精品解析：江苏省盐城市高级实验中学2023届高三三模数学试题（解析版）

盐城市高级实验中学高三年级第三次模拟考试数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合，，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.

【详解】因为，

，

因此，.

故选：D.

2. 命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】求出命题“任意，”为真命题的充要条件，然后可选出答案.

【详解】由可得，

当时，，所以，

所以命题“任意，”为真命题的充要条件是，

所以命题“任意，”为真命题的一个充分不必要条件是C，

故选：C

3. 江南的周庄、同里、用直、西塘、号镇、南浔古镇，并称为江南六大古镇”，是中国江南水乡风貌最具代表的城镇，它们以其深邃的历史文化底蕴，清丽婉约的水乡古镇风貌、古朴的吴依软语民俗风情，在世界上独树一帜，驰名中外．这六大古镇中，其中在苏州境内的有3处，某家庭计划今年暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，则至少选一个苏州古镇的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，结合组合数公式求得基本事件的总数为种，再求得至少选一个苏州古镇的不同的选择种数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】由题意，暑假从这6个古镇中挑选2个去旅游，共有种不同的选择方式，

则至少选一个苏州古镇，有种不同的选择方式，

所以至少选一个苏州古镇的概率为.

故选：D.

4. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距的对应数表，这是世界数学史上最早的一整正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长度l等于表高h与太阳天顶距正切值的乘积，即，对同一“表高”两次测量，第一次和第二次太阳天顶距分别为、，若第一次的“晷影长”是“表高”的3倍，且，则第二次“晷影长”是“表高”的（    ）倍．

A. 1 B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由题意可得，，再根据结合两角差的正切公式即可得解.

【详解】由题意可得，，

所以，

即第二次的“晷影长”是“表高”的1倍.

故选：A.

5. 在中，角所对的边分别为，角的角平分线交于点，若，且，，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用正弦定理把题设等式化简为，利用余弦定理，求得，得到，由角的平分线得到，结合，列出方程，求得的值，进而利用余弦定理，即可求解.

【详解】因为，由正弦定理可得，

即，所以，

又因为，所以，

由角的角平分线交于点，可得，

所以由余弦定理可得，

因为，所以，即，

整理可得，

由余弦定理可得.

故选：B.

6. 将正整数分解为两个正整数、的积，即，当、两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如，其中4×5即为20的最优分解，当、是的最优分解时，定义，则数列的前2023项的和为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据最优分解定义得到为奇数和为偶数时，的通项公式，进而求出数列前2023项和.

【详解】当时，由于，此时，

当时，由于，此时，

所以数列的前2023项的和为

.

故选：B

7. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据直线所过定点和可知，由此可得点轨迹是以为圆心，为半径的圆（不含点），由垂径定理和圆上点到定点距离最小值的求法可求得，结合向量数量积的运算律可求得的最小值.

【详解】由圆的方程知：圆心，半径；

由得：，恒过定点；

由得：，恒过定点；

由直线方程可知：，，即，

设，则，，

，整理可得：，

即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

又直线斜率存在，点轨迹不包含；

若点为弦的中点，则，位置关系如图：

连接，

由知：，

则，

（当在处取等号），

即的最小值为.

故选：A.

8. 设实数，若不等式对恒成立，则t的取值范围为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】对恒成立，即，令，，对求导得出在单调递增，故，故，问题转化为.

【详解】对恒成立，即，即，令，，则，故在单调递增，故，故，问题转化为，令，则，令，解得：，令，解得：，故在递增，在递减，故（e），故.

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 关于复数、，下列说法正确的是（    ）

A.  B. 若，

C. 若，则 D.

【答案】AD

【解析】

【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用特殊值法可判断BC选项；利用复数的运算法则结合共轭复数的定义可判断D选项.

【详解】设，.

对于A选项，，

所以，

，A对；

对于B选项，取，，则，

但，，则，B错；

对于C选项，取，，则，，

此时，，但，C错；

对于D选项，

，D对.

故选：AD.

10. 我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵”，其中，若，则（    ）

A. 该“堑堵”的体积为2

B. 该“堑堵”外接球的表面积为

C. 若点P在该“堑堵”上运动，则的最大值为

D. 该“堑堵”上，与平面所成角的正切值为

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据棱柱的体积公式计算即可判断A；先求出外接球的半径，再根据球的表面积公示即可判断B；当点与重合时，最大，求出即可判断C；证明平面，可得即为与平面所成角的平面角，解即可判断D.

【详解】对于A，由题意，故A正确；

对于B，设该“堑堵”外接球的半径为，

因为两两垂直，

所以，所以，

所以该“堑堵”外接球的表面积为，故B正确；

对于C，当点与重合时，，故C错误；

对于D，连接，

因为平面，

所以平面，

所以即为与平面所成角的平面角，

中，，

所以，

即与平面所成角的正切值为，故D正确.

故选：ABD.

11. 让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶，法国欧塞尔人，著名数学家、物理学家．他发现任何周期函数都可以用正弦函数或余弦函数构成的无穷级数来表示，如定义在R上的函数，当时，有，则（    ）．

A. 函数的最小正周期为

B. 点是函数图象的对称中心

C.

