边形，
故D不符合题意，
故选：．
由，，可根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，可判断不符合题意；由，，可知四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，可判断符合题意；由，，可根据平行四边形的定义证明四边形是平行四边形，可判断不符合题意；由，，可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形，可判断不符合题意，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的定义和判定定理，根据所给的条件正确地选择平行四边形的定义或判定定理证明四边形是平行四边形是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：不等式组整理得：，
解得：，
数轴上表示，如图所示：
．
故选：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 7.【答案】 【解析】解：多边形的外角和为，故此选项说法正确，不符合题意；
B.等边三角形的每一个内角都为，故此选项说法正确，不符合题意；
C.五边形的内角和为，不是，故此选项说法错误，符合题意；
D.正六边形的每一个外角都为，故此选项说法正确，不符合题意；
故选：．
根据多边形的内角和与外角和及等边三角形的性质求解判断即可．
此题考查了多边形的内角与外角及等边三角形的性质，熟记多边形的内角和公式及外角和是是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】【分析】
本题考查的是完全平方公式的理解应用，式中首尾两项分别是和的平方，所以中间项应为加上或减去和的乘积的倍，所以，故对于完全平方公式的应用，要掌握其结构特征，两数的平方和，加上或减去乘积的倍，因此要注意积的倍的符号，有正负两种，本题易错点在于只写一种情况，出现漏解情形．
解：，
在中，．
故选：．  9.【答案】 【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
，
同理
，
，
阴影部分的面积是．
故选：．
由平行四边形的性质得到，，，证出和全等，和全等，得到面积相等，即可得到选项．
本题主要考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明≌．
 10.【答案】 【解析】解：过点作于点，如图所示，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，，
，
，
故选：．
过点作于点，由平行四边形的性质得出，，求出和，由勾股定理可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 11.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可求得答案．
本题考查了因式分解，掌握因式分解的步骤以及平方差公式是解题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：为正六边形，为正方形，
，
，
正六边形的每一个内角是，正方形的每个内角是，
，
，
．
故答案为：．
分别求出正六边形和正方形的一个内角度数，再求出的大小，即可求解．
本题考查正多边形的内角．熟练掌握正多边形内角的求法是解题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：将绕点逆时针旋转一定角度后，点恰好与点重合，
，
将沿射线的方向平移，得到，
，，
是等边三角形，
，
，
平移的距离为，
故答案为．
由旋转的性质和平移的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，平移的性质，等边三角形的判定和性质，掌握旋转的性质是本题的关键．
 14.【答案】 【解析】解：、分别是、的中点，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
根据三角形中位线定理求出、，根据平行线的性质、角平分线的定义得到，计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
 15.【答案】 【解析】解：去分母得，
，
解得，
由题意得，，
解得，
是分式方程的增根，所有当时，方程无解，即，
所以的取值范围是．
故答案为：．
解出分式方程，根据解是负数求出的取值范围，再根据是分式方程的增根，求出此时的值，得到答案．
本题考查的是分式方程的解法和一元一次不等式的解法，理解分式方程的增根的判断方法是解题的关键．
 16.【答案】   【解析】解：如图，以为边作等边，连接，过点作于点，


，，，
，，，
将线段绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，且，，
≌，
，
时，即点与点重合，的长最小，即的长最小，
，，
，，即，
，
的最小值为，此时线段，
故答案为：，．
以为边作等边，连接，可证≌，可得，则时，的长最小，即的长最小，即可求解．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 17.【答案】解：



． 【解析】直接提取公因式分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
 18.【答案】解：



，
当时，原式． 【解析】先算除法，再算减法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 19.【答案】等边三角形 【解析】证明：连接，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
；
解：是斜边的中点，
，
，
，
是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
连接，垂直平分，得到，因此，求出，得到，即可证明；
由是斜边的中点，得到，而，即可证明是等边三角形．
本题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键．
 20.【答案】解：设该商品打折销售，
依题意，得：，
解得：．
答：至多可打折． 【解析】设该商品打折销售，根据利润售价进价结合利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论．
本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
 21.【答案】证明：如图，连接交于点，

