【数学】安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛试题

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安徽省示范高中培优联盟2022-2023学年高二下学期春季联赛数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1.答题前，务必在试题卷､答题卡规定的地方填写自己的姓名､座位号，并认真核对答题卡题上所粘贴的条形码中姓名､座位号与本人姓名､座位号是否一致.2.答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整､笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上答题无效.4.考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交.第Ⅰ卷（选择题共 60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.已知集合，则（    ）A.    B.    C.    D.2.若是关于的实系数方程的一个复数根，则（    ）A.      B.C.      D.3.已知是空间两个不同的平面，是空间两条不同的直线，则下列命题为真命题的是（    ）A.若，则B.若，则C.若，且，则D.若，且，则4.，某公司将包括2名女员工在内的5名员工派往3个不同的地方学习，要求每人去一个地方，每个地方至少去一人，则2名女员工必须在一起学习的不同的分配方案有（    ）A.24    B.32    C.36    D.485.著名的天文学家拉普拉斯曾经说过“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”，对数可以将乘除运算转化为加减运算，从而简化运算过程.在一次趣味表演中，主持人出题：一个35位整数的31次方根仍是一个整数，下面我报出这个35位数，请说出它的31次方根.还未等主持人报出第一个数字，速算专家已经写出了答案：这个数的31次方根是13，他的秘诀就是：他心中记住了下面的表（表中常用对数为近似值），请你也试一试，一个20位整数的32次方根仍是一个整数，这个32次方根是多少？（    ）真数常用对数真数常用对数20.3090.9530.48101.0040.60111.0450.70121.0860.78131.1170.85141.1580.90151.18A.3    B.4    C.5    D.66.已知函数有两个极值点，且，那么关于的方程的不同实根的个数是（    ）A.6个    B.4个    C.2个    D.1个7.我们知道立体图形上的最短路径问题通常是把立体图形展开成平面图形，连接两点，根据两点之间线段最短确定最短路线.请根据此方法求函数的最小值（    ）A.    B.    C.    D.8.已知矩形中，，沿着对角线将折起，使得点不在平面内，当时，求该四面体的内切球和外接球的表面积比值为（    ）A.    B.    C.    D.二､多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.我们可以用统计图表表示数据，对获得数据进行统计分析.据《中国统计年鉴（2022）》可知，2016~2021年我国人口年龄分布情况（百分比）如表所示.（已知少儿抚养比，老年抚养比，总抚养比（%）少儿抚养比（%）+老年抚养比（%））根据图表，下列说法正确的有（    ）A.从2016年到2021年期间，0~14岁人口比重在逐年上升B.从2016年到2021年期间，15~64岁人口比重在逐年下降C.2021赡养老人的压力比2020年更重D.2021年总抚养比大于2020年总抚养比10.已知函数，当时函数恰有3个零点，则正整数的取值可以是（    ）A.5    B.6    C.7    D.811.如图所示，已知，作以为直角顶点的等腰直角，作点和点的中点，继续作以为直角顶点的等腰直角，如此继续作中点，作等腰直角三角形.这样会得到一组分别以为直角顶点的等腰直角三角形.下列说法正确的是（    ）A.所作的等腰直角三角形的边长构成公比为的等比数列B.第4个等腰直角三角形的不在第3个等腰直角三角形边上的顶点坐标为C.点的纵坐标为D.若记第个等腰直角三角形的面积为，则12.已知正方形的边长为2，点分别是线段上的动点，若满足，则下列说法正确的是（    ）A.当时，则B.当时，点分别是线段的中点C.当时，D.当时，的最小值为第II卷（非选择题共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，则的最小值为__________.14.若，则__________.15.已知函数定义域为且满足①为偶函数；②任意都有成立；③，都有，请给出满足上述三个性质的一个函数为__________.16.已知双曲线的右焦点为，在双曲线左支上取一点，若直线与以双曲线实轴为直径的圆相切于，若向量，则双曲线的离心率为__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知的三个内角所对的边分别为，且，设的周长为.（1）当时，求的值；（2）求函数的解析式及最大值.