D.

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据函数的表达式结合余弦函数的最小正周期可判断A；由已知推出可判B；根据函数的周期性以及时，有可判断C；令代入函数表达式求值，判断D.

【详解】由于，

且的最小正周期为，则也是的周期,

故的最小正周期为，A错误；

，

故，即点是函数图象的对称中心，B正确；

由题意知是偶函数，且当时，有，

故，C正确；

由于，

令，则，

即，

所以，D正确，

故选：BCD

12. 画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆.分别为椭圆的左、右焦点，直线的方程为，为椭圆的蒙日圆上一动点，分别与椭圆相切于两点，为坐标原点，下列说法正确的是（    ）

A. 椭圆的蒙日圆方程为

B. 记点到直线的距离为，则的最小值为

C. 一矩形四条边与椭圆相切，则此矩形面积最大值为

D. 的面积的最小值为，最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】当斜率不存在时可得点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利用和垂直关系可构造等式求得点轨迹；结合两种情况可知A正确；利用椭圆定义将转化为，由平面几何知识可知最小值为点到直线的距离，结合点到直线距离公式可求得B错误；根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式可求得C正确；推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点弦直线方程为，当时，可求得的值；当时，将直线与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到，结合二次函数最值的求法可求得结果，知D正确.

【详解】

对于A，当直线一条斜率为，另一条斜率不存在时，则；

当直线斜率均存在时，设，切线方程为：，

由得：，

由整理可得：，，

又，，即，，

点轨迹为；

将检验，满足，

蒙日圆的方程为，A正确；

对于B，为椭圆上的点，，

；

的最小值为点到直线的距离，又，

，，B错误；

对于C，矩形四条边均与相切，该矩形为蒙日圆的内接矩形，

设矩形的长为，宽为，蒙日圆的半径，，

（当且仅当时取等号），

此矩形面积最大值为，C正确；

对于D，设位于椭圆上半部分，即，，

在处的切线斜率，切线方程为：，

即，在处切线方程为；

同理可得：当位于椭圆下半部分，即时，切线方程为：；

在点处的切线方程为，同理可知：在点处的切线方程为；

设，则，可知坐标满足方程，

即切点弦所在直线方程为：；

当时，，此时所在直线方程为：，

，；

当时，由得：，

由A知：，，

设，则，，

，

又原点到直线的距离，

，

令，，，则，

为开口方向向下，对称轴为的抛物线，

，，

，，

综上所述：的面积的最小值为，最大值为，D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：

①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；

③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；

④将所求三角形面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知随机变量服从正态分布，且，则__________.

【答案】

【解析】

【分析】根据正态分布的对称性求解.

【详解】，则，

所以由得，，

，．

故答案为：．

14. 的展开式中的系数为__________ .

【答案】

【解析】

【分析】写出二项展开式的通项，令的指数为，求出参数的值，代入通项即可得解.

【详解】的展开式通项为，

令，可得，所以，展开式中的系数为.

故答案为：.

15. 双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点，且，的内切圆圆心为I，与切于点A，直线PI交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为____________．

【答案】3

【解析】

【分析】记c为双曲线半焦距，先求出，再利用双曲线的性质求出的坐标，再结合求解.

【详解】记c为双曲线半焦距，由角平分线定理，得，

设，则，

∴，

∴.

∵，∴，

解得．

故答案：3.

16. 柏拉图多面体并不是由柏拉图所发明，但却是由柏拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，由于它们具有高度的对称性及次序感，因而通常被称为正多面体．柏拉图视“四古典元素”中的火元素为正四面体，空气为正八面体，水为正二十面体，土为正六面体．如图，在一个棱长为的正八面体（正八面体是每个面都是正三角形的八面体）内有一个内切圆柱（圆柱的底面与构成正八面体的两个正四棱锥的底面平行），则这个圆柱的体积的最大值为________．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意得到，，然后利用勾股定理得到，在中根据相似列方程，整理得，然后根据圆柱的体积公式求体积，最后求导，根据单调性求最值即可.

【详解】

解：如图，设该圆柱的底面半径为，高，

由题可知，，，则．

又，∴，，

∴圆柱的体积，，

可知，当时，；当时，，所以当时，单调递增，当时，单调递减，

∴当时，．

故答案为：.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知函数的值域为.

（1）求的单调递增区间；

（2）若在上恰有一个零点，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用函数的值域可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可得出函数的解析式，，利用正弦型函数的单调性可求得函数的递增区间；

（2）由（1）可得出的表达式，由，则，根据已知条件可得出关于的不等式，解之即可.

【小问1详解】

解：

，

因为，且函数的值域为，则，解得，

所以，，

由可得，

因此，函数增区间为.

【小问2详解】

解：因为，

由于，则，

由可得，

因为在上恰有一个零点，则，解得.

因此，的取值范围是.

18. 如图，圆台上底面半径为1，下底面半径为，为圆台下底面的一条直径，圆上点满足，是圆台上底面的一条半径，点在平面的同侧，且.

