【数学】江苏省盐城市五校2022-2023学年高一下学期联考试题

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江苏省盐城市五校2022-2023学年高一下学期联考数学试题（总分150分  考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分．2．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用005毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上．3．作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，为锐角，，，则的值为（    ）A．  B．  C． D．2．若复数满足，则（    ）A．3  B．  C．  D．3．已知向量，，且，则实数等于（    ）A．2  B．  C．8  D．4．如图，四边形是平行四边形，点，分别为，的中点，若以向量，为基底表示向量，则下列结论正确的是（    ）A． B．C．  D．5．如图，是用斜二测画法画出的直观图，则的周长为（    ）A．12  B．  C．  D．16．在中，内角，，的对边分别为，，，，则的形状一定为（    ）A．直角三角形  B．钝角三角形  C．等边三角形  D．等腰三角形7．“阿基米德多面体”被称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知正方体边长为6，则该半正多面体外接球的表面积为（    ）A．  B．  C．  D．8．在中，为角的平分线，若，，则等于（    ）A．0  B．  C．  D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，图1是八卦模型图，其平面图形为图2所示的正八边形，其中，下列结论正确的是（    ）A．与的夹角为B．C．D．在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）10．计算下列各式，结果为的是（    ）A．  B．C．    D．11．在中，内角，，的对边分别为，，，下列说法正确的是（    ）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，，符合条件的有一个，则12．如图，正三棱锥和正三棱锥的侧棱长均为，．若将正三棱锥绕旋转，使得点，分别旋转至点，处，且，，，四点共面，点，分别位于两侧，则（    ）A．B．平面C．二面角的平面角的余弦值为D．多面体的外接球的体积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，中，为中点，，，为圆心为、半径为1的圆的动直径，则的取值范围是______．14．已知中，角，，所对的边分别为，，，满足，且，，则的取值范围是______．15．已知，为的共轭复数，若，则______．16．正三棱锥的底面边长为3，高为，则三棱锥的外接球的表面积是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，在中，已知，，，，，，相交于点．设，．（1）用向量，表示；（2）求，夹角的余弦值．   18．（本小题满分12分）计算．（1）求的值；（2）化简．        19．（本小题满分12分）在中，角，，的对边分别为，，，已知．（1）证明：（2）若，，求的面积．        20．（本小题满分12分）已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零．（1）求；（2）若（，，为虚数单位），求．        21．（本小题满分12分）如图，三棱柱的侧面是边长为1的正方形，侧面侧面，，，是的中点．（1）求证：平面平面；（2）若为线段的中点，求三棱锥的体积．        22．（本小题满分12分）十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晩期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置．如图1所示，十字测天仪由杆和横档构成，并且是的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动．十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从点观察．滑动横档使得在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点，的影子恰好是．然后，通过测量的长度，可计算出视线和水平面的夹角（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置．（1）若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角，求影子的长；（2）若在另一次测量中，，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；（3）在杆上有两点，满足．当横档的中点位于时，记太阳高度角为（），其中，都是锐角．证明：．
参考答案一、单选题1-5．DBDDC   6-8．DAC二、多选题9．BD  10．BD  11．ABC 12．BCD三、填空题13． 14． 15． 16．四、解答题17．解：（1）由题意可得：（2）因为由题意可得：可得即，，所以故，夹角的余弦值．18．解：（1）（2）.19．（1）证明：因为，所以，所以．所以，即．因为在中、、，所以，即，故．即．（2）解：由（1）可知．因为，所以．则，．由正弦定理可知．则．故的面积．20．解：（1）由，即，可得，解得，因为的虚部大于零，所以（2）由（1）知，因为，所以则，解得，所以．21．（1）证明：在中，，，，则在中，由余弦定理得，因为，即，所以，由已知平面平面，且平面平面，又平面，故平面，又平面，则平面平面．（2）解：由题意知，，由（1）知，平面，平面，则，又，且，，平面，可得平面，因此为三棱锥的高，因为，，所以，又，所以．22．（1）解：如图1，由题意得，，，且是的中点，，，所以在中，．（2）解：法一   由题意，．由于是的中点，且，所以，且．由余弦定理得从而，即太阳高度角的正弦值为．法二   由题意，．由于是的中点，且，所以，且，于是且，从而，即太阳高度角的正弦值为．（3）证明：由题意，，，因为，都是锐角，则，，所以，从而．根据，可知因为函数在单调递增，且，，所以，即.