2022-2023学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年山东省济南市高新区八年级（下）期中数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  中国传统纹饰不但蕴含了丰富的文化内涵，而且大多数图案还具有几何中的对称美下列纹饰图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列式子从左到右的变形是因式分解的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是(    )

A. 或 B. 或 C.  D.

4.  分式的值是零，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知“”，则下列不等式中，不成立的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  将分式中的，的值同时扩大为原来的倍，则变化后分式的值(    )

A. 扩大为原来的值的倍 B. 缩小为原来的值的
C. 保持不变 D. 比原来的值增多

7.  如图，已知点，，若将线段平移至，在轴正半轴上，在轴上，则的纵坐标、的横坐标分别为(    )

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

8.  如图，将绕顶点逆时针旋转角度得到，且点刚好落在上．若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9.  如图，点在的平分线上，，垂足为，点在上，若，，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知直线与直线的交点的横坐标是下列结论：；；方程的解是；不等式的解集是其中所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.  分解因式：          ．

12.  当______时，分式无意义．

13.  要在台阶上铺设某种红地毯，已知这种红地毯每平方米的售价是元，台阶宽为米，侧面如图所示，购买这种红地毯至少需要______元．

14.  一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为______ ．

15.  如图，已知，是角平分线且，作的垂直平分线交于点，作，则周长为______．

16.  如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：；；；，正确结论是______ ．

三、解答题（本大题共10小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
分解因式：
；
．

18.  本小题分
解不等式组：，并求出的整数解．

19.  本小题分
先化简，再求值：，从、、中选择合适的数代入求值．

20.  本小题分
如图所示，在中，平分，．
求证：是等腰三角形；
若，，求的度数．

21.  本小题分
如图，，，，，，垂足分别是，，求证：
≌；
．

22.  本小题分
如图，方格纸中每个小正方形的边长都是，的三个顶点坐标分别为，，．
在方格纸中画出，使它与关于点成中心对称；
平移，使点的对应点的坐标为，画出平移后的；
在轴上是否存在一点，使得的面积是面积的倍？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

23.  本小题分
学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张若学校购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元，购买张甲种办公桌比购买张乙种办公桌多花费元．
求甲、乙两种办公桌每张各多少元；
若学校购买甲、乙两种办公桌共张，甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的倍，且总费用不超过元，那么有几种购买方案？

24.  本小题分
如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．
如：，，，因此，，这三个数都是神秘数．
是神秘数吗？为什么？
设两个连续偶数为和其中取非负整数，由这两个连续偶数构造的神秘数是的倍数吗？为什么？
若长方形相邻两边长为两个连续偶数，试说明其周长一定为神秘数．
若将三位数中最大的神秘数记为，两位数中最大的神秘数记为，请直接写出的值．

25.  本小题分
如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒个单位的速度向右运动．设点的运动时间为连结．

当秒时，求的长度结果保留根号；
当为等腰三角形时，求的值；
过点做于点在点的运动过程中，当为何值时，能使？

26.  本小题分
如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点．
填空：______度；
如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由；
如图，若点是的中点，连接、，判断与有什么数量关系？并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C.该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的相关概念，解题关键在于能够找准轴对称图形的对称轴，中心对称图形的对称中心．
 

2.【答案】 

【解析】解：、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
B、等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合同意；
C、等式左边不是多项式，不是因式分解，不符合同意；
D、，是因式分解，符合题意．
故选：．
根据因式分解的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了因式分解的定义，熟知把一个多项式变成几个整式的乘积的形式叫做因式分解是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：由图示可看出，从出发向右画出的折线且表示的点是空心圆，表示；
从出发向左画出的折线且表示的点是实心圆，表示．
所以这个不等式组为
故选：．
不等式的解集表示与之间的部分，其中不包含，而包含．
此题主要考查利用数轴上表示的不等式组的解集来写出不等式组．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来向右画；，向左画，数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
解得．
当时，，
所以符合题意．
所以分式的值是零，则的值为．
故选：．
根据分式值为零的条件可得，通过解方程求得的值；然后代入检验分母是否为零．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，故本选项不符合题意；
B.，
，故本选项不符合题意；
C.，
，故本选项符合题意；
D.，
，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
变化后分式的值不变，
故选：．
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于的整式，分式的值不变，求解即可．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，在轴正半轴上，在轴上，
线段向左平移了个单位，向下平移了个单位，
纵坐标为，横坐标为．
故选：．
根据上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减，可得结论．
本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是理解上下平移横坐标不变，纵坐标上加下减．
 

8.【答案】 

【解析】解：绕顶点逆时针旋转得到，且点刚好落在上，
，，，
，
，
，
，
，
故选：．
先利用旋转的性质得，，，再利用等腰三角形的性质得，则根据三角形外角性质得，所以，然后利用三角形内角和定理计算的度数即可．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
 

9.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图所示：
点在的平分线上，，
，
，
，
，
，
故选：．
根据角平分线的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得．
本题考查了角平分线的性质，含角的直角三角形的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；

如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；

如图中，，，不等式的解集是，方程的解是；

综上所述，正确结论为；
故选：．
根据题目要求画出直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象，观察图象即可得出答案．
本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】