（1）证明：平面；

（2）从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线与平面所成的正弦值.

条件①：三棱锥的体积为；条件②：与圆台底面的夹角的正切值为.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意证明四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理证明；

（2）选择条件①根据体积求出，选择条件②根据线面角的正切值求出，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.

【小问1详解】

取中点，连接，如图，

由题意，，

又.

又，

故，

所以四边形为平行四边形，

则，又面平面，

故平面.

【小问2详解】

选①：，

又平面，

所以三棱锥体积.

所以.

选②：因为平面，

所以为与底面所成的角，

所以，

又，所以

以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则有，

故，

设平面的法向量，

而，

故

令，解得，得，

设所求角大小为，

则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

19. 图中的数阵满足：每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成等比数列，且公比均为实数.

（1）设，求数列的通项公式；

（2）设，是否存在实数，使恒成立，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；   

（2）存在，.

【解析】

【分析】（1）设出第一行从左到右成等差数列的公差，再结合已知列出方程组求解，然后用等差数列、等比数列的通项公式写出通项作答.

（2）由（1）的信息结合等比数列前n项和公式求出，再按奇偶分类讨论求解作答.

【小问1详解】

设，第一行从左到右成等差数列的公差为，

则，

由，得，即有，

于是，又，解得，因此，，

所以，即.

【小问2详解】

由（1）知，

当为奇数时，不等式等价于恒成立，而恒成立，则；

当为偶数时, 不等式等价于恒成立，而恒成立，则 ，

因此, 所以存在，使得恒成立.

20. 社会人口学是研究人口因素对社会结构和社会发展的影响和制约的一门社会学分支学科.其基本内容包括：人口作为社会变动的原始依据的探讨；将人口行为作为引起社会体系特征变动的若干因素中的一个因素来研究.根据社会人口学研究发现，一个家庭有个孩子（仅考虑不超过3个孩子家庭）的概率分布列为：

其中，每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，记A表示事件“一个家庭有个孩子”，B表示事件“一个家庭的男孩比女孩多（若一个家庭只有一个孩子且恰为男孩，则该家庭男孩多）”

（1）若，求；

（2）参数受到各种因素的影响（如生育保险的增加，教育､医疗福利的增加等），通过改变参数的值来调控未来人口结构.若希望增大，如何调控的值？

参考公式：

【答案】（1）   

（2）增加的取值

【解析】

【分析】（1）根据分布列的性质求出，再根据全概率公式计算可得；

（2）由题意可知，所以只需研究，再由分布列的性质得到，令，利用导数说明函数的单调性，即可得解.

【小问1详解】

由题意得：，

解得，

又，，，，

且，

由全概率公式，得

由，得；

【小问2详解】

由题意得：，考虑的变化即可，

由，得，

设，则，

记，则，

故在上单调递减，，

，，在上单调递减，

因此，增加的取值，会减小，会增大，即增大.

21. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点A在C上，当轴时，；当时，.

（1）求C的方程；

（2）已知斜率为-1的直线l与椭圆C交于M，N两点，与直线交于点Q，且点M，N在直线的两侧，点．若，是否存在到直线l的距离的P点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）利用通径公式和椭圆定义，结合余弦定理即可建立方程，从而可求解椭圆方程；

（2）由点M，N在直线的两侧可得，设直线l：，点，，联立椭圆方程，消元，利用韦达定理可得，．根据，得到．代入斜率公式，得到，再由，求出的取值范围即可.

【小问1详解】

当轴时，，即①，

当时，，

在中，，由余弦定理可知，

，

即，

整理，可得，即②，

由①②，解得，．

所以C的方程为．

【小问2详解】

设直线l：，点，，

令，则，，

由点M，N在直线的两侧，可得，

联立，消去x，可得，

则恒成立，

所以，．

因为，所以，

由正弦定理，得，

而，即，

所以，而，则，

所以，则，即，

即，

整理，得，所以，

因为，所以，

又，所以，

所以．

令，

结合，解得，则．

所以时，点P到直线l的距离．

【点睛】关键点睛：第二问中的关键是能把转化为，由正弦定理，得，从而得到，即，从而利用斜率公式和韦达定理求解.

22. 函数的图像与直线相切.

（1）求实数a的值；

（2）当时，，求正实数m的取值范围.

【答案】（1）1；    （2）.

【解析】

【分析】（1）根据导数的几何意义进行求解即可；

（2）根据导数的性质，结合余弦函数的单调性分类讨论进行求解即可.

【小问1详解】

，设切点为，

所以有，因为是切线，

所以有，

设，显然当时，单调递增，所以有，

当时，，所以无实数根，

因此当时，方程有唯一实数根，即，

于是有，因此有；

【小问2详解】

令，则在恒成立

.

若，即时，当时，由得，所以在单调递增，又，所以在恒成立；当时，所以.所以在恒成立.

若即时，，则存在，使得在单调递减，则当时，矛盾，舍

综上所述，的取值范围时.

【点睛】关键点睛：构造函数利用导数的性质是解题的关键.