浙江省温州市乐清市知临中学2023届高三下学期5月模拟数学试题（含解析）

这是一份浙江省温州市乐清市知临中学2023届高三下学期5月模拟数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省温州市乐清市知临中学2023届高三下学期5月模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设，则“”是“”的（    ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知全集，，则（    ）
A． B． C． D．
3．在函数，，，中，既是奇函数又是周期函数的有（    ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
4．为了解“双减”政策实施后学生每天的体育活动时间，研究人员随机调查了该地区1000名学生每天进行体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成6组：第一组[30,40，第二组[40,50，第三组[50,60，第四组[60,70，第五组[70,80，第六组[80,90]，经整理得到如图的频率分布直方图，则可以估计该地区学生每天体育活动时间的第70百分位数位于的区间为（    ）
  
A．[50,60 B．[60,70
C．[70,80 D．[80,90]
5．已知等比数列的前n项和为，公比为q，且，则（    ）
A． B． C． D．
6．已知三棱锥的体积为，外接球面积为9π，且，，．则直线AB，AP所成角的最小正弦值为（    ）
A． B． C． D．
7．设过原点且倾斜角为的直线与双曲线C：的左，右支分别交于A、B两点，F是C的焦点，若三角形的面积大于，则C的离心率的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
8．设，，已知函数，有且只有一个零点，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．已知函数，则下列结论正确的是（    ）
A．函数的最小正周期是
B．函数的最大值为1，最小值为
C．函数的图像在区间上单调递减
D．函数的图像关于对称
10．若周长为15的三角形δ的三边长均为整数，则（    ）
A．δ的任一边长不超过7 B．不同的δ的个数不超过8
C．δ的面积不小于4 D．δ的面积可能超过12
11．已知椭圆为，设一个点始终在此椭圆内运动，这个点从一个焦点出发沿直线，经椭圆壁反弹后沿直线经过另一个焦点，再经椭圆壁反弹后沿直线回到这个焦点，称这个过程为一次“活动”，记此点进行n次“活动”的总路程为，，则不可能的是（    ）
A． B． C． D．
12．已知，函数，则（    ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，

三、填空题
13．复数的虚部为___________（其中i是虚数单位）．
14．在的展开式中，x的系数为___________．
15．点P圆上，点在直线上，O坐标原点，且，则点的横坐标的取值范围为___________．
16．设是平面内的两条互相垂直的直线，线段AB，CD的长度分别为2，10，点A，C在a上，点B，D在b上，若M是AB的中点，则的取值范围是___________．

四、解答题
17．若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为等比数列{}的，，；分别从下表的第一、二、三行中各取一个数，依次作为等差数列的，，．

第一列
第二列
第三列
第一行
1
4
7
第二行
3
6
9
第三行
2
5
8
(1)请写出数列{}，{}的一个通项公式；
(2)若数列{}单调递增，设，数列{}的前n项和为．求证：．
18．已知在平面四边形ABCD中，，，，．
(1)求∠BAD的大小；
(2)设点E，F分别在线段DC，CB上，线段EF的中点为M，且．求当最小时△AEF的面积．
19．某一个人在家里积极锻练，等步长沿直线前后连续移步，从点A出发，每次等可能地向前或向后移动一步．
(1)若此人共移动4步，求此人回到点A的概率；
(2)若此人共移动7步到达点M，记A，M两点的距离的步数为随机变量，求的分布列和数学期望．
20．如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．
  

(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．
21．已知椭圆C：离心率为，一个焦点位于抛物线的准线上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设直线l交椭圆C于A，B两点，点，直线分别交轴于点，且.
①问直线l是否经过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由；
②求点P到直线l的距离的最大值．
22．已知函数．
(1)若函数有两个极值点，求整数a的值；
(2)若存在实数a，b，使得对任意实数x，函数的切线的斜率不小于b，求的最大值．

参考答案：
1．B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的关系进行判断即可.
【详解】由，可得，
则是的必要不充分条件.
故选：B
2．A
【分析】利用集合的交并补运算求集合，再判断是否为集合中元素，即可得答案.
【详解】由题设，故，，
，，
所以.
故选：A
3．C
【分析】设，，首先判断出的奇偶性与周期性，再分别判断的奇偶性与周期性即可．
【详解】设，，
因为，
所以是上的奇函数，显然不是周期函数；
对于，，
因为，
所以为奇函数，
又因为，
所以是周期函数；
对于，，
因为，
所以为偶函数，
又因为，
所以是周期函数；
对于，，
因为，
所以在定义域内为奇函数，
又因为，
所以是周期函数；
综上所述，，既是奇函数又是周期函数，
故选：C．
4．B
【分析】由频率和为1求参数a，再根据百分位数的定义确定第70百分位数所在区间.
【详解】由，则，
又，
所以第70百分位数位于的区间为[60,70.
故选：B
5．D
【分析】由条件结合等比数列通项公式列方程求即可.
【详解】因为，
所以，
所以，
所以，
解得，A错误，C错误，D正确，
所以， B错误；
故选：D.
6．A
【分析】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，由外接球面积公式可求出外接球的半径，再由三棱锥的体积公式可求出三棱锥的高，当时，最小，求解即可.
【详解】直线AB，AP所成角的最小正弦值即AP与平面所成角的最小正弦值，
由，，，
由余弦定理可得：，
故，则，
又因为外接球面积为9π，设外接球的半径为，
所以，解得：，
设是球心，是的外心，是在平面的投影，
，解得：，
  