【分析】
直接用平方差公式进行分解．平方差公式：．
本题考查运用平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是解题的关键．
【解答】
解：．
故答案为：．  

12.【答案】 

【解析】解：分式无意义，
，
解得．
故答案为：．
分式无意义的条件是分母等于零．据此解答即可．
本题考查了分式无意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解答本题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，长宽分别为米，米，
地毯的长度为米，
地毯的面积为平方米，
购买这种红地毯至少需要元．
故答案为：．
根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个矩形，再求得其面积，则购买地毯的钱数可求．
本题考查了平移的性质，属于基础应用题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．
 

14.【答案】 

【解析】解：观察图象可知，随的增大而增大，且图象经过点
的解集是，
故答案为：，
先观察图象的增减性和经过的点，再根据条件即可求解．
本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是理解函数图象上点的坐标意义，能根据图象的增减性求解．
 

15.【答案】 

【解析】解：的垂直平分线交于点，
，
平分，，
，
，
，
周长，
故答案为：．
根据线段垂直平分线的性质得到，根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

16.【答案】 

【解析】解：，，，，
，
是直角三角形，，
，故正确；
，都是等边三角形，
，
，
和都是等边三角形，
，，，
，
在与中，
，
≌，
，
同理可证：≌，
，
四边形是平行四边形，
，，故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
故正确．
故答案为：．
由，得出，故正确；再由证得≌，得，同理≌，得，则四边形是平行四边形，故正确；然后由平行四边形的性质得出，故正确．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
 

17.【答案】原式
；
原式
 

【解析】先提取公因式，再应用完全平方公式进行因式分解即可得出答案；
先给提取“”号，可得，再提取公因式即可得出答案．
本题主要考查了因式分解，熟练应用因式分解的方法合理进行运算是解决本题的关键．
 

18.【答案】解：解不等式，得 ，
解不等式，得，，
不等式组的解集为，
则的整数解为，，，，． 

【解析】分别解两个不等式，然后按照“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则确定答案即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤是解题关键．
 

19.【答案】解：

，
，时，原分式无意义，
，
当时，原式． 

【解析】先将除法转化为乘法，同时将分式的分子分母分解因式，然后约分，再从、、中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

20.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
是等腰三角形；
解：，，
，
，
，
． 

【解析】先根据角平分线的定义得到，再根据平行线的性质得到，所以，从而得到结论；
先利用三角形内角和计算出，再利用两直线平行，同旁内角互补计算出的度数．
本题考查了等腰三角形的判定与性质：等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．也考查了平行线的性质．
 

21.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
≌，
，
于点，于点，
，
． 

【解析】先由，证明，再根据直角三角形全等的判定定理“”证明≌，
证明，即可由证明．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、根据面积等式证明线段相等、垂直的定义等知识与方法，证明≌是解题的关键．
 

22.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．

设点，则，
解得，
或． 

【解析】根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可．
设点，构建方程求解即可．
本题考查作图旋转变换，平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是正确作出图形，学会利用参数构建方程解决问题．
 

23.【答案】解：设甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元，
由题意可得，
解得，
甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元；
设购买甲种办公桌张，
由题意可得，
解得，
取整数，
的取值为或或，
共有种方案． 

【解析】设甲种办公桌每张元，乙种办公桌每张元，根据“购进张甲种办公桌和张乙种办公桌共花费元，购买张甲种办公桌比购买张乙种办公桌多花费元”列出方程组，解之即可；
设购买甲种办公桌张，根据“甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的倍，且总费用不超过元”列出不等式组，解之可得方案数．
本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到题中蕴含的等量关系和不等关系．
 

24.【答案】解：是神秘数，
理由：，
是“神秘数”；
两个连续偶数构造的神秘数是的倍数，
理由：，
两个连续偶数构造的神秘数是的倍数；
设长方形相邻两边长分别为：，，
则其周长为：，
该长方形的周长一定为神秘数；
由得：是“神秘数”，
由得：，
的最大整数值为，
，
由得：，
的最大整数值为，
，
． 

【解析】根据新定义判断求解；
根据新定义列式，再分解因式证明；
先用表示边长，再根据中的结论证明；
利用的结论列不等式求出，的值，再求解．
本题考查了因式分解的应用，理解新定义是解题的关键．
 

25.【答案】解：根据题意，得，，，
在中，根据勾股定理，得．
答：的长为．
在中，，，
根据勾股定理，得
若，则 ，解得；
若，则，，解得；
若，则，解得．
答：当为等腰三角形时，的值为或或．
，，，，，
，点在的平分线上，
，平分，
， 

若在点的左侧，

解得：，
若在点的右侧，；

解得：
答：当为或时，能使． 

【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形．
根据动点的运动速度和时间先求出，再根据勾股定理即可求解；
根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；
根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．
 

26.【答案】
解：结论：．
理由：如图中，

，都是等边三角形，
，，，

即，
在和中，
，
，
．
解：如图中，结论：．
理由：延长到，使得，连接，．

点是的中点，

在和中，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
． 

【解析】解：如图中，

是等边三角形，
，，
在和中，

，
，
，
．
故答案为：．
见答案；
见答案；
证明，可得结论．
结论：，证明，可得结论．
证明，推出，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．