【数学】广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考试题

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广东省东莞中学、惠州一中、深圳实验、珠海一中、中山纪念中学2022-2023学年高二下学期五校联考数学试题注意：本卷满分150分，时间120分钟.不准使用计算器.注意事项：1.答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数，则（    ）A．5             B．            C．2              D．2. 展开式中的系数为（    ）A.56            B.-56            C. 64       D. -643.一种卫星接收天线（如图1），其曲面与轴截面的交线可视为抛物线的一部分（如图2），已知该卫星接收天线的口径米，深度=1米，信号处理中心F位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则该抛物线的方程为（    ）A.    B. C.    D. 4.各项均为正数的等差数列的前项和是，若，则的值为（  ）A.            B.           C.            D. 5.一个盒子里装有大小，材质均相同的黑球10个，红球12个，白球3个，从中任取3个，其中白球的个数记为，则等于的是（    ）A.        B.         C.        D. 6.将诗集《诗经》、《唐诗三百首》，戏剧《牡丹亭》，四大名著《红楼梦》、《西游记》、《三国演义》、《水浒传》7本书放在一排，下面结论成立的是（    ）A. 戏剧放在中间的不同放法有种            B. 诗集相邻的不同放法有种C. 四大名著互不相邻的不同放法有种     D. 四大名著不放在两端的不同放法有种7.已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为　　A． B． C． D．8. 双曲线的两个焦点为，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于，两点（点、在点的两侧），且，则的离心率为（    ）A.             B.            C.            D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．9．已知，则下列结论正确的是（    ）A.                            B. C.                 D. 10.已知空间向量，则下列结论正确的是（  ）A．                B．C．               D．在上的投影向量的长度为11．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的，，，则下列结论正确的为　　A．任取一个零件是第1台生产出来的次品的概率为0.01 B．任取一个零件是次品的概率为0.058 C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为 D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为12.设函数和，其中是自然对数的底数，则下列结论正确的为　　A．的图象与轴相切 B．存在实数，使得的图象与轴相切 C．若，则方程有唯一实数解 D．若有两个零点，则的取值范围为三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在等比数列中，，则           .14. 某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，则不同的派遣方案共有           （用数字作答）.15. 已知，若不等式恒成立，则实数的取值范围为          .    16. 若对任意的，且当时，都有，则的最小值是                   .四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知对于任意，函数在点处切线斜率为，是公比大于的等比数列，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前20项和．         18. 已知函数.（1）若，求的极值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.
19.如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.（1）求证：；（2）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.     20.第25届冬季奥林匹克运动会将于2026年举办.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人参加自由式滑雪比赛，比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和；丙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，其中.（1）求甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性大？（2）若甲、乙、丙三人都进入决赛的概率为，求三人中进入决赛的人数的分布列和期望.
21.如图，已知椭圆，其左､右焦点分别为，过右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于第一象限的点，且.（1）求椭圆的方程；（2）过点且斜率为的动直线交椭圆于两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.     22.已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）记函数的图象为曲线，设点、是曲线上两个不同点，如果曲线上存在，使得：①；②曲线在点处的切线平行于直线，则称函数存在“中值相依切线”.试问：函数是否存在中值相依切线，说明理由.
【参考答案】一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求。12345678ADBBCDAC二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对5分，部分选对得2分，有选错得0分。9101112ABDBDABDACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. 8         14. 30        15.         16. 2四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．解：（1）由题意，∴，…………………………2分又因为，…………………………3分 所以解得或（舍），…………………………4分所以.…………………………5分（2）由题………………………………7分所以……………………8分…………………………9分=………………………………10分（写到这个结果也给10分）         ………………………………10分18.解：（1）当时，所以，………………………………1分令，解得或，………………………………2分当x变化时，，变化情况如下：x-2100单调递增单调递减单调递增………………………………4分故的极小值为.  的极大值为.………………………………6分（2）法一：………………………………7分令，解得，………………………………8分 当或时，，单调递增………………………………9分当时，，单调递减………………………………10分要使函数在区间上单调递增，需……………11分解得：，所以的取值范围为.………………………………12分法二：，………………………………7分由题知：在区间上恒成立，即恒成立…………………8分只需大于或等于的最大值或上界.…………………………9分，………………………………10分因为，所以，，………………………………11分，即，所以的取值范围为.………………………………12分19.解：（1）证明：方法（一）因为平面，平面，所以，而，因此建立如图所示的空间直角坐标系：，……………1分，………………………………2分因为，………………………3分所以，即，………………………………4分方法（二）连结与相交于点,因为四边形是正方形，所以…………1分因为，所以………………2分因为，所以,………………3分因为所以，因为,所以.……………………4分(2)解：设平面的法向量为，，…………5分所以有，………………………………7分因为直线与平面所成角为，所以，……………9分解得，即，因为，………………………………10分所以点到平面的距离为：.……………………12分20.解：（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为；………………………1分乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：；………………………………2分丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：.………………………………3分因为，所以，………………………………4分所以，，即甲进入决赛的可能性最大.………………………………5分最后一步，只写甲进入决赛的可能性最大. 不扣分。（2）设甲、乙、丙都进入决赛的概率为，则，………………………………6分整理得，解得或，由，所以，………………………………7分所以丙在初赛的第一轮和第二轮获胜的概率分别为、，两轮中均获胜的概率为：………………………………8分进入决赛的人数的可能取值为：0、1、2、3，所以；；………………………………9分；；………………………………10分所以，的分布列为0123………………………………11分所以，.………………………………12分求分布列没有过程，只有表格，扣2分。21.解：（1）法一：，,………………………………1分，,     解得：,………………………………2分∴椭圆方程为：………………………………3分法二：设，代入椭圆方程，由，可解得，  ………………………………1分又  解得：，………………………………2分椭圆方程为：.………………………………3分(2)设动直线的方程为：，由，得………………………………4分设，………………………………5分则，………………………………6分则，由题知：，可得，………………………………7分所以，………………………………8分∴，∴，………………………………10分由题意知上式对成立，且，解得.………………………………11分存在定点，使得以为直径的适恒过这个点，且点的坐标为.………12分22.解：（1）函数的定义域为，………………………………1分.………………………………2分………………………………3分令可得或，，则.………………………………4分由，可得或.则的单调递增区间为和；………………………………5分（2）假设函数存在“中值相依切线”，，……………6分，………………………………8分由题设条件，有，即，即，………………………9分不妨设，设，可得，构造函数，其中，………………………………10分则，所以，函数在区间上为增函数，则，……………………11分即方程在上无解，因此，函数不存在“中值相依切线”；………………………………12分