则，，由，
由，
当时，最小，此时，
则.
故选：A.
7．D
【分析】首先得出直线的方程，与双曲线方程联立得出点和的坐标，并得出不等式关系，再表示出，根据大于列出不等式，求解即可．
【详解】不妨设是双曲线的左焦点，由题可知，直线的方程为，
由，得，且，
所以，，
因为，且大于，
所以，
所以，解得，
又因为，解得，
所以，
故选：D．

8．B
【分析】设函数的零点为，可得，由此可得点在直线上，由此可得，再利用导数求其最小值.
【详解】函数的零点为，
则，且，即，
所以点在直线上，
又表示点到原点的距离的平方，
故，
所以，
设，
则，
故，
设，
则，
因为，所以，
所以函数在上单调递减，
所以当时，，
故当时，，函数在上单调递增，
所以.
所以当，时，取最小值，最小值为.
所以当时，的最小值为.
故选：B.
【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.
9．AD
【分析】首先根据降幂公式化简，根据周期函数的定义即可判断A；设，求出的值域，即可判断B；由得出，根据复合函数的单调性，即可判断C；根据对称轴的定义，即可判断D．
【详解】，
对于A：设的周期为，
则,
所以，其中，解得，
所以最小值为，故A正确；
对于B：设，
则，
所以函数的最大值为1，最小值为，故B错误；
对于C：由B得当时，，且在上单调递减，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D：由

，
，
所以，
所以关于直线对称，故D正确，
故选：AD．
10．AB
【分析】令三角形边长分别为且，根据三角形性质列举出符合要求的，并求出对应面积，即可得答案.
【详解】令三角形边长分别为且，则，
由于，故，
若，即，则，不满足三角形性质；
所以，，且满足，
可能有、、、、、、，
当为，对应面积为；
当为，则，即为锐角，故，
所以面积为；
当为，则上的高，
所以面积为；
当为，则上的高，
所以面积为；
当为，则，即为钝角，故，
所以面积为；
当为，则，即为钝角，故，
所以面积为；
当为，则上的高，
所以面积为；
综上，A、B对，C、D错.
故选：AB
11．ACD
【分析】根据椭圆方程及一次“活动”的定义知，进而判断各项正误即可.
【详解】由题意知：一次“活动”的路程为，故n次“活动”的总路程为，
所以，，，，
故A、C、D不可能，B对.
故选：ACD
12．AD
【分析】根据选项的结论，需判断在单调递减，故对求导并根据选项判断在的符号即可.
【详解】由题知，令，则，
所以即在上单调递增.
，.
对于选项A，当时，，所以，
故在恒成立，所以在单调递减，从而，选项A正确；
对于选项B，当时，，所以，
所以在不单调，选项B错误；
对于选项C，当时，，所以，
而，，所以正负无法确定，
所以在的单调性不确定，选项C错误；
对于选项D，当时，，所以，
故在恒成立，所以在单调递减，从而，选项D正确；
故选：AD.
13．/
【分析】利用复数除法化简，即可确定虚部.
【详解】，故虚部为.
故答案为：
14．
【分析】分别列出的展开式的通项，由此确定结论.
【详解】二项式的展开式的通项为，
二项式的展开式的通项为，，
所以，
令，可得，
故或，
所以的展开式中，含x的项为，
所以在的展开式中，x的系数为.
故答案为：.
15．
【分析】设点的坐标为，点的坐标为，由条件可得点在以为直径的圆上，由条件列不等式可求点Q的横坐标的取值范围.
【详解】因为点在直线上，
故设点的坐标为，设点的坐标为，
则，
因为，所以，
所以，
即点在圆上，
又点在圆上，
所以两圆有交点，
又圆的圆心坐标为，半径为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以点的横坐标的取值范围为.
故答案为：.
16．
【分析】设直线与直线的交点为，线段的中点为，由条件确定点的轨迹，结合数量积的运算求的取值范围.
【详解】设直线与直线的交点为，
因为M是AB的中点，，
所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，
设线段的中点为，，
所以，故点在以为圆心，半径为的圆上，
因为，，
所以，
又，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
  
17．(1)，（或、、）
(2)证明见解析

【分析】（1）根据表格数据，结合等差、等比数列定义分别写出一个通项公式即可；
（2）应用错位相减法、等比数列前n项和公式求，即可证结论.
【详解】（1）由题意，取，可得公比，则，
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则；
取，可得公差，则.
（2）由{}单调递增，
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故；
若时，，则，
所以，
两式相减，则，
所以，而，故.
综上，.
18．(1)
(2)

【分析】（1）若与交于，易知，令，，则，利用余弦定理列方程组求的余弦值，即可得大小；
（2）由（1）求得，，以为原点，为轴正方向，令，应用向量的坐标表示及数量关系求坐标，进而确定最小时的位置，进而求△AEF的面积．
【详解】（1）若与交于，由，即且，
所以，又，设，
所以，，若，则，
由，则，
所以，故，又，故.
（2）由（1）知：，即，故，
以为原点，为轴正方向，则，
  
所以，，令，则，
令，则，即，
所以，即，同理，
所以，故在上，显然要使最小，点在轴上，
此时，，所以，，
则.
19．(1)；
(2)分布列见解析；.