18.（12分）如下表，已知有个正数排成行列：其中每一行都成等差数列，每一列都成等比数列，且所有的公比相等，已知.（1）求和的值；（2）求（用含的式子表达）.     19.（12分）“十三五”时期，在党中央､国务院坚强领导下，全民健身国家战略深入实施，全民健身公共服务水平显著提升，全民健身场地设施逐步增多，人民群众通过健身促进健康的热情日益高涨，经常参加体育锻炼人数和参加锻炼的时间都在明显增加.某城市为了调查该市市民积极参加体育锻炼的情况，从市民中随机抽取了50人，结果是他们参加锻炼的时间都在区间内，锻炼时间的频率分布直方图如下：（1）如果锻炼时间的中位数的估计值大于或者等于平均数的估计值，则说明该城市市民积极参加锻炼的意识很强，否则说明该城市市民积极参加锻炼的意识不强，请你根据直方图对他们积极参加锻炼的意识强与不强做出判断；（2）假如根据调查统计结果规定：锻炼时间在的市民为优秀层次，时间在的为非优秀层次，①从被调查的50人中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取5人，求这5人中优秀层次的人数大于非优秀层次的人数的概率；②用频率作为概率，现从该城市所有市民中随机抽取3人，这3人中锻炼时间为优秀层次的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.    20.（12分）如图所示，在四棱锥中，侧面为边长为2的等边三角形，底面为等腰梯形，，底面梯形的两条对角线和互相垂直，垂足为，点为棱上的任意一点.（1）求证：；（2）是否存在点使得二面角的余弦值为，若存在求出点的位置；若不存在请说明理由.
21.（12分）已知双曲线的标准方程为，其中点为右焦点，过点作垂直于轴的垂线，在第一象限与双曲线相交于点，过点作双曲线渐近线的垂线，垂足为，若（1）求双曲线的标准方程；（2）过点作的平行线，在直线上任取一点，连接与双曲线相交于点，求证点到直线的距离是定值.      22.（12分）已知.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求的取值范围.
【参考答案】一、单选题12345678DBDCBBAC二、多选题9101112BCDABABDBCD三、填空题13. 0  14.8   15. （答案不唯一）  16. 四、解答题17.（10分）解：（1）由已知条件得，即，设三角形的外接圆半径是，由正弦定理得，又，，解出，即三角形的周长为（2）.当，即时，取到最大值.18.（12分）解：（1）；（2），所以，，作差可得，所以.19.（12分）解：（1）锻炼时长中位数的估计值为直方图中等分面积的线对应的值，设为，.，，解得，即中位数的故计值分钟.又锻炼时长平均数估计值为，因为中位数的估计值分钟大于平均数估计值81分钟，所以，根据这次调查，该市市民积极参加体育钗炼的意识很强.（2）①；②根据频率，不难得到从该城市市民中随机抽取一人，锻炼时间为优秀层次的概率为，人数服从二项分布，故的分布列为0123数学期望.20.（12分）（1）证明：因为四边形为等腰梯形，且，所以为等腰直角三角形，因为，所以，因为，所以，所以，即，又因为平面平面，所以平面，因为平面，所以.（2）解：如图，以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，由（1）知，故，故，假设在棱上存在一点满足题意，设.所以，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，故，易得平面的一个法向量为，设二面角为，可知二面角为锐二面角，，解得，化简得，或（舍）.所以，存在点为靠近的三等分点.21.（12分）（1）解：由题意，其中一条渐近线方程为，点到渐近线的距离为，得，由知，，得，故双曲线的标准方程为.（2）证明：由题意，，设点，则直线的方程为：，即，由题意知，设直线的方程为，由点在直线上，可设点，由得，解得，即直线的方程为.设，由点共线得，即，得，即点，则点到直线的距离为，即点到直线的距离为定值.22.（12分）解：（1）由题意，函数的定义域为，.当时，在单调递增；当时，在单调递增；当时，令，得，故在单调递增，在上单调递减.综上所述，当时，在单调递增；当时，在单调递增，在上单调递减.（2）方法一：只要证明恒成立即可，即证明恒成立即可，设，显然有，函数的定义域为.，令，易知存在唯一的实数，使得，即当时，，当时，.故的最小值为，注意到在是减函数，且.要使恒成立，只需即可，即求在时的取值范围.设，易得在定义域内为减函数，故.所以的取值范围为.方法二：只要证明恒成立即可，即证明构造函数，易知为增函数，原式等价于证明即证明，得.设，则，所以在单调递增，在上单调递减.，所以的取值范围为.（言之有理即可，酌情给分）