四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
解：，
，
，
由可知，，，
，
，
，
即的长为． 【解析】连接交于点，由平行四边形的性质得，，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
由勾股定理求得的长，得出的长，再由勾股定理求出的长，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 22.【答案】      或或 【解析】解：如图，即为所求．
由图可得，的坐标为．
连接，
由勾股定理得，，
由平移到的平移距离为．
故答案为：；．
如图，即为所求．
点的坐标为．
故答案为：．
由可知，绕点顺时针旋转得到的，
，
，
点所经过的路线长是．
故答案为：．
以为平行四边形的对角线时，
，，
点的坐标为；
以为平行四边形的对角线时，
，，
点的坐标为；
以为平行四边形的对角线时，
，，
点的坐标为．
综上所述，点的坐标为或或．
故答案为：或或．
根据平移的性质作图，可得出的坐标，再利用勾股定理求出的长，即可得出平移距离．
根据旋转的性质作图即可，由图可得答案．
利用弧长公式计算即可．
分别讨论以，，为平行四边形的对角线，结合平行四边形的性质可得答案．
本题考查作图平移变换、旋转变换、平行四边形的性质、弧长公式，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、平行四边形的性质、弧长公式是解答本题的关键．
 23.【答案】 【解析】解：设八年级同学的捐款人数为人，则九年级同学的捐款人数人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：八年级同学的捐款人数为人；
根据题意得：

元，
该校这次的师生捐款总额为元．
故答案为：．
设八年级同学的捐款人数为人，则九年级同学的捐款人数人，利用人均捐款额捐款总额捐款人数，结合八、九年级人均捐款额，可得出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
利用捐款总额人均捐款额捐款人数，结合七、八、九年级的捐款总额，即可求出该校这次的师生捐款总额．
本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
 24.【答案】     【解析】解：点，是，的中点，
，，
点，是，的中点，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；

是等腰直角三角形．理由如下：
由旋转知，，
，，
≌，
，，
利用三角形的中位线得，，，
，
是等腰三角形，
同的方法得，，
，
同的方法得，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形；

由知是等腰直角三角形，
则最大时，的面积最大，
当点在的延长线上时，最大值为，
，
面积的最大值为：．
故答案为：．
根据三角形中位线定理得，，，，从而得出，；
首先利用证明≌，得，，再由同理说明结论成立；
由知，是等腰直角三角形，可知最大，即最大时，面积的最大，由三角形三边关系可知最大值为，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，证明是等腰直角三角形是解题的关键．
 25.【答案】       或 【解析】解：直线经过点，
，
，
线段平行于轴，交直线于点，
点的纵坐标为，
，
，
点的坐标是，
故答案为：，，；
证明：由知，点的坐标为，
直线与轴交于点，
点的坐标为，
点的坐标为，
，
，
又线段平行于轴，
，
四边形为平行四边形；
解：作与，

点在直线上，
设的坐标为，
，
由勾股定理得，，
即，
解得或舍去，
，
，
时，，
，
故答案为：；
由知，四边形是平行四边形，
与互相平分，
又点、的运动速度相同，
与互相平分，
四边形是平行四边形，
当时，
四边形是矩形，
，
当时，，
当时，，
当、运动至四边形为矩形时，，
，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上，点，运动过程中，当时，的值为或，
故答案为：或．
代入点坐标求出的值，再根据线段平行于轴，交直线于点，得出点的纵坐标为，代入反比例函数解析式求解即可；
先通过点的坐标求出，再根据题意得出，即可证明；
作与，设的坐标为，由勾股定理得，算出的长度，根据运动时间求出的长度即可求解；
先确定四边形是矩形，根据对角线相等确定的长度，再根据、的位置分情况计算即可．
本题考查了一次函数的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键．