【分析】（1）求出每次向前移动一步的概率，再由独立重复试验概率公式求解；
（2）确定随机变量的可能取值，再求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望.
【详解】（1）设事件向前移动一步为事件，
因为每次等可能地向前或向后移动一步，故，
事件共移动4步，回到点A的等价于4步中两步向前，两步向后，
所以事件共移动4步，回到点的概率，
（2）由条件可得随机变量的可能取值为，
，
，
，
，
所以的分布列为

1
3
5
7





所以随机变量的期望.
20．(1)直线与平面所成角的正弦值为；
(2)线段DE的长度为.

【分析】（1）过点作，垂足为，证明平面，由此确定直线PB与平面所成角，再求其正弦值；
（2）建立空间直角坐标系，设，由条件列方程求的坐标，由此求求线段DE的长.
【详解】（1）过点作，垂足为，
因为平面，平面，
所以，
又，平面，
所以平面，平面，
所以，
所以直线与平面所成角为，
由已知四边形为菱形，，,
所以为边长为的等边三角形，故，
因为平面，平面，
所以，又，
所以，
在中，，，,
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
  
（2）连接，点为线段的中点，
由已知为等边三角形，所以，又，
所以，又平面，
以点为坐标原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
故，
设，则，
因为平面，平面，
所以，故，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以线段DE的长度为.
  
21．(1)
(2)①直线l经过定点，定点坐标为
②

【分析】（1）求抛物线的准线方程，由条件列的方程，解方程求由此可得椭圆方程；
（2）①当直线的斜率不存在，设其方程为，设点的坐标为，由此求点的坐标，结合条件求，当直线的斜率存在时，设其方程为，利用设而不求法结合条件关系求的关系，由此证明直线l过定点，
②方法一：由①可得当与定点的连线垂直于直线时，点到直线的距离最大，求点到定点的距离可得结论.
方法二：当直线的斜率存在时，求点P到直线l的距离，利用导数求其最大值，再求斜率不存在时点P到直线l的距离，由此确定结论.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，则，
因为抛物线的准线方程为，
又椭圆的一个焦点位于抛物线的准线上，
所以，因为椭圆的离心率，
所以，又，，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）若直线的斜率不存在，设其方程为，
由已知，设点的坐标为，
则点的坐标为，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，又，
所以，解得，
当直线的斜率存在时，设其方程为，
联立，消得，，
方程的判别式，
设，则，
则直线的方程为，直线的方程为，
所以点的坐标为，点的坐标为，
所以，
，又，
所以，
所以，
化简可得，
所以或，
当时，直线的方程为
所以直线过点，与已知矛盾，
当，直线的方程为，
所以直线过定点
又点在直线上，
所以直线l经过定点，定点坐标为，
  
②方法一：因为直线过定点，
所以当点与点的连线与直线垂直时，
点到直线的距离最大，最大距离为.
方法二：当直线的斜率存在时，
点到直线的距离，
又因为，，
所以，
所以，
设，则，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
由时，，所以，
当时，，
所以当时，取最大值，最大值为，
所以当时，取最大值，最大值为，
当直线的斜率不存在时，点P到直线l的距离为，
所以点P到直线l的距离得最大值为.
【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．
(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
22．(1)
(2)

【分析】（1）对函数求导有，令，将问题化为与有两个交点，利用导数研究最值及区间值域，进而求参数a范围，即可得答案.
（2）令，问题化为使在上恒成立，构造，求得处的切线方程，再构造，利用导数证在上恒成立，最后只需对任意恒成立，即可求目标式的最值.
【详解】（1）由题设，令，
所以，又有两个极值点，
所以有两个不同零点，即在上有两个根，
所以与有两个交点，而，
令，易知在上递减，，，
所以使，即，故上，即，上，即，
故在上递增，上递减，趋向于时趋向，趋向于时趋向，
，，
所以，则，且，，
综上，，即，，又为整数，
所以，经检验满足题设.
（2）由题设，使恒成立，
令，即使在上恒成立，
所以在上恒成立，
令，在上递增，且，
所以，，故在处的切线为，
令，则在上递增，
而，故上，递减，上，递增，
所以，即在上恒成立，
综上，对任意恒成立，只需，
即，仅当时等号成立，故的最大值.
【点睛】关键点点睛：第二问，首先将问题转化为使在上恒成立，再构造函数并应用切线放缩找到恒大于的切线方程，最后结合恒成立求参数最值.